Mastere de Mathematiques M1
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Mastere de Mathematiques - M1 Probabilites Fondamentales Fascicule d'Exercices Universite Pierre et Marie Curie - Paris VI Annee 2007-2008 Laurent MAZLIAK IMPORTANT A L'ATTENTION DES ETUDIANTS DU TELE-ENSEIGNEMENT: • Le present fascicule contient l'ensemble des exercices qui seront traites en Travaux Diriges dans le module ‘Probabilites Fondamentales' du Mastere de Mathematiques - M1. •Un certain nombre de ces exercices, surtout dans les deux premiers chapitres, reperes par un ?, sont corriges dans le petit livre de la collection Livrets d'exercices de Laurent Mazliak chez Hermann sous le titre Calcul de proba- bilites. D'autres le sont dans le livre Probabilites de Yves Lacroix et Laurent Mazliak publie chez Ellipses dans la collection Mathematiques a l'Universite. Reperes par un ?, ces derniers peuvent eventuellement correspondre dans le livre a une partie traitee dans le cours (pas en exercice). Des exemplaires de ces livres sont disponibles pour le teleenseignement. Notez qu'il ne sera pas fourni d'autre correction pour les exercices reperes par ? et ?. Les exercices restants seront corriges au fur et a mesure des envois. • Il n'y aura pas de devoir a rendre. Par contre, trois interrogations ecrites de 2 heures en TD sont prevues dans le cadre du controle continu de 16h30 a 18h30 les JEUDIS 18 OCTOBRE, 8 NOVEMBRE ET 29 NOVEMBRE 2007. • Le present fascicule est telechargeable en ligne a l'adresse • Pour tout probleme, vous pouvez me joindre a l'adresse mazliak@ccr.
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Mastere de Mathematiques - M1 Probabilites Fondamentales Fascicule d'Exercices Universite Pierre et Marie Curie - Paris VI Annee 2007-2008 Laurent MAZLIAK IMPORTANT A L'ATTENTION DES ETUDIANTS DU TELE-ENSEIGNEMENT: • Le present fascicule contient l'ensemble des exercices qui seront traites en Travaux Diriges dans le module ‘Probabilites Fondamentales' du Mastere de Mathematiques - M1. •Un certain nombre de ces exercices, surtout dans les deux premiers chapitres, reperes par un ?, sont corriges dans le petit livre de la collection Livrets d'exercices de Laurent Mazliak chez Hermann sous le titre Calcul de proba- bilites. D'autres le sont dans le livre Probabilites de Yves Lacroix et Laurent Mazliak publie chez Ellipses dans la collection Mathematiques a l'Universite. Reperes par un ?, ces derniers peuvent eventuellement correspondre dans le livre a une partie traitee dans le cours (pas en exercice). Des exemplaires de ces livres sont disponibles pour le teleenseignement. Notez qu'il ne sera pas fourni d'autre correction pour les exercices reperes par ? et ?. Les exercices restants seront corriges au fur et a mesure des envois. • Il n'y aura pas de devoir a rendre. Par contre, trois interrogations ecrites de 2 heures en TD sont prevues dans le cadre du controle continu de 16h30 a 18h30 les JEUDIS 18 OCTOBRE, 8 NOVEMBRE ET 29 NOVEMBRE 2007. • Le present fascicule est telechargeable en ligne a l'adresse • Pour tout probleme, vous pouvez me joindre a l'adresse mazliak@ccr.
- probabilites fondamentales
- hermann sous le titre calcul de proba- bilites
- mastere de mathematiques - m1
- loi de poisson de parametre µ
- ellipses dans la collection mathematiques
- proba- bilite
Mast`eredeMath´ematiques-M1 Probabilit´esFondamentales Fascicule d’Exercices Universite´PierreetMarieCurie-ParisVI Anne´e2007-2008 Laurent MAZLIAK
IMPORTANT ` A L’ATTENTION DES ETUDIANTS DU TELE-ENSEIGNEMENT: •´eitnseftsasenepe´rLntl’ntielecocicucrexesedelbmesnerattonerisquesic TravauxDirigesdanslemodule‘Probabilit´esFondamentales’duMast`erede ´ Math´ematiques-M1. •Un certain nombre de ces exercices, surtout dans les deux premiers chapitres, epe´r´esparun♥ dans le petit livre de la collection ´, sont corriLivrets r ges d’exercicesde Laurent Mazliak chez Hermann sous le titreCalcul de proba-bilite´s le sont dans le livre. D’autresProbabilit´esde Yves Lacroix et Laurent Mazliakpublie´chezEllipsesdanslacollectione´tisrevinU’Ms`aliqueematath´. Rep´ere´sparun♦es,caderelsnserrdnopepvune´tednreisrlementcoeventuel livrea`unepartietraite´edanslecours(pasenexercice). Desexemplairesdeceslivressontdisponiblespourlete´le´enseignement. Notez qu’ilne sera pas fourni d’autre correctione´s´prereesicrcxeseleurop par♥et♦estacesrerciesexL.si.deseneovamt`uresauesrefuroct´girsstnnore •dedevoiry`aaurreandpraeslI’n. Par contre,trois interrogations ´ecritesde2heuresenTDsontpr´evuesdanslecadreducontrˆole continude16h30a`18h30lesJEUDIS18OCTOBRE,8NOVEMBRE ET 29 NOVEMBRE 2007. •elneegba`elailngesse’adrrpeLese´aftncicseeult´st´eelarch http://www.proba.jussieu.fr/users/lma/mazliak.html •emeuov,ptuolborPrtoussea`’ldaerejoindrespouvezm ` mazliak@ccr.jussieu.fr Prie`recependantdenoterquejenere´pondrai`aaucunequestion mathe´matiqueparmail.
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1Variablesal´eatoiresdiscre`tes Exercice♥1.1dxue,se´liMee´´rse´’tenoanitqu’enlan¸cantdChLerdiealev obtienneplussouvent11que12alorsquel’unetl’autredecesnombresn’e´tait obtenu que par une combinaison (5+6 et 6+6). Qu’en pensez-vous?
Exercice♥1.2uoelqrauO)fniartanerio’tbbaroaptledt´libi.se´dertseelleuQ au moins un ”six”? b)Onfaitroulerdeuxde´svingt-quatrefois.Quelleestlaprobabilit´ed’obtenir au moins une fois deux ”cinq”?
Exercice♥1.3ne´rteinunadsenusrspeneononssab-paorce.Cpi`elezlalcu bilite´pourquedeuxd’entreellesaumoinsaientlameˆmedated’anniversaire.
Exercice♥1.4On suppose que dans une course, il y anrt.´epaaxduveuahc a)Calculezlenombredetierc´espossibles b)Calculezlaprobabilite´degagner,avecunticket,letierc´e 1-dans l’ordre 2-dansl’ordreoulede´sordre 3-danslede´sordre c)Applicationnume´riqueavecn= 14.
Exercice♥1.5Dans lespe´grahctseruetcbeltterdsˆotısea`ble,unfa’unimmeu de distribuernlettres dontr1 . . ,sont pour la boˆıte 1, .rppour la boˆıtep. Peu consciencieux, il les distribue au hasard. a)Quelleestlaprobabilit´epourqueladistributionsoitcorrecte? b)Quelleestlaprobabilit´epourquelaboˆıte1soitcorrectementremplie? c)Quelleestlaprobabilite´pourquedanslaboˆıte1iln’yaitaucunelettre destineea`unvoisin? ´ d)Quelleestlaprobabilite´pourqu’ilyaitdanschaqueboıˆteexactementle nombredelettresquiluie´taitdestin´e?
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Exercice♥1.6´tsocsndie`erel´svenotedrasahuase´duxdeceannlO enemen suivants A=eapribeomrusufaneimcelerpereimte´d B=`d´nefaeneulixe`deueriapmiece me e am C=xdeuse´eesacsddeemitsriapalsvdemesfderseumosal Montrer queA, B, Cepd´inasspaismnt.stnadnesontdeux´dpeneada`edxuni
Exercice♥1.7Soientnstnaev´e´epdndne´tnisenemA1, . . . , Andans(Ω, P). Calculer en fonction deP(Ai)laprobabilit´ep=P(A1∪. . .∪An)et montrer que1−p≤exp{−PiP(Ai)}.
Exercice♥1.8On tire au hasard,selon une loi uniforme, un entier compris entre 1 etn a) Siqdivisenuq,ipltdelerirenuumil´tdeteaprobabielleestlq b)Onsupposequelade´compositionenfacteursirr´eductiblesdensoit =αp n q1α1. . . qp On noteAiev’´lunmultipledee´enemtn”:noiterqi”. Montrer que lesAition´endndpets.ans
Exercice♥1.9En utilisant la loi de(X, Y)rerqmont,d´eeuE(X+Y) = E(X) +E(Y)
Exercice♥1.10ableal´eledevaricnnotsnataioeronCenuepmextsnoriuret pour laquelleVar(X) = 0.
Exercice♥1.11Une population comporte 60% de femmes et 40% d’hommes. On sait par ailleurs que 10% des hommes ont les cheveux longs et que 40% des femmes ont les cheveux courts. Unepersonnesepr´esenteaveclescheveuxlongs.Quelleestlaprobabilite´ pour que ce soit une femme?
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Exercice♥1.12SoitAteOnnoent.unv´´eemen1IAlavuieqotri´laelbaeraai vaut 1 surAeristiquncaract´deet0eoitcnof(sruelliaA). Montrer queE(1IA) = P(A).
Exercice♥1.13SoitXel´eerir.lelbairaveotae´laenu a) Montrer que pour toutα >0, siX≥0, P(X≥α)≤α1E(X)de´erkMa)ovI(ge´ntila b) Montrer que pour toutε >0, P(|X−E(X)|> ε)≤Vaεr(2X)e´myaneiBede´tilga´eIn()cheffebit-Tch
Exercice♥1.14SoientX1etX2dnepetnaisele´dnvauxabrides,deloisB(n1, p) etB(n2, p). Quelle est la loi deX1+X2?
Exercice♥1.15babotilirelurpalnr’epa´epo´equurastntrsiCalcrboules dans nosselullecselsets.eep´cuocntie,touulescell
Exercice♥1.16e`tt7ca3esaseu10ssorelrute91Unjouuejruo`elarauoel 100 euros sur ”pair”: si la bille tombe sur 19 il touchera 36 fois sa mise (soit 360 euros) et si elle tombe sur ”pair”(0 exclu), il touchera2fois sa mise ; dans touslesautrescas,samisevaa`labanque.Quelleestl’esp´erancedesongain?
Exercice♥1.17a) Mon voisin a deux enfants dont une fille. Quelle est la probabilit´epourquel’autresoitungarc¸on? b) Un autre voisin a deux enfants dont le plus jeune est une fille. Quelle est laprobabilite´pourquel’autresoitungarc¸on?
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