Methodes L2 et resultats effectifs en geometrie algebrique

Me´thodes
L
2
etre´sultatseffectifsenge´ome´triealge´brique
L’expose´faitlepointsurlesre´sultatsobtenusdepuis1990environ,concernantl’exis-
tencedesectionsglobalesdessyste`mesline´airesadjoints.L’undesbutsdelathe´orie
estl’e´tudeapprofondiedelastructuredesvarie´te´sprojectives.Unedesprincipales
motivationsenestlaconjecturee´nonce´een1987parT.Fujita:si
L
→
X
estun
fibre´endroitesample,
|
K
X
+
mL
|
estglobalementengendre´pour
m
≥
dim
X
+1
ettre`samplepour
m
≥
dim
X
+2.L’expose´pre´senteunaperc¸uduversantanaly-
tiquedelathe´orie:estimations
L
2
pourl’ope´rateur
∂
,me´triquessingulie`res,ide´aux
multiplicateursdeNadel.Commeapplication,ondonnelesche´madelapreuvedela
conjecturedel’invariancedesplurigenres,re´cemmentde´montre´eparY.T.Siudansle
casdesvarie´te´sdetypege´ne´ral.

Mots-cle´s:
Varie´te´projective,fibre´endroites,tenseurdecourbure,fibre´positif,
fibre´ample,fibre´nef,estimations
L
2
pourl’ope´rateur
∂
,faisceaud’ide´auxmultiplica-
teursdeNadel,the´ore`mesd’annulation,syste`meline´aireadjoint,conjecturedeFujita,
varie´te´detypege´ne´ral,invariancedesplurigenres.

ClassificationAMS:
14C30,14F17,14J60

L
2
methodsandeffectiveresultsinalgebraicgeometry
Thearticlegivesanexpositionofseveralimportantresultsobtainedsincethebegin-
ningofthe90’s,concerningtheexistenceofglobalsectionsofadjointlinearsystems.
Themaingoalisadeepenedinvestigationofthestructureofprojectivevarieties.A
strongmotivationofthisstudyhasbeentheconjectureassertedbyT.Fujitain1987:
if
L
→
X
isanamplelinebundle,
|
K
X
+
mL
|
isbasepointfreefor
m
≥
dim
X
+1
andveryamplefor
m
≥
dim
X
+2.Thepresentationiscenteredaroundtheanalytic
aspectsofthetheory:
L
2
estimatesfor
∂
operators,singularhermitianmetrics,Nadel
multiplieridealsheaves.Asanapplication,wegiveanoverviewoftheproofofthe
conjectureofinvarianceofplurigenerainthecaseofvarietiesofgeneraltype,asit
hasbeenrecentlyannouncedbyY.T.Siu.

Key-words:
Projectivevariety,linebundle,curvaturetensor,positivevectorbundle,
amplelinebundle,neflinebundle,
L
2
estimatesforthe
∂
operator,Nadelmultiplier
idealsheaf,vanishingtheorems,adjointlinearsystem,Fujitaconjecture,varietyof
generaltype,invarianceofplurigenera.

ClassificationAMS:
14C30,14F17,14J60

852-02

Se´minaireBOURBAKI
51e`meanne´e,1998-99,n
o
852

Novembre1998

ME´THODES
L
2
ETRE´SULTATSEFFECTIFS
ENGE´OME´TRIEALGE´BRIQUE
par
Jean–PierreDEMAILLY

1.INTRODUCTION

Lathe´oriedessyste`mesline´airesadjointsapourbutd’e´tudierlesespacesde
sections
H
0
(
X,K
X
+
mL
)associe´sa`unfibre´endroites
L
ample–oudumoins
suffisammentpositif–surunevarie´te´alge´briqueprojective
X
dedimension
n
.La
motivationprincipaleestlaconstructiondeplongementsd’une“varie´te´alge´brique
polarise´e”(
X,L
)donne´edansunespaceprojectifcomplexe
P
C
N
,avecdesbornes
effectivesexplicitespourlesdegre´s.Aleurtour,detelsplongementspeuventeˆtre
utilise´spourde´montrerdesth´eore`mesdefinitudeoupouressayerdeclassifierles
structuresalge´briquessurunevarie´te´detypetopologiquedonne´.
Onsupposeratoutaulongdecetexpose´que
X
estlisse,de´finiesur
C
,eton
notera
K
X
=Λ
n
T
X⋆
,
n
=dim
X
,le
fibre´endroitescanonique
de
X
.Onutilisera
lanotationadditiveusuellepourlegroupedePicard:
K
X
+
mL
estdoncsynonyme
de
K
X
⊗
L
⊗
m
.L’unedesquestionslesplusmotivantespourlathe´oriedessyste`mes
line´airesadjointsasansdoutee´te´laconjecturesuivante,duea`T.Fujita[Fuj87,88].
Conjecture(Fujita).
Si
L
estunfibre´endroitesamplesurunevarie´te´projective
X
dedimension
n
,alors
(i)
K
X
+
mL
estengendre´parsessectionspour
m
≥
n
+1
.
(ii)
K
X
+
mL
esttre`samplepour
m
≥
n
+2
.
A`cejour,lapartie(ii)delaconjecturedeFujitasembleencorehorsdeporte´e
hormislecasbiencomprisdesdimensions1et2(cf.I.Reider[Rei87]),maisla
partie(i)afaitl’objetdenombreuxtravauxquiontconduita`unere´ponsepositive
jusqu’endimension5(Ein-Lazarsfeld[EL93]endimension3,Y.Kawamata[Kaw97a]
endimension4,S.Helmke[Hel98]endimension5).

852-02

Ilfautobserverquecetypedere´sultat,fournissantuneborneuniversellene
de´pendantquedeladimension
n
pourl’entier
m
,sesauraiteˆtrevraipourlessyste`mes
line´aires
H
0
(
X,mL
).Eneffet,si
X
estunecourbedegenre
g
,ilestbienconnuque
H
0
(
X,mL
)n’apasdesectionssi
m<g
,pour
L
ge´ne´riquededegre´1.Parailleurs,
lesbornesdelaconjecturedeFujitasontde´ja`optimalesdanslecasou`
X
=
P
C
n
,
L
=
O
(1),puisqu’onaalors
K
X
=
O
(
−
n
−
1).
Lecaracte`reine´vitabledufibre´canoniques’expliqueparsoninterventiondans
lesthe´ore`mesd’annulationfondamentauxtelsquelethe´ore`medeKodaira-Nakano,
lethe´ore`medeKawamata-Viehwegoulethe´ore`medeNadel(voir
§
2).L’approche
pre´sente´eicis’appuirasurunee´tudeapprofondiedesme´triquessingulie`resetdes
ide´auxmultiplicateursdeNadel,quimesurentdefac¸onpre´cisel’influencedesensem-
bles-basedessyte`mesline´airesconside´r´es.Lecadredetravailestlathe´oriedeHodge
L
2
,etlesoutilsanalytiquessous-jacentssontlesthe´ore`mesd’existence
L
2
pour
lessolutionsdel’ope´rateur
∂
.Unedesapplicationsmarquantesdecestechniques
estlade´monstrationduthe´ore`medel’invariancedesplurigenresparde´formation,
re´cemmentobtenuparY.T.Siu[Siu97]danslecasdesvarie´te´sdetypege´ne´ral.Le
lecteurpourraconsulterY.Kawamata[Kaw97b,Kaw98]pourdiversesge´ne´ralisations
dansuncontexteplusalge´brique,incluantnotammentlecasdesde´formationsde
varie´te´sayantdessingularite´scanoniques.
The´ore`me(Siu).
Soit
X
→
S
unefamilleprojectivelissedevarie´te´sdetypege´ne´ral
au-dessusd’unebase
S
irre´ductible.Alorslesplurigenres
p
m
(
X
t
)=
h
0
(
X
t
,mK
X
t
)
desfibressontinde´pendantsde
t
pourtout
m
≥
0
.
L’assertionplusge´ne´raleou`lesfibres
X
t
seraientdedimensiondeKodairaquel-
conqueestencoreconjecturale(etne´cessitevraisemblablementdestechniquesde
the´oriedeHodgebeaucouppluse´labore´es).Nousallonsmaintenantdonnerunaperc¸u
desme´thodesutilise´esetdelapreuvedesprincipauxre´sultats–enessayantdenous
adresseraulecteurnonne´cessairementspe´cialistedelage´ome´triealge´brique.

2.ME´TRIQUESSINGULIE`RESETTHE´ORE`MESD’ANNULATION

2.1.Me´triqueshermitiennessingulie`res
Soit(
L,h
)unfibre´holomorpheendroiteshermitiensurunevarie´te´complexe
X
.
Onnesupposepasaprioriquelame´trique
h
soitdeclasse
C
∞
,maisonposetoute-
foisuneconditionrestrictivedemanie`rea`pouvoircalculerlacourbureausensdes
courants(cf.[Dem90,DPS94]).

852-03

2.1.1.De´finition.
Uneme´trique
(
hermitienne
)
singulie`resurunfibre´endroites
L
estuneme´triquedonne´edanstoutetrivialisation
τ
:
L
|
U
−
≃
→
U
×
C
par

k
ξ
k
=
|
τ
(
ξ
)
|
e
−
ϕ
(
x
)
,x
∈
U,ξ
∈
L
x
ou`
ϕ
∈
L
l1oc
(
U
)
estunefonctionarbitrairelocalementinte´grable
(
pourlamesurede
Lebesguedansdescoordonne´eslocales
)
,appele´epoidsdelame´triqueparrapporta`la
trivialisation
τ
.
Si
τ
′