Master Nancy

pages

Français

Documents

Écrit par
Samy Tindel

Publié par
larec

Lire

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres

pages

Français

Documents

Lire

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres

Publié par

larec

Nombre de lectures

Langue

Français

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Martingales Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Martingales Nancy-Université 1 / 26

premières propriétés

espace de probabilité

m1 - martingales nancy-université

théorème d'arrêt

Voir

Publié par

larec

Langue

Français

Espace probabilisé

Samy

(IECN)

Martingales

Samy Tindel

Nancy-Université

Master

Nancy

M1 - Martingales

Nancy-Université

TymaEI(.M)NCaM-1Sinevsrti2é2/6

Déﬁnitions et premières propriétés

Plan

rtingalesNancy-U

Théorème d’arrt

Convergences

Stratégies et martingales arrtées

Théorème d’arrt

Stratégies et martingales arrtées

Convergences

rtMa1-)MCNIE.(yTmaS

Plan

Déﬁnitions et premières propriétés

/26ité3versU-innaycelNsniag

Adaptation

Contexte:On se donne Un espace de probabilités(ΩFP) Une ﬁltration{Fn;n≥0} ,→Suite deσ-algèbres telles queFn⊂ Fn+1.

Déﬁnition Une suite de variables aléatoires{Xn;n≥0}est adaptée si Xn∈ Fn.

Samy.TI(ECN)1M-aMtrnigalesaNcn-yUniversité4/26

Martingales, Sur-martingales, Sous-martingales

Déﬁnition On considère une suite de variables aléatoires X={Xn;n≥0}telle que 1{Xn;n≥0}est adaptée. 2Xn∈L1(Ω)pour tout n≥0. Alors X est une martingale siXn=E[Xn+1| Fn]. X est une sur-martingale siXn≥E[Xn+1| Fn]. X est une sous-martingale siXn≤E[Xn+1| Fn].

aSmy.T(IECN)1M-MartingalesaNncy-Université5/26

naycU-inevsrti6é/26

Interprétation

Adaptation:La mesureXnne dépend que de l’information jusqu’à l’instantn.

Martingale:n7→Xnconstante plus ﬂuctuations.

Sous-martingale:n7→Xncroissante plus ﬂuctuations.

Sur-martingale:n7→Xndécroissante plus ﬂuctuations.

maSNCEI(.TyrtMa1-)MsNlegain

7é2/6

Déﬁnition:Soient {Zi;i≥1}v.a. indépendantes de Rademacher ,→P(Zi=−1) =P(Zi=1) =12 On poseX0=0, et pourn≥1,

Marche aléatoire

Propriété:Xest unemartingale.

Xest appelée marche aléatoire dansZ.

n Xn=XZi i=1

sNancy-UniversitCN)M1-MartingaleSmaTy(.EI

Ty(.EINCSmaingalesN)M1-Mart8étisrevinU-ycna

E[Xn] =E[Xm] =E[X0]

E[Xn| Fm] =Xm

Corollaire important:SoitXuneFn-martingale etm≥0. Pour toutn≥mon a

Proposition Soit X uneFn-martingale et m≥0. Pour tout n≥m on a

Espérance conditionnelle dans le passé

Démonstration:par récurrence.

6/2

Fonction convexe d’une martingale

Proposition Soient X uneFnmartingale. -ϕ:R→Rune fonction convexe telle queϕ(Xn)∈L1(Ω)pour tout n≥0. Yn=ϕ(Xn) Alors une sous-martingale.Y est

Démonstration:application de Jensen pour l’espérance conditionnelle.

Exemple:SiXnest la marche aléatoire,Xn2est une sous-martingale ,→Les ﬂuctuations ont tendance à croître.

aSmy.TI(CEN)1M-MartingalesNancy-Université9/26

S)MCNMa1-yTamIE.(naNsU-ycnitrelagé10/26

Plan

niversit

Déﬁnitions et premières propriétés

Stratégies et martingales arrtées

Convergences

Théorème d’arrt

n [H∙X]n=XHjΔXjoùΔXj=Xj−Xj−1 j=1

Déﬁnition Soient(Fn)n≥0une ﬁltration et XH processusFn-adaptés. On dit que H est prévisible si Hn∈ Fn−1. La transformée de X par H est

Interprétation: 1H≡stratégie de jeu ,→On joue aujourd’hui en fonction de l’information jusqu à hier ’ 2H∙X≡valeur en suivant la stratégie.

tisrevin

Transformation de martingale

62/11égalertincy-UsNan(.EImaTy-1aMNCM)S

Voir