Notes sur les ensembles et applications
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Niveau: Supérieur
Notes sur les ensembles et applications 6 septembre 2009 I Ensembles 1. Qu'est-ce qu'un ensemble ? Exemples « Dieu crea les entiers naturels, le reste est l'oeuvre de l'Homme. » Leopold Kronecker Nous ne definirons pas ce qu'est un ensemble : c'est une brique de base. Il est plus important de connaıtre les « regles » a employer pour manipuler des ensembles. Malgre cette mise-en-garde de principe, une «definition intuitive » d'un ensemble est la suivante. Definition 1 Un ensemble E est une collection d'objets (de preference) mathematiques. • Un objet x est un element d'un ensemble E si x appartient a E. Autrement dit : x figure dans la collection E. • Si x est un element de E, on note x ? E. Ce qui se lit « x appartient a E ». • Si x n'est pas un element de E, on note x 6? E. Ce qui se lit « x n'appartient pas a E ». Principe d'extension Ce principe est fondamental. Le principe d'extension est le suivant : Un ensemble E est entierement decrit par ses elements. De fac¸on imagee, on pourrait paraphraser ce principe en disant : Dites-moi ce qu'est le contenu, je vous dirai ce qu'est le contenant.
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Notes sur les ensembles et applications 6 septembre 2009 I Ensembles 1. Qu'est-ce qu'un ensemble ? Exemples « Dieu crea les entiers naturels, le reste est l'oeuvre de l'Homme. » Leopold Kronecker Nous ne definirons pas ce qu'est un ensemble : c'est une brique de base. Il est plus important de connaıtre les « regles » a employer pour manipuler des ensembles. Malgre cette mise-en-garde de principe, une «definition intuitive » d'un ensemble est la suivante. Definition 1 Un ensemble E est une collection d'objets (de preference) mathematiques. • Un objet x est un element d'un ensemble E si x appartient a E. Autrement dit : x figure dans la collection E. • Si x est un element de E, on note x ? E. Ce qui se lit « x appartient a E ». • Si x n'est pas un element de E, on note x 6? E. Ce qui se lit « x n'appartient pas a E ». Principe d'extension Ce principe est fondamental. Le principe d'extension est le suivant : Un ensemble E est entierement decrit par ses elements. De fac¸on imagee, on pourrait paraphraser ce principe en disant : Dites-moi ce qu'est le contenu, je vous dirai ce qu'est le contenant.
- r? r?
- garde de principe
- principe d'extension
- memes elements
- principe
- souvenirs d'arithmetique
- notations correspondantes
- f1 ?
- plan usuel
Notes sur les ensembles et applications
6septembre2009
I Ensembles
1. Qu’est-cequ’un ensemble? Exemples «rvdeleH’selto’ueomme.Deileear´ucrsientseslerutanetserel,» Leopold Kronecker Nousnede´finironspascequ’estunensemble:c’estunebriquedebase.Ilestplusimportantdeconnaˆıtreles «rgl`ees»eyoluoprnamrlupi`mpaelarge´ecttmesi-eerdesensembles.Menu,epdear-genciinprde«dnoitinfie´ intuitive»d’un ensemble est la suivante. De´finition1Un ensembleEeunsts.euqitame´htam)ec´ef´erenets(deproidno’jbceloeltc •Un objetxest untmenee´´ld’un ensembleEsixaartienatp`pE.Autrement dit :xfigure dans la collectionE. •Sixle´nutseedtneme´E,on note x∈E. Ce qui se lit«x`antpaaptreiE». •Sixnst’eusaple´neme´edtnE, on note x6∈E. Ce qui se lit«xa`saptneitpparn’aE».
Principe d’extension
Ce principe est fondamental. Le principe d’extension est le suivant :
Un ensembleEl´emes´e.entse´dtnemesraptirceseri`ntte
Defa¸conimag´ee,onpourraitparaphraserceprincipeendisant:
Dites-moi ce qu’est le contenu, je vous dirai ce qu’est le contenant.
Remarque :´ereenumeut´’onpuqleoLsrleenunmbseneme’dstselr´le´E,ion.d´onenextensneesbmelceirar’l Par exemple, 1.E={1,2,3}ersen’lnees´dsegis´le´eellembntdoseltitnetnemnoss1,2et3. 2. L’ensembleAti´unotsc’aelsdrettleesed:tirce´’stebahpl
A={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z}.
Remarque :uaatIflneˆtovriuel’eteqedanordrlleuqelsme´le´sel’detsenlembseenropmeterm´si´entsonu´e peu;qu’un´el´ementr´ep´ete´plusieursfoisnecomptequ’unefois!Ainsi: 1.{1,2,3}et{2,1,3};elesbmemnemeeˆneltcrivd´e 2.{1,1,2}et{1,2}dcr´eenivemtleˆemneesbmel.
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Egalit´ed’ensemblesons´ourconapensie’txpideircnLpes.lembseend’´etilage´’lecneuqe SoientEetFdes ensembles. On dit que les ensemblesEetFsont´geuaxlentde`es´meˆesmtneme´le.ssi’slopss On noteE=Fsi les ensemblesEetFsnoua;x´tgeE6=Fsensptnoli’s.´easuxga Remarque :niarelumrofestue:siil´teetn’Le´agsemblespredeuxen
E=Fsi et seulement si(x∈E⇔x∈F).
Poursefamiliariseraveclanotiond’e´galite´d’ensembles,voicideuxexemples. Exemple : 1.{1,2,3}={2,1,3}; 2. SoientE={1,2,3}etF={0,1,3}.Les ensemblesEetFffseetnE.enagxusae´nopt2∈E,mais 26∈E; 3. SoientE={n∈N|(∃m∈N) (n= 15m)}etF={n∈N|(∃k∈N, n= 5k)et(∃`∈N, n= 3`)}. Lesensemblesconsid´ere´ssontde´critsenconoisenehr´mp(voir plus loin). On aE=F: ceci est admis pourlemoment(ilfautavoirdessouvenirsd’arithm´etique).
Exemplesd’ensembled’usagefre´quent • ∅melbe’snedl(eliv´el´ucunn’aaequi:neme;)tmbseenl’neigesd´ •Nutersl;tneisran´d:giselembsedel’neseen •Zalitsf;nnteile’resnrseem:bdl´eedseisge •Q:´dsegi;noitslenrbmoarselembsndel’neseen •Rrbsensmoeledesbml’enigned´es:;lseer´ •Cmorbseocpmelex.snsedelbmesne’lenigesd´: Bienentendu,d’autresensemblesinterviendronttoutaulongdel’anne´eetlesnotationscorrespondantes pourlesd´esignerapparaitrontlecase´che´ant.
Descriptionencompr´ehensionanutraouspanssle´rptse’uqeceridtttentce´emeecisueexexpmnOvadu description. Un ensembleFneme´le´nu’dstsee´dttirccoenr´mpenehonsi’slisedte´rctiocmmel’ensembledes ensembleEnipereat´iteorrpa´eecunntyaP(x).O:ritanl´oersc
F={x∈E|P(x)}.
Par exemple, l’ensemble 2Nrteˆtuepsriapsretienesdiasniheneisnoencompr´ed´ecrit
2N={n∈N|(∃k∈N, n= 2k)},
laproprie´te´P(ntena´)(itic∃k∈N, n= 2k). Remarque : 1.Onn’oublierapasd’´ecrirex∈E(olensemblechoisirpn´rcesidenaqseux). Mettre simplementxn’a pas desens,etpire,peutconduirea`dese´rieuxparadoxes. 2.Onparlee´galementdedescriptionense´lection:onse´lectionneles´el´ementsquiontla«bonne»´irporp.e´te
InclusionSoientEetFdes ensembles. On dit queEestinclusdansFotiselsule´sme´esdnteEsont des ´ele´mentsdeF. On noteE⊂FsiEest inclus dansF;E6⊂FsiEn’est pas inclus dansF. Remarque :L’inclusion d’un ensembleEdans un ensembleFpeut se formuler ainsi :
ou ainsi :
Remarque :
E⊂Fsi et seulement si(x∈E⇒x∈F).
E⊂Fsi et seulement si(∀x∈E, x∈F).
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1.Poure´tablirE⊂F,on se fixex∈E´noteeriartibraceuetqliabetxppraitnetiarriaerbat`aF; 2.Pour´etabliraucontrairequeE6⊂F,on exhibe unx∈Etel quex6∈F. Lespropri´ete´ssuivantessontfr´equemmentutilise´es:
Propri´et´e1SoientE, FetHdes ensembles. 1.∅ ⊂E; 2.E⊂E; 3. SiE⊂FetF⊂G,alorsE⊂G; 4.E=F⇔(E⊂FetF⊂E).
Remarque :liabneruou.Petr´diveetneeˆ’d´ertl’en-tervient´toeu`nirppoire´loinsestessuci-d´t1eire´rppoaL semblevide,ilestfre´quentdefaireunraisonnement par l’absurde.Nous renvoyons aux notes sur les diffe´rentsraisonnementsetleurbonusagepourlad´emonstrationdecettepropri´et´e1. ` A retenir : • ∅;est inclus dans n’importe quel ensemble •´etaPourquedblirmesnexueselbEetFga´entsoronp,ouxarc´ederapdouble-inclusion: On´etablitqueE⊂F; puis queF⊂E.
Exemple : 1.N⊂Z⊂Q⊂R⊂C; 2. SoientF={n∈N|(∃k∈N, n= 5k)et(∃`∈N, n= 3`)}etE={n∈N|(∃m∈N) (n= 15m)}. On aF⊂E. En effet : soitn∈F.Da’rpe`lsdae´nfiition,nnamxuede:sere`is’´ecritd – ilexistek∈Ntel quen= 3k; – ilexiste`∈Ntel quen= 5`. Cesdeux´ecrituresdenpermettent de dire que3et5figurentdocpmsotinalsdae´respurteacnfneiosreim den.snocraPent´equnest un multiple de15 = 3×5.Il existe doncm∈Ntel quen= 15m:nappartient donca`E.itblta´eiceCequF⊂E. ´ Exercices.Etablir queE⊂F.erEnd´eduiE=F.
2.Partiesd’unensemble.Op´erationssurlesparties Un ensembleFcontenu dansEapsteenue´leppartiedeE(synonyme : sous-ensemble). L’ensemble des parties d’un ensembleEeoen´ttsP(E). Remarque :On aF⊂E⇔F∈ P(E). Exemple : 1.∅etEsont des parties deE.uepnnodtce´cerir:O∅ ∈ P(E);E∈ P(E). 2.{1,2}est une partie de{1,2,3}. 3. SoitE={1,2}.On aP(E) ={∅,{1},{2},{1,2}}. Exercices. 1. SoitE={1,2,3}.´DriecreP(E). ` 2.Aquoieste´galP(∅)?
R´eunion.IntersectionSoientEun ensemble;FetGdes parties deE. •On noteF∪G(qui se lit«FunionG»seenlembl’)dseemtnlee´ed´sEnenttienpparquiaa`Fa`uoG, c’est-`a-dire F∪G={x∈E|(x∈F) ou (x∈G)}. L’ensembleF∪Gest laun´eniordes ensemblesFetG.
•On noteF∩G(qui se lit«FinterG»l)e’lbdesnmeeml´´eesdetsenEtrappaiu`tnaenneiqFtea`G, c’est-a`-dire F∩G={x∈E|(x∈F) et (x∈G)}. L’ensembleF∩Gest l’intersectiondes ensemblesFetG.
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