Master Mathematiques MAT414 Universite Joseph Fourier

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definition de l'esperance conditionnelle

independantes de meme loi

linearite de l'esperance conditionnelle

convergence monotone

feuille de td

derniere inegalite

theoreme de convergence dominee

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Fourier Théorème de convergence dominée

Master1Math´ematiques,MAT414

Universit´eJosephFourier 20082009

Corrig´edudevoir`alamaisondu20avril2009

Exercice 1. 2 2 1. PuisqueE[X|G] estGmesurable, on aE(XE[X|G]| G) =E[X|G] =E(E[X|G]| Gar´e´eitPa).inrl del’espe´ranceconditionnelle,ilvient    2 22 2 var(X|G) =EX−2XE[X|G] +E[X|G]| G=EX|G −E[X|G]≥(1)0 p.s.

n n 2.Enutilisant(1)etl’e´galit´eE(E[X|G]) =E(X) pourn= 1,2, on obtient       2 2 22 Evar(X|G) +varE[X|G] =E E[X|G]−E[X|G] +E E[X|G]−E E[X|G]    2 2 =EX−E(Xvar() =X).(2) 3. Commevar(X|G)≥qu2)e(edulco´eldi,.s.p0(veraE[X|G])≤var(Xque l’on ait). Supposons    2 ´egalit´e,var(E[X|G]) = var(XorAl).tren2)s(enıˆaEvar(X|G) =E E(X−E[X|G])|G=   2 E(X−E[X|G]) =0. Doncvar(E[X|G]) = var(X) ssiX=E[X|G’cses.,.p]ie,ssdirt`aXest GeR(.elbarusemtitueunp:ouerqmatlus3(talrere´ree)de´ustltailescrrerd´emontet(1)pou l’exercice10delafeuilledeTD1,oubieninversementutiliserler´esultate´tablienTDainsi que(1)et(2)pourde´montrerquevar(E[X|G]) = var(X) ssiXestGmesurable). Exercice 2. −2 2 PosonsZ=aE[X|G]−E[1{|X|≥a}|G]. SoitG∈ Gad´e.Vulll,etidineonncraonece’lee´pstinﬁdnoi Z Z 2   X(ω) E E[1{|X|≥a}|G] 1G= dP(ω)≤dP(ω) 2 a {|X|≥a}∩G{|X|≥a}∩G   Z 2 2 X(ω)E E[X|G] 1G ≤dP(ω) =. 2 2 a a G Cela prouve queE[Z1G]≥0 pour toutG∈ Ga`’lneesbmelA.pprndeteetsconqulie´tilage´niere`i G={Z≤0}, qui est bien dansGcarZestGmesurable. CommeZ1{Z≤0}nte´seefatagitune esp´erancepositive,onaE[Z1{Z≤0}d’0,]=uo`Z1{Z≤0}snocuqe´tnemraP.esqureˆu=0esprent,Zest presquesuˆrementpositive.Celad´emontrel’ine´galite´deTchebychevconditionnelle 2 E[X|G] P[|X| ≥a| G] =E[1{|X|≥a}|G]≤p.s. (3) 2 a Exercice 3. On poseY=E[X|G]. 1.Pard´eﬁnitiondel’espe´ranceconditionnelle,E[X1{Y=0}] =E[Y1{Y=0}] = 0 car{Y= 0} ∈ G. MaisXetX1{Y=0}poesirtoeal´saleodtuepnO.sevitislurequencenconcirbaseavnodts X1{Y=0},prerpou`stdiatuqseroteu.p.sc,e’0=ω∈Ω,Y(ω) = 0⇒X(ωUne autre) = 0. fa¸cond’´enoncercer´esultatest:ilexisteunensembleΩ1⊂Ω de mesureP(Ω1) = 1 tel que {Y= 0} ∩Ω1⊂ {X= 0} ∩Ω1. 2. Puisque{Y <∞} ∈ G, on a pour touts∈]0,1[    X XY geX(s) =E[s1{Y <∞}] =E E[s|G] 1{Y <∞}≥Es1{Y <∞},(4) x ou`ladernie`reine´galite´d´ecouledel’in´egalite´deJensenetdelaconvexite´dex7→s. Faisonsten dresvers 1−emem4).Ledrobredna(sdte´evendrsdetii’lege´ntilageX(1) =E[1{Y <∞}] en vertu

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