Master MASS
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Niveau: Supérieur, Master
Master 2 MASS ??????? Mathematiques des derives financiers DS Epreuve du lundi 18 janvier 2010 (duree : 2h) Corrige Dans tout ce qui suit, (Wt) designe un brownien standard. 1.— Soit le processus defini par Yt = W 3t ? 3tWt. a. Determiner l'EDS verifiee par Yt. b. Le processus Yt est-il une martingale (pour la filtration (Ft) associee a (Wt)) ? Solution a. On a Yt = f(t,Wt) avec f(t, x) = x3 ? 3tx. Les derivees partielles sont ∂f ∂t = ?3x , ∂f ∂x = 3x2 ? 3t , ∂2f ∂x2 = 6x. Evidemment dWt = adt+ bdWt avec a = 0 et b = 1 dans les notations habituelles. La formule d'Ito donne : dYt = (?3Wt + 0 + 1 2 6Wt)dt+ (3W 2 t ? 3t)dWt = 3(W 2 t ? t)dWt. b. Pas de drift pour Yt, c'est donc une martingale. 2.— Soit (Xt) un processus verifiant dXt = k(? ?Xt)dt+ ?dWt , X0 = x0 ? R donne, ou les constantes k et ? sont positives et ? est un reel quelconque fixe (processus d'Ornstein-Uhlenbeck).
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Master 2 MASS ??????? Mathematiques des derives financiers DS Epreuve du lundi 18 janvier 2010 (duree : 2h) Corrige Dans tout ce qui suit, (Wt) designe un brownien standard. 1.— Soit le processus defini par Yt = W 3t ? 3tWt. a. Determiner l'EDS verifiee par Yt. b. Le processus Yt est-il une martingale (pour la filtration (Ft) associee a (Wt)) ? Solution a. On a Yt = f(t,Wt) avec f(t, x) = x3 ? 3tx. Les derivees partielles sont ∂f ∂t = ?3x , ∂f ∂x = 3x2 ? 3t , ∂2f ∂x2 = 6x. Evidemment dWt = adt+ bdWt avec a = 0 et b = 1 dans les notations habituelles. La formule d'Ito donne : dYt = (?3Wt + 0 + 1 2 6Wt)dt+ (3W 2 t ? 3t)dWt = 3(W 2 t ? t)dWt. b. Pas de drift pour Yt, c'est donc une martingale. 2.— Soit (Xt) un processus verifiant dXt = k(? ?Xt)dt+ ?dWt , X0 = x0 ? R donne, ou les constantes k et ? sont positives et ? est un reel quelconque fixe (processus d'Ornstein-Uhlenbeck).
- raison de la propriete d'independance
- yt
- formule d'ito
- wt ?
- notations habituelles
- ?kt ∫
- isometrie d'ito
- processus verifiant
Master 2 MASS -
Math´ematiquesdesde´riv´esfinanciers
´ Epreuve du lundi 18 janvier 2010 (dure´e:2h)
Corrige´
DS
Dans tout ce qui suit, (Wtornweisnisnguebntea´ndd)ard. 3 1.—´dsuinfieorpessecSoitlrpaYt=W−3tWt. t a.’lDEnireetmrDe´reeparifi´Sv´eYt. b.Le processusYtest-il une martingale (pour la filtration (Fta(sa)icos`ee´Wt)) ? Solution 3 a.On aYt=f(t, Wt) avecf(t, x) =x−3txire´dseLrapsee´vlesstiel.ont 2 ∂ f∂ f∂ f 2 =−3x ,= 3x−3t ,= 6x. 2 ∂t ∂x∂x ´ EvidemmentdWt=adt+bdWtaveca= 0 etbe:nndoˆoItd’leumrofaL.selleutitionshabslesnota=d1na 1 2 2 dYt= (−3Wt+ 0 +6Wt)dt+ (3W−3t)dWt= 3(W−t)dWt. t t 2 b.Pas de drift pourYt, c’est donc une martingale.
2.—Soit (Xt)unprocessusv´erfiinat
dXt=k(θ−Xt)dt+σdWt, X0=x0∈R´nnoed,
o`ulesconstantesketσsont positives etθxfieuqnocleuqlee´d’ussscero(p´etunresOrnstein-Uhlenbeck). ks a.elliemrofdeluediaaled´eiffntretˆ’Iadoluler`al’Calcd(e Xs). b.ge´tninE[rustnar0, ttsoiqaeucee´pn´r,d´e]edelduirntdeueeqXtrce´serilsuorofamepes’ut Z t −kt Xt=φ(t) +σe ψ(s)dWs 0
ou`φetψsont desfonctionss)teisinrmte´e(d. Donner les expressions deφ(t) etψ(s) en fonction des variablestetseestdersapar`mtek,θetx0. c.lrra´lepserumletatg´eQnu´eeqreualavdta’rffiemat´ereoiabrialleXtsuit une loi normale? Calculerl’esp´erancedeXt. d.ucellrvaraaicndeeEomisl’ntsalitinulac,oˆtI’deirte´Xt.
Solution ks ks a.PosonsZs=e Xs. On aZ0=x0etZs=f(s, Xs) avecf(s, x) =e x. Avec les notations habituelles de laformuled’Itoˆ,onaas=k(θ−Xs) etbs=σ. On a donc
ks ksks ksks dZs= (ke Xs+k(θ−Xs)e+ 0)ds+σe dWs=kθe ds+σe dWs
qui est un brownien affine.
2002-2010 michel miniconi
version du 19 janvier 2010
