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Sylvie Benzoni

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01 octobre 2010

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Math I Analyse licence STS portail Mathematiques-Informatique Sylvie Benzoni 26 octobre 2010

mathematiques informatique

axiome fondamental de l'analyse

calcul des solutions des equations differentielles

equations differentielles

licence sts dans le portail mathematiques-informatique

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01 octobre 2010

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Français

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1 Mo

Benzoni Équation différentielle

Math I Analyse
licence STS portail Math´matiques-Informatique

Sylvie Benzoni

26 octobre 2010

Programme et objectifs

MOTS-CL´DU COURS

Chapitre 1 :Nombres r´els, bornes sup´rieures et inf´rieures, intervalles.
Chapitre 2 :Suites num´riques. Th´or`me de Bolzano-Weierstrass.
Chapitre 3 :FonctionsR→R(limite, continuit´, d´rivabilit´). Th´or`mes de Rolle et des
accroissements ﬁnis.
Chapitre 4 :tiuasdon´qlin´airequationseillse´:fi´fertn-fﬁoe`ce2drro’dte,1erdro’ds
cients constants.

Les objectifs vis´s sont les suivants.
Comp´tences de nature m´thodologique et/ou conceptuelle :
•Comprendre les propri´t´s fondamentales de l’ensemble des r´els, du point de vue alg´brique
(l’alg`bres’int´ressant auxstructures), et surtout analytique (avec l’axiome fondamental
de l’analyse aussi appel´principe de la borne sup´rieure).
•Savoir faire des calculs abstraits, notamment avec le signeΣ(sommes simples ou doubles,
changements d’indices, formule du binoˆme).
•Savoir faire desd´monstrationspar r´currence, par l’absurde, etc.
•Savoir faire desd´monstrationsavec des epsilon (ε) : suite convergente; limite,
continuit´, d´rivabilit´ d’une fonction,crit`re de Cauchypour les suites et les fonctions.
•nsiootsnleeristraMıˆedsuite extraite,fonction,injection, surjection, bijection,continuit´.
•Concevoir les ´quations diff´rentielles comme mod`les math´matiques (incontournables
dans certains domaines de la physique, la chimie, la biologie, etc.) et faire le lien avec les
suites (mod`les ditsdiscrets).
Comp´tences techniques :
•Manipulation d’´ginital´sdansR, c’est-`-diremajoreretminorer, avec desvaleurs
absolues, desparties enti`res, despuissances enti`res, desracines n-i`mes.
•Calculs delimites(´l´mentaires) de suites et de fonctions.
•Calcul du terme g´n´ral d’une suite d´ﬁnie par une relation der´currence lin´airesimple
ou double.
•Exploitation detableaux de variationspour les fonctionsR→R, trac´ degraphes` main
lev´e.
•Calcul dessolutions des ´quations diff´rentielleslin´aires d’ordre 1, et d’ordre 2 `
coefﬁcients constants.

D’autres objectifs non sp´ciﬁques ` cette UE sont :

•esne)sapenylpsid;enmenıˆartrpal`tneenotisedontles(dtsnee’ixecopeced
•d´veloppement de la capacit´ d’abstraction;
•acteinttiroanˆveulos´ral`tnemenıs,cecierexd’ontisaisopessipuecuqcipaarti´etpduit
aux TD.

CONTRˆOLE DES CONNAISSANCES

Les ´valuations ont lieu sur le mode dueloctnniiutng´arlcontrˆo(CCI), et portent aussi
bien sur vos aptitudes techniques que sur votre connaissance des concepts et vos capacit´s
de raisonnement. L’absence ` une ´preuve donne lieu ` la note 0, sauf cas exceptionnel sur
justiﬁcatif. L’absence ` toutes les ´preuves donne lieu ` la mention DEF (pour«d´faillant») au
contrˆolecontinu,cequiimpliquel’impossibilit´devaliderl’UE(etlesemestre1delalicence
STS dans le portail Math´matiques-Informatique).

Table des mati`res

Les r´els
1 Introductionaux nombres r´els. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Bornessup´rieures .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 L’axiomefondamental de l’analyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 IntervallesdeR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Outilsde calcul dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Lespuissances enti`res. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Lesracinesn-i`mes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Lesvaleurs absolues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Lesparties enti`res. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Suitesnum´riques
1 Exemplesde suites. . . . . . . . . . .
2 Limitesde suites. . . . . . . . . . . .
2.1 Introduction. . . . . . . . . . .
2.2 Op´rationssur les limites .. . .
3 Suitesr´elles monotones. . . . . . . .
4 Suitesextraites .. . . . . . . . . . . .
5 Lecrit`re de Cauchy. . . . . . . . . .
6 Suitescomplexes .. . . . . . . . . . .
7 Approximationdes nombres r´els. . .
8 Compl´ments. . . . . . . . . . . . . .
8.1 Valeursd’adh´rence .. . . . .
8.2 Limitesup et limite inf. . . . .
8.3 Introduction` la dynamique. .

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III Fonctions d’une variable r´elle
1 Notionset notations de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 D´ﬁnitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Fonctionsmonotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 D´ﬁnitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.2 Op´rationssur les limites .. . . . .
2.3 Limiteset monotonie. . . . . . . .
2.4 Crit`rede Cauchy. . . . . . . . .
Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 D´ﬁnition. . . . . . . . . . . . . .
3.2 Th´or`mesfondamentaux .. . . .
3.3 Continuit´,monotonie, et bijectivit´
D´rivabilit´ .. . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 D´rivationet sens de variation. . .
La fonction exponentielle. . . . . . . . . .
5.1 Exponentielle. . . . . . . . . . . .
5.2 Logarithme. . . . . . . . . . . . .
5.3 Exponentiellecomplexe .. . . . .

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TABLEDESMATI`RES

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