Master “Mathematiques Informatique” MAT403 Universite J Fourier

pages

Documents

Lire

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres

pages

Documents

Lire

Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres

Publié par

larec

Nombre de lectures

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Master 1 “Mathematiques, Informatique”, MAT403 Universite J. Fourier 2005-2006 Corrige du DS du 26 octobre Exercice 1. [6=1+2,5+2,5 points] 1. Soit h ? Lipk, 0 < k ≤ 1. Alors C = pk(h) < ∞ et |h(t)?h(s)| ≤ C|t?s|k pour tout s, t ? I (on obtient cette inegalite par symetrie si t < s et elle est triviale pour s = t). Donc |h(t)?h(s)| ? 0 quand t ? s et h est continue sur I. 2. Si h ? Lipk alors h est bornee sur le compact I d'apres 1., d'ou 0 ≤ ?h?∞ = supt?I |h(t)| < ∞. Comme de plus 0 ≤ pk(h) < ∞ (par hypothese), on a bien ?h?k,∞ = pk(h) + ?h?∞ ? [0,∞[. Puisque ?.?∞ est une norme, il suffit de verifier l'inegalite triangulaire pour pk. On l'obtient en prenant le sup sur s, t ? I (s < t) dans les deux membres de l'inegalite |h1(t) + h2(t)? h1(s)? h2(s)| |t? s|k ≤ |h1(t)? h1(s)| |t? s|k + |h2(t)? h2(s

vertu de la linearite et de la continuite de ?

norme ?

consequence du theoreme de lusin

inegalite precedente

inegailite triangulaire

theoreme de convergence dominee

Voir

Publié par

larec

Théorème de convergence dominée

Master1“Math´ematiques,Informatique”,MAT403

Corrig´eduDSdu26octobre

Universite´J.Fourier 20052006

Exercice 1.[6=1+2,5+2,5 points] k 1. Soith∈Lip ,0< k≤1. AlorsC=p(h)<∞et|h(t)−h(s)| ≤C|t−s|pour touts, t∈I(on k k obtientcettein´egalit´eparsyme´triesit < set elle est triviale pours=t). Donc|h(t)−h(s)| →0 quandt→sethest continue surI. 2. Sih∈Lip alorshtcapmocrnbosteleures´eIse`rpa’d’o`u1.,d0≤ khk∞= sup|h(t)|<∞. k t∈I Comme de plus 0≤pk(h)<∞thpose`e(phyarn,)nobaeikhkk,∞=pk(h) +khk∞∈[0,∞[. Puisquek.k∞repoudeﬃtsuile,rmnoneutselairanguetrilit´e´ag’lniﬁire´vrepk. Onl’obtient en prenant le sup surs, t∈I(s < tda)uedselsnserbmemxdel’in´egalit´e |h1(t) +h2(t)−h1(s)−h2(s)| |h1(t)−h1(s)| |h2(t)−h2(s)| ≤+ k kk |t−s| |t−s| |t−s| avech1, h2∈on aLip . Finalement,khkk,∞⇒ khk∞= 0⇒h´vreﬁife0=tenotqueacilemen k khkk,∞=|λ|khkk,∞siλ∈C. . l’espace vectorieLip tede 3.Montronsquelnorme´(k,k.kk,∞) est complet.Soit (hn)n∈Nune sui Cauchy dans (Lipk.k). Alorh− k,k,∞s∀ε >0,∃N∈N,m, n≥N⇒ |hn(t)−hm(t)| ≤ kn hmkk,∞≤εrtou,pntueeqs´oncraP.uott∈Ie´(,xﬁhn(t))n∈Nest de Cauchy dansC. Cette suite est donc convergente, notonsh(t) sa limite.On a :   |hn(t)−hm(t)−hn(s) +hm(s)| pk(hn−hsup lim) = k m→∞ |t−s| s,t∈I,s<t   |hn(t)−hm(t)−hn(s) +hm(s)|   ≤sup sup≤suphn−hm. k k,∞ |t−s| m≥n s,t∈I,s<t m≥n Il s’ensuit quepk(hn−h)→0 quandn→ ∞tnomedermeˆmfc(eou.c)qrsue.Onkhn−hk∞→0 d’ou`khn−hkk,∞→0. Enparticulier,khnkk,∞→ khkk,∞taiul)eretr´engiainl’ar(pitilga´e puisque (khnkk,∞)n∈Norn´ee(cra(estbhn)n∈Nest de Cauchy pourk.kk,∞) on a bienkhkk,∞<∞ d’o`uh∈Lip . k Exercice 2.[8=2,5+1,5+3+1 points] (k) 1. Soit (a)k∈Nune suite dans (c0(N),k.k∞) convergeant versa. Pourk∈Ntriec´no,e´xﬁ (k) (k) (k) (k) (k) (k) a= (a ,a ,∙ ∙ ∙an,∙ ∙ ∙). Alors∀ε >0,∃k∈N,|an−an| ≤ ka−ak∞≤ε∀n∈N. 0 1 On peut prendre la limiten→ ∞(aveckpeonutersts,me´xﬁttein´ege)danscedna’tuerlatie´e( (k) inverser les limitesk→ ∞etn→ ∞car la convergence desanversanest uniforme enn). (k) (k) Puisquean∈c(N),an→0 et l’on obtient limsup|a| ≤εprouve que. Cecia→0 et 0n→∞n n donca∈c0(N). ∞ Variante :L’ensembleM={a∈`(N); limn→∞anexiste}muni de la normek.k∞est un espacevectorielnorm´e.Pourcettenorme,laformeline´aireϕ:a7→limn→∞ansurMest −1 born´eeetdonccontinue.Ilende´coulequec0(N) =ϕ(0)⊂M´ermurpoeeftsk.k∞. 1 2. Soitb∈`(N). Alors ∞ ∞ X X |ϕb(a)|| ≤anbn| ≤ kak∞|bn|=kak∞kbk1∀a∈c0(N). n=0n=0 Onend´eduitqueϕbus(rbiendoncnie)d´eﬁeobtse´nrte(ec0(N),k.k∞) et quekϕbk ≤ kbk1. Or 0 ϕbalctseltnemerid,nocnie´iaerϕb∈c0(N) .

0 3. Soitϕ∈c0(N) .On poseϕ(en) =bnavecen= (0,∙ ∙ ∙,0,1,0,∙ ∙ ∙)∈c0(N) (1 enn`imee position).Envertudelalin´earit´eetdelacontinuite´deϕ, ∞ ∞ X X a=anen∈c0(N)⇒ϕ(a) =anϕ(en) =ϕb(a) n=0n=0 (las´eriedegaucheconvergepourlanormek.k∞caran→0 quandn→ ∞).Ilerts`emanortre 1 queb∈`(Nchoisit :). On ( b sin≤ketbn6= 0 (k)|bn| a= n 0 sinon. (k) (k) Alorsa∈c0(N) etkak∞= 1.Commeϕbtseeii,vele´:ntrno k X   (k) ϕ a=|bn| ≤ kϕk<∞ ∀k∈N n=0 1 d’o`ub∈`(Nede)L.’unicit´bd´ecedeluoϕb(en) =ϕ(en) =bn∀n∈N. 4.D’apr`esl’ine´galite´pre´c´edenteonakbk1≤ kϕbkceinverseen2.,done´rtni’lage´´tilOn.onam 10 kbk1=kϕbk. AinsiJ:b∈`(N)7→ϕb∈c0(Ne`3sa’rp)..surjtrieve(dectiutse)e´mosien 010010 ∞ On peut donc identiﬁerc0(N) avec`(N) et l’on ac0(N) =`(N) =`(N). Maisc0(N) est ∞ strictement inclus dans`(N), doncc0(Ne’n)aptsf.´esrxiﬂe Exercice 3.[8=2+3+3 points] ∞2 1. Soitf∈L([0,1]) etg∈X=L([0,1]). Alors Z Z 1 1 2 22 22 2 kM(g)k=|f(t)g(t)|dt≤ kfk∞|g(t)|dt=kfk∞kgk. f XL LX 0 0 DoncMf:g7→f gest une applicationX→Xfenimastiequ,.n´eetboretesiaernie´nelttsme De plus,kMfk ≤ kfkL. ∞ 2. Pourmontrer quekMfk=kfkL, il suﬃt de trouver une suite de fonctionsgn∈Xnaﬁire´v:t ∞ kf gnkX sup≥ kfkL. ∞ kg n∈NnkX Soitn∈Ndre´.aPitﬁnndioek.kL,∃Ωn⊂[0,1] de mesure|Ωn|>0 tel que|f(t)| ≥ ∞ kfkL−1/npour toutt∈Ωn. Onpose : ∞  1  sit∈Ωn |Ωn| gn(t) =  0 sinon. R 2−1 Alorskgnk=|Ωn|dt= 1 et XΩn   Z1/2 kf gnkX1 2 =kf gnkX=|f(t)|dt≥ kfkL−1/n . ∞ kgnkX|Ωn| Ωn Le sup surnl`gaandra´eounopculgscuehsedtmbredegadumekfkLd,u`o’kMfk=kfkL. ∞ ∞ ∞ Cecimontrequel’applicationlin´eaireI:f∈L([0,1])7→Mf∈ L(Xustiseen)e´moeirtniA.,si ∞ ∞ on peut identiﬁerL([0,1]) avecI(L([0,1]))⊂ L(X). 3. (a)SoitE=C([0,sait que (1]). OnE,k.k∞)selptectmoncfeetdo.Comrm´emeIest une isome´trieetpuisquekgk∞=kgkLpour toute fonction continueg∈Equitdu´endne,oe ∞ I(Eade´mreftse)ns(L(X),k.k).

Voir