Master Nancy
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Vecteurs aléatoires gaussiens Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Vecteurs gaussiens Nancy-Université 1 / 47
Voir
Vecteurs aléatoires gaussiens Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Vecteurs gaussiens Nancy-Université 1 / 47
- convergence vers la loi normale
- m1 - vecteurs gaussiens
- moments de la gaussienne
- vecteurs aléatoires
- variables gaussiennes réelles
Samy Tindel
Master 1 - Nancy
Nancy-Université
Vecteurs aléatoires gaussiens
Vecteurs aléatoires gaussiens
3
Vecteurs aléatoires
7/4é2it
Variables gaussiennes réelles
2
Moyenne et variance empirique
1
4
5
Plan
Convergence vers la loi normale
Moyenne et variance empirique
5
4
Convergence vers la loi normale
Plan
74Sa(IECmyT.V-ce)N1Mgsuaetru
1
Variables gaussiennes réelles
2
Vecteurs aléatoires
3
Vecteurs aléatoires gaussiens
Notation:On noteN1(01)ouN(01)cette loi. Rappel:On a
/474
Gaussienne centrée réduite Définition:Une variable aléatoire à valeurs réellesXest dite gaussienne réduite et centréesi sa loi de probabilité admet la densité: f(x) =√ex1p−x22!x∈R 2π
pour toute fonctiongborélienne bornée ou positive. particulier, En ZRexp−x22!dx=√2π
E[g(X)] =√21πZg(x)exp−x22!dx R
erivtésincNaUny-ssuasneietcegsru
E[exp(itX)] =e−t22∀t∈R
2
E[exp(zX)] =exp(z22)
En particulier
Proposition
Moments de la gaussienne
Pour tout n∈N, on a 0si nimstirpa,sniseptia,ern=2m E[Xn (] =2m)! m!2m
Soit X∼ N(01). Alors 1Pour tout z∈C,
SamyT.(IECN)M
(iii)Cas complexe: ϕetz7→ez22sont deux fonctions entières Puisque ces deux fonctions coïncident surR, elles sont égales surC.
(Diié)coCmasporséietli:oSnozixtz−∈12R.)22 1 x2=−2(x−z+z2 et changement de variabley=x−z⇒ϕ(z) =ez22
1x2 ϕ(z) =√12πZRexpz2d x−x
Démonstration (i)Définition de la transformée: RRexp(zx−21x2)dxabsolument convergente pour toutz∈C ,→la quantitéϕ(z) =E[ezX]est bien définie et,
74
(iv)Fonction caractéristique: En particulier, siz=itavect∈R, on aE[exp(itX)] =e−t22
ét/6
Démonstration (2) (v)Moments:soitn≥1. Convergence deE[|Xn|] facile: argument Par ailleurs, on a presque sûrement,
7
Mais|Sn| ≤Yavec ∞|t|k|X|ke|tX|≤etX+e− Y=Xk=!tX k=0 CommeE(exp(aX))<∞, on en déduit queYest intégrable Une application du théorème de Lebesgue conduit à E[exp(itX)] =En≥X0(tinX)!n=n≥X0intn!nE[Xn]
n eitX=nli→m∞SnavecSn=X0(tki!)kXk k=
é7/4rsitniveSsmaTy(.seomemtnulepourlitlaformnaNsU-ycsuagneisctVerseuCNIE1-)MaPiredtnonendéduification
Variable aléatoire gaussienne
Corollaire:D’après la proposition précédente, siX∼ N(01) ,→E[X] =0 etVar(X) =1
Définition: Une variable aléatoire réelle est dite gaussienne s’il existe X∼ N(01)et deux réelsaetbtels queY=aX+b.
Identification des paramètres:on a
Notation:On noteN(m σ2)la loi d’une variable aléatoire de loi gaussienne de moyennemet de varianceσ2.
E[Y] =betVar(Y) =a2Var(X) =a2
sité8/47sgurssau-VM1teecnU-yrevisneicnaNCE)N.TI(aSym
Propriétés de la gaussienne
ét/9
Fonction caractéristique:soitY∼ N(m σ2). Alors E[exp(itY)] =expitm−t22σ2!t∈R
Densité:on a 12t la densité deN(m σ2) σ√2πexp−(x2−σ2m)!es
Inversement, la formule ci-dessus caractérise la loiN(m σ2)
y-ncNanssierivUnruetceV-eissuags
Loi
normale:
Samy
T.
illustration
Figure:
(IECN)
Loi
N
(0,
1),
N
(1,
M1 - Vecteurs
1),
N
gaussiens
(0,
9),
N
(0,
14).
Nancy-Université
10
/
47
Démonstration: Via les fonctions caractéristiques
Remarques:
Identification des paramètres deY1+Y2facile Généralisation possible à une sommePnj=1Yj
Proposition
7
Somme de gaussiennes indépendantes
Soient Y1et Y2deux variables aléatoires gaussiennes, indépendantes On suppose Y1∼ N(m1 σ21)et Y2∼ N(m2 σ22). 2 AlorsY1+Y2∼ N(m1+m2 σ1+σ22).
-VM1teecsgurssausneicnaNnU-yreviaSym.TI(CE)N
