Notes de MGeom2
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Niveau: Supérieur
GEOMETRIE DIFFERENTIELLE Notes de MGeom2 (1997–1998) Chris Peters Universite de Grenoble I Saint-Martin d'Heres, France 27 Janvier 2000
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GEOMETRIE DIFFERENTIELLE Notes de MGeom2 (1997–1998) Chris Peters Universite de Grenoble I Saint-Martin d'Heres, France 27 Janvier 2000
- variete differentiable
- espaces topologiques
- droites passant par l'origine de rn
- espace quotient de rn par la relation d'equivalence determinee
´ GEOMETRIE ´ DIFFERENTIELLE Notes de MGeom2 (1997–1998)
Chris Peters
Universit´edeGrenobleI Saint-Martind’H`eres,France
27 Janvier 2000
Sommaire
Chapitre 0. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
Chapitre1.Vari´te´sdiff´erentiables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 e § de base1. Notions. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 § tangent et cotangent2. L’espace. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 §br´e3.Fitorisvecles. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 §enerabtisle.4oFmrseid´ff. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 §5. Integration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ´ §Va6.sekotSest´´erietrdbo`a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Chapitre 2. Cohomologie de De Rham. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 §1)e(IIac´roPniemedL.me. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 §2. Mayer-Vietoris. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 §3. Calcul de quelques groupes de De Rham. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 §4. Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18
Chapitre3.Quelquesexercicessuppl´ementaires. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Chapitre 0. Introduction
Ce cours est la suite du cours ”MGeom I”. Les notions suivantes sont supposees connnues : ´ 1.Lanotiond’unesous-varie´t´edeRn, 2. La notion de vecteur tangent et cotangent, 3.Formesdiff´erentiablessurRnofedsemrfie´dseinrdsuouesrtveesdetint´egrationRne´eegedd n,tcapmoctroppsu`aet 4.Lespartitionsd’unite´subordonn´ee`aunrecouvrementouvertd’unesous-vari´ete´deRn.
Voici un liste partielle des livres qu’on pourra consulter. Re´f´erences Livres [A] Auslander, L., R. MacKenzie: Introduction to Differentiable Manifolds, Dover (1977), CommentairenuettxcealssqieuC’estlituN.seaevi`rtuecavsedercxeesic.uosrenadesbieaucapt´ [B-Jinger(19ogie,SpraitlpoloiDeffertn,)37o¨kc]rBrhu¨fniEeidnignuK..,,Terh:icanJ¨ Commentaire§1–§ilutpoes5ntsociceexerupd’aucoayeb;sliocruruel.reainteme´le´e´sopxE.s [B-T (1982),] Bott, R., L. Tu: Differential forms in algebraic topology, Springer Verlag CommentaireSeul certaines paragraphes du premier Chapitre sont utiles; l’exposition est un peu tropavancee,maislasuitedeMayer-Vietorisestbienexplique´e. ´ [R0),riVae:.d,GamRh]neat´ffreseide´´t(196mann,Herbles Commentaireehe´rpmosednoisnletituonacrlouspiprtCsahItsIseeILeleelestformesdiff´erenti pourl’integration.Expose´avance. ´ ´ er, F.W.: Foundations of Differentiable Manifolds and Lie groups, Springer Verlag [W99)3,]nra1W( Commentaireauveoutrnyupcoaubeicrexe’deviN.secletitosessretuonhcsetipamerpre`iLestrois interm´ediaire. Article [B L. E. J.: Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl, Math. Ann.] Brouwer,70(1911), 161–152
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Chapitre1.Vari´et´esdiff´erentiables
§ de base1. Notions
1.1.D´efinition.Unepolo´etoegiqu´itevrade dimensionnpa´eer´potocepaesqugilosenutseX localementhome´omorphea`Rn. Donc chaque pointx∈Xadmet une voisinage ouvertUtuedeemsihpromoe´mohnUsur un ouvert deRn: h:U→h(U)⊂Rn h(x) = 0. On appelle (U h)une carte locale autour dex. Les fonctionsy7→xj(yseinfie´drap) h(y) = (x1(y) . . . xn(y)) s’appellentocro´eessdonnli´eesealsoscoac. 1.2. Remarques. 1.Ilyadesespacestopologiquesnon-se´pare´esetlocalementhom´eomorphes`aRn. 2. Le nombrene´datinfiderulsnaqfiguieacspid-a`-tsenu’uqerologttop,c’eiquetsnuoienirnaniav topologiques´epare´nepeutpasenmˆemetempsˆetrelocalementhome´omorphe`aRn`aetRm, m6=nr([ouwe`aBr,duenttuesC’.elicffiideme`roe´hBr]). On verra plus tard que pour les varie´te´sdiffe´rentiablescelad´ecouleimm´ediatementduth´e`medesfonctionsimplicit eor es. 3. Souvent on exige de plus queXsoitparacompactesadee´onbmarlbdee.c,.d`adm.ateetebun la topologie.
1.3. Exemples. 1. Un ouvert deRneirde´tmideisneonestunevan. ´ 2.Unesous-varie´t´edeRnde dimensionmnutse)1mte´iravemedide´enions(MGeovoirm, 3. SiXetYonsisontdeuxvsdsdeminera´itee´n, resp.m, le produitX×Yede´et´variseenut dimensionn+m, 4. Un tore de dimensionnest l’espace quotient deRntereim´nee´ed’ivquenald´cepalraalernoit par un reseau ´ Γ =Ze1⊕Ze2∙ ∙ ∙ ⊕Zen ou`{e1 . . . en}est n’importe quelle base deRntuneC’es´et´vari.onsiededenimn. 5. L’espace projectivePn(R) des droites passant par l’origine deRn+1nemidede´te´iravnetues-sionn. 6. L’espace projectivePn(C) des droites passant par l’origine deCn+1nutsete´iravemedide´en-sion 2n.
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SoitXiqogolopn.Uueenavu´tteire´atlasest un recouvrement{U h}deXpar des cartes. Les fonctions de transitionhU V´efiniesssontd(esrtcauxdedenoitcesretni’lruU h) et (V k) par la formule hU V=k◦h−1:h(U∩V)→k(V). Ce sont des applications parmi des ouverts deRnet on peut donc se demander si ces fonctions sont de´rivables.SilesfonctionsdetransitionsontC∞on parledu’elbaentiff´erasdinatl. 1.4.De´finition. 1. Uneneitbaele´id´ffreeti´arvri´et´etestunevaumeu’dinlopoqigo´eiffntreatunsdlae.iabl 2. Unepplianoidacitneit´ffreleabesestuneapplicatoicnnoitun,etreneti´areve´ffidse´lbaitner localementd´erivabledanslescartes. 3. Unemsihpromoe´ffida-erff´tienosesidtii’lerevnticalippeaunstelequetelctivbijebaelneit´ffrenoid ble.S’ilyaundiff´eomorphismeentredeuxvari´ete´s,cesdeuxvarie´t´essontidmorpff´eohes. 1.5. Exemple.suotxe’dlpmeedsescledei-usssntsoertnailbse.svari´et´esdiff´eexpmeLes 1.6.De´finition.Un sous-espaceZleabte´iide´re´ffitned’unevarX(de dimensionn+k) est une sous-vari´et´esi chaque pointzdeZadmet une carteUneer´ntcezsseolacelordonn´eavecco {x1 . . . xn+k}telles que U∩Z={y∈U;xn+1(y) =. . .=xn+k(y) = 0}. Le nombreks’appelle lacodimensiondeZ. Unesous-varie´te´commeci-dessusestelle-mˆemeunevariete´diff´erentiable(dedimension=n): ´ onprendcommeunatlaslar´euniondesU∩Zci-dessus lorsquez∈ZparcourtZ. 1.7. Exemples. 1.Unsous-espaca`elPineairede(.)n´Rn+m+1de dimensionnouesunitfin´e1d+ede´te´irav-sPn+m(R) diffe´omorpheR 2.Conside´ronsl’application
f: [02π]→R2 f(t cos() = (2t−2π)sin 2(t−π2)). L’imagen’estpasunesous-vari´et´eduplan,carl’origineestunpoint’double’.Onpeute´viter decre´erunpointdoubleenconside´rantlarestrictiong=f|]02π[ qui est un bijection sur l’image, mais l’image deg´irav-srac,e´tnusauose’nptsegastpesn’eom´hounihmsomprseru e son image.
§ tangent et cotangent2. L’espace
2.1.D´efinition.SoitXetnuvera´ite´ediff´erentiablex∈Xun point. 1. Unegerme d’une fonctionenxeclastuneelcniuav´’qessdeonti´esdesedncfosedseinfinads voisinages ouvertes dexnois`dre,e`ooucnfetgnadsse´tnelagiellessoalentesseme´uqvicmo une voisinage dexmpcondeitio´efinededamnielodadsniresfet deg. 2. Unegerme de courbeenxunstesaaspantrelcndeseocruebpseclassed’´equivax,oon`u conside`redeuxcourbesγ:]−a a[→X γ(0) =xetγ0:]−a0 a0[→X γ0(0) =xcomme e´quivalentessiγ=γ0sur une voisinage de 0.
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