Module MA5
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence de Mathematiques Module MA5.06 GEOMETRIE Jean-Franc¸ois Havet Universite d'Orleans, Departement de Mathematiques B.P. 6759, 45067 ORLEANS Cedex 2, France Septembre 2003
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Licence de Mathematiques Module MA5.06 GEOMETRIE Jean-Franc¸ois Havet Universite d'Orleans, Departement de Mathematiques B.P. 6759, 45067 ORLEANS Cedex 2, France Septembre 2003
- espaces vectoriels de dimension finie
- espace dual
- base duale
- geometrie vectorielle
- consequence du theoreme de la base incomplete
- theoreme
- endomorphisme
Publié par
Publié le
01 septembre 2003
LicencedeMath´ematiques
Module MA5.06
GEOMETRIE
Jean-Franc¸oisHavet
Universit´ed’Orle´ans,D´epartementdeMath´ematiques B.P. 6759, 45067 ORLEANS Cedex 2, France
Septembre 2003
Tabledesmati`eres
ChapitreI:Ge´ome´trievectorielle1 1Dualit´e1 1.1. Espace dual 1 1.2. Hyperplan 3 1.3. Base duale 4 2 Espace Hermitien 7 2.1. Produit hermitien 7 2.2.Orthogonalite´ 10 2.3. Adjoint d’un endomorphisme 13 2.4. Endomorphisme unitaire 16 2.5. Endomorphisme normal 18 3 Espace Euclidien 20 3.1. Produit scalaire 20 3.2.Orthogonalite´ 22 3.3. Adjoint d’un endomorphisme 23 3.4.Endomorphismesyme´trique 24 3.5. Endomorphisme orthogonal 25 3.6.Former´eduited’unendomorphismeorthogonal 27 3.7. Groupe orthogonal 31
ChapitreII:Ge´ome´trieaffine33 1 Espace et application affines 33 1.1.Espaceaffineassoci´e`aunespacevectoriel 33 1.2. Application affine 35 1.3. Groupe des automorphismes affines 38 1.4. Sous-espace affine 40 2Barycentreenge´ome´trieaffine45 2.1. Barycentre 45 2.2. Application affine et barycentre 47 2.3. Sous-espace affine et barycentre 49 2.4.Partieconvexed’unespaceaffiner´eel 51 3Ge´ome´trieaffineeuclidienne54 3.1.Isome´trieaffine 54 3.2.Groupedesisome´triesaffines 56 i
3.3.
Index
Classification
des
isome´tries
du
plan
ii
et
de
l’espace
59
63
ChapitreI:Ge´ome´trievectorielle
1Dualit´e Dans toute cette partieK´esidauncgnerocmmrospfi.tuta
1.1. Espace dual
1
1.1.1. Rappels. •SoientFetGdes sous-espaces vectoriels d’unK-espace vectorielE. On dit queG est unneat´lmeusppiredeFdansEsiE=F⊕G. •riatneme.ensoiumtal´ppsuunceotcavedaemirleTout-espsous C´ultatestuneconse´quenceduth´eore`medelabaseincomple`te.SiEn’est p e res as dedimensionfinie,ilfaitappel`al’axiomedeZorn.(cfMA504 Chap. I). SoientEetFdesK-espaces vectoriels etf∈ L(E F). SiG ire ntest un suppl´ •eme a deKer (f)dansEalorsfictiestrisomonunsiemrohpenerte´drraptinfiGetIm (f). Pour touty∈G, posonsg(y) =f(y).Ond´efinitainsinuaeppilacitnoileriae´ngdeG dans Im (f). Montrons qu’elle est bijective. Soity∈Ker (g). On a 0 =g(y) =f(y). Doncy(rntieKe`aaprtpaf) et commeG∩Ker (f) ={0}onend´eduitque,y= 0 et quegest injective. Soitz∈Im (f). Il existex∈Etel quey=f(x.)sonsompoD´ecx eny0+yavecy0∈Ker (f) ety∈G. On a alorsz=f(x) =f(y0+y) =f(y) =g(y). Parconse´quentzappartientmIa`(g) etgest surjective.
1.1.2.De´finition. SoitEunK-espace vectoriel. On appelleirean´lieemrofsurEtoute applicationline´airedeEdansK.
1.1.3. Exemples. b a) SiE=C([a b]R), l’applicationf−→7Zf(t)dtesureairlin´ormefenutseE. a b) SiE=K[X], pour touta∈K, l’applicationP7−→P(autenofmrlenie´iarees) surE. c)Latraceestuneformeline´airesurMn(K). d) SoientEun espace vectoriel de dimension finie etB= (ei)i=1∙∙∙nune base deE. n Pour toutj∈[1 n]N, l’applicationej∗:x7−→λjtel quex=Xλieiest une forme i=1 line´airesurEeepa,´lepj`eme-ceooofmr´needrnotiverelabase`alaB.
2
Ge´om´etrievectorielle
1.1.4.D´efinitions. SoitEunK-espace vectoriel. On appelleespace dualdeE,not´eE∗, ∗ l’espacevectorieldesformeslin´eairessurE. On appelleespace bidualdeE´eton,E∗, l’espace dual deE∗. On a doncE∗=L(E K) etE∗∗=L(E∗ K) .
1.1.5. Lemme.Soientvun vecteur non nul d’un espace vectorielEetHun-eneml´ppsu taire dansEde la droiteDreepandr´engevireaemeorn´linufesietlixeolsr.Aϕ∈E∗ telle queϕ(v) = 1etKer (ϕ) =H. Preuve.hte`esnoParayhopE=H⊕D. Soitpla projection surDatne`llemelparaH. ` Pour toutx∈E, le vecteurp(xitneppraa)t`aDonerialacseuqinuet´teunexisetilϕ(x) tel quep(x) =ϕ(x)v. On ap(v) =v, doncϕ(v) = 1. Montrons que l’applicationϕest line´aire.PourtousxetydansE, tousλetµdansKon a ϕ(λx+µy)v=p(λx+µy) =λp(x) +µp(y) =λ(ϕ(x)v) +µ(ϕ(y)v) = (λϕ(x) +µϕ(y))v Commevest non nul, on a doncϕ(λx+µy) =λϕ(x) +µϕ(y)`u’o.Dϕest une forme lin´eairesurE. De plusx∈Ker (ϕ) si et seulement sip(x,0=)se’cda`tseriix∈Ker (p) =H.
1.1.6. Corollaire.SoitEunK-espace vectoriel. (i)Pour toutx∈Etoe´non,e,l’acatipplijE(x)ottqu,iua`ϕ∈E∗, associeϕ(x), est uneformeline´airesurE∗ tous Pour. (x∈Eetϕ∈E∗on a :jE(x)(ϕ) =ϕ(x)). (ii)L’applicationjEdeEdans son bidualE∗∗eappstuntionlicaaeriil´nceitiejn.ve,e
Preuve.rtion(erv´Lanoitacfiiessa’ledi)etducaratce`eril´naerideejEeimstedm´teia. Montrons quejEest injective. Soitvnon nul dansEdrLa.epardr´engenlleeroeievtcioet vedirsanme´latnenuteppusadmE’a.D`epristeent,ilexrpe´´cdelslemeemϕ∈E∗tel que ϕ(v) = 1. DoncjE(v)(ϕ) = 16= 0 etv(ra`eKpparn’atpastienjEne´r.)lIulesqutee Ker (jE) ={0}.
1.1.7.De´finitionoilnnie´iaer.L’applicatjEse,t-patllairepr´ec´ededn,e´nfieiadsnelocor pel´eeinjection canoniquedeEdans son bidual.
1.1.8.Th´eor`eme.SoitEun espace vectoriel de dimension finie. Alors (i)son dualE∗est de dimension finie etdim(E∗) = dim(E); (ii)l’injection canoniquejEest un isomorphisme deEdansE∗∗.
Dualite´
3
Preuve.(i) Rappelons que siEetFsont des espaces vectoriels de dimension finie, alors L(E F dim() est de dimension finie etL(E F)) = dim(E)×dim(F) . Il suffit d’appliquer cer´esultatavecF=K. (ii) On a dim(E∗∗) = dim(E∗) = dim(E) . L’application lineairejEe´atctjeinntrenteeiv ´ deuxespacesvectorielsdemˆemedimensionfinie,estunisomorphisme.
1.2. Hyperplan 1.2.1. Remarque.rofetuoTeirean´limeϕnon nulle est surjective. En effet Im (ϕcapsceveosnue-suenritduritonoela`)est{0}deKqui est un espace ´ vectoriel de dimension 1. Int´eressons-nousmaintenantaunoyaud’uneformeline´aire. 1.2.2. Proposition.SoientEunK-espace vectoriel etHun sous-espace vectoriel deE. Lesconditionssuivantessont´equivalentes: (i)Il existeϕ∈E∗\{0}tel queH= Ker (ϕ). (Heayoneltsnefoud’uin´ermelonniaer nulle surE). (ii)H6=Eet pour toutv∈ Hon aE=H⊕Kv. (iii)Hsnaderiatnemedaemutenursuppl´droitepoE. SiEonsienimedtdestioiocdnl,senfieitesseden´ec´nspra`ont´equivalentes (iv) dim(H) = dim(E)−1. Preuve.(i)⇒(ii) Commeϕest non nulle,Hest distinct deE. Sivest un vecteur n’appartenant pas aH, il existeGredee´emtniaspulpHdansEcontenantve`rpsa’D. ` 1.1.1,Gmosoherpties(a`mIϕ) =K. Donc dim(G) = 1 etGest la droite vectorielleKv. L’implication (ii)⇒(iiim´imst)e.etaide (iii)⇒(i) SoientDune droite telle queE=H⊕Detvune base deDlse`e.Dpr’a lemme 115, il existeϕformeli´naerinenounllteeuqelleH (= Kerϕ). SiEfinie, il est clair que les assertions (est de dimension iii) et (ivs)´tnoesnt.uieqleva 1.2.3.De´finition. On appellehyperplan (vectoriel)deE, tout sous-espace vectoriel de E´fi.sedc´tsentvonri´eudhte´roe`emrpe´´es´equivalentespselleuqte´irporleurpo ee 1.2.4. Corollaire.elritoecvecapsenurussellonnuresn´eaislinroemuefxDEsont pro-portionnelles si et seulement si elles ont meme noyau. ˆ Preuve.Soientϕetψslme´eineudorxfllunS.seerianonsqueupposonsϕetψotnˆmmee noyauH. Soitvapn’urteecnvua`saptnanetrapH. Posonsα=ψ((vv))esnuqtnorteom ϕ ψ=αϕ.
