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chaeh

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Français

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NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Mathematiques pour la Biologie (semestre 2) : Feuille-reponses du TD 5 La methode de Euler pour l'approximation d'une solution d'une equation differentielle Principe de la methode de Euler Etant donne une equation differentielle dx dt = f(t, x), (1) on veut approximer, pour une valeur initiale x0, une fonction x(t) qui verifie l'equation et pour laquelle on a x(0) = x0. Pour faire cela, on choisit quelques points ti pour lesquels on calcule des approximations xi correspondants. On espere que xi ≈ x(ti). A partir de la valeur x0 on peut calculer dxdt (0) = x?(0) a l'aide de l'equation (1) en calculant f(0, x0). Comme valeur approximative x1 au temps t1 = 0 + t1 on choisit de prendre x0 + dX = x0 + x?(0) · t1. (2) En general, la valeur xi+1 est determinee en ajoutant ∆xi = (ti+1 ? ti) · f(ti, xi) a son predecesseur, la valeur xi : xi+1 = xi +∆xi = xi + (ti+1 ? ti) · f(ti, xi). (3) Fig. 1 – Pour approximer la courbe, on suit la droite tangente a cette courbe.

methode de euler pour l'approximation

derivee x?

x1 au temps t1

developpement des populations

feuille-reponses du td

population initiale

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Français

NOM : PRENOM :

Date : Groupe :

MathematiquespourlaBiologie(semestre2):Feuille-reponsesduTD5 LamethodedeEulerpourl’approximationd’unesolutiond’uneequationdierentielle

. .

PrincipedelamethodedeEuler Etantdonneuneequationdierentielle dx =f(t, x),(1) dt on veut approximer, pour une valeur initialex0, une fonctionx(tqulaurpoleelile’qeauitnote)quiver on ax(0) =x0. Pour faire cela, on choisit quelques pointstipour lesquels on calcule des approximations dx0 xiesperequants.Onerrseopdnocxix(ti). A partir de la valeurx0on peut calculer(0) =xa(0) dt l’aidedel’equation(1)encalculantf(0, x0). Comme valeur approximativex1au tempst1= 0 +t1on choisit de prendre 0 x0+dX=x0+x(0)t1.(2) Engeneral,lavaleurxi+1dtesetnajouteenainetermxi= (ti+1ti)f(ti, xirul,adeceseespronas) valeurxi: xi+1=xi+ xi=xi+ (ti+1ti)f(ti, xi).(3)

Fig.ceuoecttaLatbr.etetadroiteangen,ebruocaaltiusnoppraou–Prlmexiro1enngesteontdeen 0 par le pointxiet le coecient directeurx(ti) =f(ti, x(ti)).

0 Cetteprocedureestjustieeparlesapproximationssuivants.Laderiveex(tmeomreetecvup)ˆtue le quotient de deux dierences (pour tpetit) : x xi+1xi0 =x(ti).(4) t ti+1ti En isolantxi+1on obtient 0 xi+1=xi+ (ti+1ti)x(ti),(5) 0 ouladeriveeinconnuex(t) de la fonctionx(to’nncenoantiapnsonplus-estremplaeecrapuq-)f(t, x) correspondanta(1).Celadonnelaspecication(3).

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