Math IV Analyse Kholles de semaines Semaine

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ondey

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01 mai 2008

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Français

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Math IV - Analyse Kholles de 27/05/2008 = semaines 9,10,11,12 Semaine 1. *Exercice 1 Dans Rp donner la definition d'une boule ouverte de centre a et de rayon r. Demontrer qu'une boule ouverte est un ouvert. Exercice 2 Montrer en donnant un exemple que l'union d'une famille infinie de parties fermees de Rp n'est pas necessairement fermee. Exercice 3 On considere l'application suivante : N : R2 ?? R (x, y) 7?? |x+ y|+ |2x? y| Verifier que N definit une norme. Tracer la boule unite autour de l'origine par rapport a cette norme. Exercice 4 Trouver la meilleure constante C telle que ?x?2 ≤ C?x?∞ pour tout x ? Rn. Exercice 5 On considere l'application suivante : N : R2 ?? R (x, y) 7?? |x+ y|+ |x| Verifier que N definit une norme. Tracer la boule unite autour de l'origine par rapport a cette norme. *Exercice 6 Dans Rp donner la definition d'une boule fermee de centre a et de rayon r. Demontrer qu'une boule fermee est un ferme. Exercice 7 Montrer en donnant un exemple que l'intersection d'une famille infinie de parties ouvertes de Rp n'est pas necessairement ouverte.

espace metrique

boule unite

boule fermee de centre

r2 ?

limite limx?a

demonstration de l'equivalence

Voir

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Espace métrique Boule (topologie)

MathIV-AnalyseKhˆollesde27/05/2008=semaines9,10,11,12 Semaine 1.

*Exercice 1 DansRpdlrdanoentioie´nﬁbone’underuveoultnecedeteraet de rayonrmenortre.´Dqu’une boule ouverte est un ouvert. Exercice 2 Montrerendonnantunexemplequel’uniond’unefamilleinﬁniedepartiesferme´esdeRpn’est pasn´ecessairementferme´e. Exercice 3 Onconsid`erel’applicationsuivante: N:R2−→R (x, y)7|→−x+y|+|2x−y| V´eriﬁerqueNrdou’oelt´niuteaobaluelurT.erecaorme.`acettenrrpaoptririgenapﬁein´donmruten Exercice 4 Trouver la meilleure constanteCtelle quekxk2≤Ckxk∞pour toutx∈Rn. Exercice 5 Onconside`rel’applicationsuivante: N:R2−→R (x, y)|→−7x+y|+|x| V´eriﬁerqueNtra`paopaprrigenme.enorcettacTrlaerulbonieuae´tuotuledriro’´dﬁeinutenonmr.e *Exercice 6 DansRpennod’undioitﬁn´eadrlre´meeedenoblufecentreaet de rayonrrertu’uq´D.nomeboneeul fermeeestunferm´e. ´ Exercice 7 Montrer en donnant un exemple que l’intersection d’une famille inﬁnie de parties ouvertes deRp n’estpasn´ecessairementouverte. *Exercice 8 Donnerlad´eﬁnitiond’unepartieouvertedeRp . Donnerlad´eﬁnitiond’unepartieborne´edeRp. Exercice 9 Onconsid`erel’applicationsuivante: N:R2−→R (x, y)→−7max(|x+ 3y|,|x−y|) V´eriﬁerqueNlaboacere.Trnormuodraetuin´tluueaprrpanegiri’oelemronetteca`trop.inﬁeenut´d *Exercice 10 Donnerlad´eﬁnitiond’unespacenorme´enexplicitantlestroisconditionsquid´eﬁnissentunenorme. *Exercice 11 Montrer que l’intersection de deux parties ouvertes deRpest un ouvert.