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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 09-10 semaine 7 ————————————————————————————————————————— 1 ) On considere le sous-espace vectoriel F de R4 forme des solutions du systeme suivant : (?) { x1 ? x2 ? x3 + 2x4 = 0 (E1) x1 + 2x2 + x3 + x4 = 0 (E2) . Donner une base de F . 2) Soit B = (e1, e2, e3) une base d'un R-espace vectoriel E. Montrer en utilisant la definition que B? = (e1 + e2 + e3, e2 + e3, e3) est une base de E. 3) Donner dans la base B? les coordonnees de e1 + e2 + e3 et e3. 4) Quelles sont les coordonnees dans la base B? d'un vecteur de coordonnees (x, y, z) dans la base B. ————————————————————————————————————————— 1) F est constitue des solutions d'un systeme homogene a coefficients reels de deux equations a quatre inconnues. C'est donc un sous-espace vectoriel de R4. F est encore forme des solutions du systeme homogene : (?) { x1 ? x2 ? x3 + 2x4 = 0 (E1) 3x2 + 2x3 ? x4 = 0 (E2 ? E1) . qui est un systeme triangule de variables libres x3 et x4. On obtient : x2 = ? 2 3 x3 + 1 3 x4 .

coordonnees de e1

lineaire des vecteurs de b?

e3 dans la base b?

famille libre

x3 ?

famille b?

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Indépendance linéaire

NometPr´enom:L1MPAlg`ebre09-10semaine7 ————————————————————————————————————————— 4 1)Onconside´relesous-espacevectorielFdeRnodssusyseosulitvant:t`emesuide´mrof ( x1−x2−x3+ 2x4(= 0E1) (∗) x1+ 2x2+x3+x4(= 0E2). Donner une base deF. 2) SoitB= (e1, e2, e3) une base d’unR-espace vectorielElitunasidaltnﬁe´.Mtronenerition 0 queB= (e1+e2+e3, e2+e3, e3) est une base deE. 0 3) Donner dans la baseBeoordlesceesdonn´e1+e2+e3ete3. 0 4)Quellessontlescoordonn´eesdanslabaseBonn´ees(rdecoordnuevtcue’dx, y, z) dans la baseB. ————————————————————————————————————————— 1)Fogomehemco`ane`estneicﬃeedslee´rstittconessou´ednodsulitsy`tu’sndeuexs´equations`a 4 quatre inconnues.C’est donc un sous-espace vectoriel deR.Ferofneocetsionsolutdessrm´e dusyste`mehomog`ene: ( x1−x2−x3+ 2x4(= 0E1) (∗) 3x2+ 2x3−x4= 0(E2−E1). quiestunsyste`metriangul´edevariableslibresx3etx4. Onobtient : 2 1 x2=−x3+x4. 3 3 On obtient alors : 1 5 x1=x2+x3−2x4=x3−x4. 3 3 Ilenr´esulte: 1 5 2 1 F={(x3−x4,−x3+x4, x3, x4) tels quex3, x4∈R)}. 3 3 3 3 1 25 1 F={x3(,−,1,0) +x4(−, ,0,1) tels quex3, x4∈R)}. 3 33 3 1 25 1 Aini,Fest l’ensemble des combinaisons lineaires des vecteursu= (,−,1,0) etv= (−, ,0,1). 3 33 3 La famille (u, ve)amefleildostunnccirtedene´gare´Filleefamstun.C’eehol´rce,eacilrbe.´enn C’est donc une base deF. Celacorrespondaur´esultatducours:l’algorithmedere´solutiond’unsyst`emehomog`ene`a coeﬃcients dans un corpsKdepuqe´a`snoitaninconnues fournit une base du sous-espace n vectoriel deKno.sseosulittu´eparsconsti 2) Montrons que la famille (e1+e2+e3, e2+e3, e3) est une famille libre deE. Soita, b, ctrois re´elstelsque: a(e1+e2+e3) +b(e2+e3) +ce3= 0. On obtient : ae1+ (a+b)e2+ (a+b+c)e3= 0.

CommeB= (e1, e2, e3) est une base deE,c’estnufemalielilrb.e:tiude´dnenO

a=a+b=a+b+c= 0 0 Ilenr´esulte:a=b=c.0nO=equeouv´sipraaineafalllimB= (e1+e2+e3, e2+e3, e3) est libre. 0 Montrons que la familleB= (e1+e2+e3, e2+e3, e3´nretair)segte´.Scetoiuun vecteur deE. CommeB= (e1, e2, e3) est une base deE, si (x1, x2, x3)edseen´onrdoosclentsoudans la base B: u=x1e1+x2e2+x3e3. Cherchons (X1, X2, X3tes,qulse:rt)rsiolee´ u=x1e1+x2e2+x3e3=X1(e1+e2+e3) +X2(e2+e3) +X3e3. Il vient : x1e1+x−2e2+x3e3=X1e1+ (X1+X2)e2+ (X1+X2+X3)e3. Ilenr´esultepuisqueB= (e1, e2, e3) est une base deE´eiticun(’dnoisserpxe’ledrcteuunve dans une base) ;   X1=x1 (∗)X1+X2=x2   X1+X2+X3=x3. Ainsi, (X1, X2, X3e’nilemee´R.eriasconlvsoemt`ysesesrt.elIuoevs)noltseoslutionsd’unsyst` qu’ilesttriangul´e.Onobtient: X1=x1, X2=x2−X1=x2−x1, X3=x3−(X1+X2) =x3−x2. On a donc : u=x1e1+x2e2+x3e3=x1(e1+e2+e3) + (x2−x1)(e2+e3) + (x3−x2)e3. 0 Le vecteurueodtsedsruet´eainlinsvecredeneoccnibiaosbmniB. 0 La familleBstebrlincdoe,e´gnee´arrtcideE. C’estdonc une base deE. Enanticipantuntoutpetitpeusurlecours,onauraitpue´crirequeEest unR-espace vectoriel 0 dedimension3(puisqueparhypothe`selabaseB´ements)trois´elimllaeO.,ralafBest une famillelibre(premi`erepartiedelapreuve)etestform´eedevecteursdeE, c’est donc une base deE.

3) On a clairement :e1+e2+e3= 1(e1+e2+e3) + 0(e2+e3) + 0e3(1. Ainsi,,0,0) sont les 0 coordonne´esdee1+e2+e3dans la baseB. On a clairement :e3= 0(e1+e2+e3) + 0(e2+e3) + 1e3. Ainsi,(0,0,n´eesscoordonlentso1)

0 dee1+e2+e3dans la baseB. 4 ) Soitu∈Eoocededee´nnodrs(x, y, z) dans la baseBnOpa.ﬁeinra´donti:u=xe1+ye2+ ze3D.rpa’lse`euqa:stion2,onobtient xe1+ye2+ze3=x(e1+e2+e3) + (y−x)(e2+e3) + (z−y)e3. 0 Ainsi, (x, y−x, z−ytloncoesdoor´enndses)udans la baseB.

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