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Niveau: Supérieur, Master
Master MASS 2 ??????? Derives financiers Feuille de T.D. no 3 1.— Pour calculer le prix d'une option un operateur a estime que le prix de l'actif sous-jacent S suivait le modele du brownien geometrique avec une volatilite de valeur ?. Pour simplifier, le taux sans risque r est suppose nul. On note f(t, St) le prix de l'option a la date t ? [0, T ] ou T designe la date de maturite. A la date t = 0 l'operateur vend une unite de cette option et commence ses operations de couverture en delta. On suppose que le modele estime pour S etait le bon, en particulier que la volatilite (implicite) valait bien ?, sauf dans une courte periode [t0, t0 + ∆t] ? [0, T ] ou la volatilite est passee brusquement de la valeur ? a la valeur 2?. a. Cette augmentation de la volatilite est-elle favorable a l'operateur ? (discuter selon le signe de ∂2f ∂s2 (t0, St0)) b. En considerant l'EDP de Black-Scholes, exprimer en fonction de St0 , ?, ∂2f ∂s2 (t0, St0) et ∆t le montant des pertes ou des gains enregistres par l'operateur en raison de ce brusque saut de volatilite. Solution.

delta neutre

call

actif

formules de black-scholes

volatilite

gamma

prix de l'option

option

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Volatilité Option

Master MASS 2 -

De´riv´esﬁnanciers

o Feuille de T.D. n3

1.—ajectnruoPclaclepruleruneoixd’unontpoitaue´prem´tiesraprleueeqca’ledxi-suosfitSsuivait le mod`eledubrownienge´ome´triqueavecunevolatilit´edevaleurσ. Pour simpliﬁer, le taux sans risquerest suppos´enul.Onnotef(t, Stoitpla`ntadaeep)lxdri’oelt∈[0, T]o`uTaladetedamutir´taAle.d´esigne datetltdea.tuerenreedsnvuocre´poitaruetare´uenudnevopl’=0ocmmnoteesosneecedecnit´optiette Onsupposequelemode`leestim´epourS´olavelquerlicutirapne,nobeltiatentbiealaite)vilici(pmtie´tali σ,saufansudurtenecooied´pre[t0, t0+ Δt]⊂[0, T]olavulo`e´tilita´ssaptseeebrusquementdelvalauerσ a`lavaleur2σ. 2 ∂ f a.retucsid(?ruetardeneigesnllosellfetse-´teeitilop´e`al’ableavorCteetgmauatnenoitaledalov(t0, St0)) 2 ∂s 2 ∂ f b.deonticS-kelohedPDcalBenerncfoexs,imprEerantl’Enconsid´St0,σ, (t0, St0) et Δtle montant des 2 ∂s pertesoudesgainsenregistr´esparl’ope´rateurenraisondecebrusquesautdevolatilit´e. Solution. 2 ∂ f a.On suppose le gamma2(t, St) positif, autrement dit le prixftde l’option est une fonction convexe ∂s du prix du sous-jacentSt. En raison de la couverture en delta, la position du trader se situe sur la droite tangente au pointPd’abscisseStal´dceorsiascnepsirebedocrua`aleimmcon:iopt’oxd,noitpo’ludneval de la valeur temporelle lui est favorable tant que le sous-jacent ne varie pas trop fortement. Sur le graphique ci-dessous, l’axe vertical est celui des valeurs de l’option et de la couverture, l’axe horizontal porte les prix du sous-jacent aux datestpuist+ Δt.

` 0 A l’instantt=t+ Δt > t,’aensbpag´oulae,isteovalital´tilestprochedeopisitnoudrtdareAouB, c’est-a`-direqu’ellecouvreencoreleprixBlack-Scholesfte,t´ensildaeche,teivoann.lE’onpruamg´taeitiloval 0 ilfauts’attendrea`desaccroissementssup´erieursdusous-jacentS: la position du trader est susceptible de se trouver enA1ouB1,cer`adi’esten-dessousrpudopl’deixin.Aontiisnurtdarehsroetngammaatout`a redouterd’uneaugmentationdelavolatilite´.C’estlecassiletraderestshortsuruneoptionconvexe.Pour unepositioninverseengamma,uneaugmentationdelavolatilite´auraite´t´efavorableautrader. b.Δeri´eetodpoemllrerevuerutsnadpenustemsajudecoentsnerdesgnraele´psingaesLteertpsetsont donn´es(ouestim´es)parleterme 2 1 1∂ f 2 22 Γf(ΔS) =σ S(t, St)Δt. × 2 2 2∂s 2 3 2 2∂ f Silavolatilite´glissedelavaleurσ`a2σle trader enregistrera une perte deσ S2Δt. 2∂s

2.—eledeBlansdumod`ocdntioidenalssesnleatotepnrndred,seotnoS-kclohcel.sutleahiboisncalpesnO ˜ On noteSt=St/Btobprlilab´eitsqrieneuertulaussocelaepns.Oe´silautcasruoceQ, autrement dit on suppose que la dynamique stochastique deSapee´nnotdesr

avecS0=s0>odnn0e´.

dSt=rStdt+σStdWt

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