Master EEA SETIA Travaux Pratiques C++

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Master 1 EEA/ SETIA Travaux Pratiques C++ TP1 L.Puech, M. Ismail October 2, 2007 1 Composants Logiciels Libres Pour les TP, on se propose d'utiliser l'environnement DevCpp, qui fonctionne sous Windows. Ce logiciel libre utilise 1. le compilateur C/C++ GCC 3.4, lui meme libre. 2. l'interface Windows/GNU : MinGW (Minimimum Gnu for Windows) Vous pouvez donc sans aucune difficulte l'utiliser sur votre propre machine. DevCpp est disponible en ligne a l'adresse suivante: Pour les LINUXiens, le meme compilateur est present sur LINUX, par contre vous utiliserez un autre editeur de C++, et compilerez avec l'aide de commandes en ligne ou de MakeFiles. 2 Prise en main de DevCpp Cette prise en main est facile. DevCpp ”gere” pour vous des ”projets”, qui sont en fait des collections de fichiers ”.c”, ”.h”, ou ”.cpp”. DevCpp vous permet es- sentiellement de naviguer dans ces ”sources”, et d'enregistrer vos modifications, avant de les compiler. Nous vous conseillons de creer un nouveau projet, dans un dossier specifique, sur votre repezrtoire pour chaque seance de TP. Pour ce faire, dans De- vCpp: 1. Nouveau > projet.

memoire pour le meme tableau

int main

vecteur de nbi double

nbre de double

adresse de malloc vecteur de nbj double

zone memoire

devcpp

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Ismail Dev-C++

L2CalculformelTp1:basesete´quationsd’unespacevectoriel

1 Premierspas en Maple Toutes les commandes doivent se terminer par un pointvirgule ”;” ou par deux points ”:ce dernier cas, le”. Dans re´sultatn’estpasaﬃche´. 2+2; 3+3: > 4 Onpeutaﬀecterdesvaleursa`desvariablesenutilisant”:=”. a:=3+3: > a; > 6 Aud´emarrage,Maplenechargepastoutessesfonctionsenm´emoire.Onalapossibilite´dechargerdenou velles fonctions avec la commandewith();edir’aelveonfautroL’uqseilfautuavecMaplnie´iaergle`rblealresilit bibliothe`que(”library”enanglais)linalg: with(linalg); > [BlockDiagonal,GramSchmidt,JordanBlock,LUdecomp,QRdecomp,Wronskian,addcol, addrow,adj,adjoint,angle,augment,backsub,band,basis,bezout,blockmatrix,charmat, charpoly,cholesky,col,coldim,colspace,colspan,companion,concat,cond,copyinto, crossprod,curl,deﬁnite,delcols,delrows,det,diag,diverge,dotprod,eigenvals, eigenvalues,eigenvectors,eigenvects,entermatrix,equal,exponential,extend, ﬀgausselim,ﬁbonacci,forwardsub,frobenius,gausselim,gaussjord,geneqns,genmatrix, grad,hadamard,hermite,hessian,hilbert,htranspose,ihermite,indexfunc,innerprod, intbasis,inverse,ismith,issimilar,iszero,jacobian,jordan,kernel,laplacian,leastsqrs, linsolve,matadd,matrix,minor,minpoly,mulcol,mulrow,multiply,norm,normalize, nullspace,orthog,permanent,pivot,potential,randmatrix,randvector,rank,ratform, row,rowdim,rowspace,rowspan,rref,scalarmul,singularvals,smith,stack,submatrix, subvector,sumbasis,swapcol,swaprow,sylvester,toeplitz,trace,transpose, vandermonde,vecpotent,vectdim,vector,wronskian] Cidessusapparaˆıtlalistedetouteslesfonctionscharg´eesenm´emoire.Vouspouvezavoirunebre`vedescription de chaque fonction en tapant: ?linalg > Chaquefonctionaaussiunepaged’aided´etaill´ee,donnantnotammentsasyntaxeetfournissantquelques exemplesrepre´sentatifsenbasdepage.Essayezparexempledecomprendrea`quoiserventlesfonctionsgeneqns etgenmatrix. ?geneqns >

2 L’algorithmede Gauss L’algorithmedeGausspoure´chelonnerlesmatricesestde´j`aprogramm´edanslafonctiongausselim. Voiciun exemple sur une matrice. > A:=matrix([[1, 47, 195, 47, 61], [41, 58, 519, 53, 1], [91, 718, 3509, 83, 389], [19, 50, 333, 53, 85], [49, 78, 31, 72, 99], [85, 86, 30, 80, 72]]);

  1−47 195−47−61 41−5358 519−1 91−83 389718 3509 A:= 19−50 333−53 85 49 7831 72−99   −85−86 3080 72

gausselim(A); >   1−47−91−47−61 0 8431817 8401244 −108870 33060−72512 0 0 281 281281 −239821−27846722 0 00 573 163305 −972267503 0 00 0 68348985   0 00 00 Laderni`erelignen’aquedesze´ros.Etaitcepre´visible? Arrivezvous`asuivreled´eroulementdel’algorithme? seq(gausselim(A,i),i=1..5); >   1−47 195−47−61   1−47 195−47−61 0 843−3372 8401244 228640 580024 0 1869−7476 1980 2500 0 00 281 843 0 3559−14236 4360 5940 33060−72512 , , 0 00 0 843−12443372 840 281 281 695−525694 0 2381−9524 2375 2890 0 00   281 843   0−4081 16605−3915−5113   42565 766505 0 0 281 281 843    1−47 195−47−61 1−47 195−47−61 0 843−3372 8408431244 0−12443372 840 42565 76650542565 766505 0 0 2810 0 281 281 843281 843 33060−72512 695−525694 , , 0 00 00 0 281 281281 843 695−525694 4087368 0 00 00 00 281 843139       228640 58002428611576 0 00 00 00 281 843139

  1−47 195−47−61 0 843−12443372 840 42565 766505 0 0 281 281 843 695−525694 0 00 281 843 4087368 0 00 0 139   0 00 00

3 Unpetit exemple Nousallonsapprendrea`nousservirdecertainesfonctionsdelabiblioth`equelinalgsurunpetitexemple.Ilest fortementconseill´epourchaquefonctionutilis´eedejeteruncoupd’oeil`asapaged’aide. Onpeutd´eﬁnirunespacevectorielparunensembledevecteursge´ne´rateurs:c’estl’ensembledetoutesles combinaisonsline´airesdecesvecteursge´ne´rateurs.Sicesvecteursnesontpasind´ependantsplusieurscombinaisons lin´eairesdonnentlemeˆmer´esultat:l’´ecrituren’estpasunique.Can’estpascommode.Onpre´fe`retravailleravec une base. v1:=randvector(3);v2:=randvector(3);v3:=2*v1 v2; > v1:= [79,56,49] v2:= [63,57,−59] v3:= 2v1−v2 La fonction basis extrait une base d’un ensemble de vecteurs. basis({v1,v2,v3}); > Attention,lesexpressionsforme´esa`partirdevecteursnesontpasautomatiquementcalcul´ees,ilfautledemander : Error, (in basis) expecting set or list of vectors v3:=evalm(v3); > v3:= [95,55,157] > basis({v1,v2,v3}); {v1,v2} Uneautresolutionconsiste`aconstruirelamatriceayantpourcolonneslesvecteursv1,v2etv3eta`chercher unebasedel’espaceengendre´parlescolonnesdecettematrice,c’esta`direunebasedel’imagedecettematrice. > m:=augment(v1,v2,v3);   79 6395 m:=5556 57   49−59 157

> colspace(m);colspan(m);

   −596 469 {0,1, ,1,0,} 75 75

{[0,975,−7748],[79,56,49]}

Onpeutaussichercherquelle(s)´equation(s)satisfaitlesousespaceengendr´eparv1,v2etv3.Pourcelaon´ecrit lesyst`ememX=Y,onletriangulariseetontrouveles´equationssatisfaitesparY.Comprenezvouspourquoi? y:=vector(3);m1:=augment(m,y);gausselim(m1); > y:= array(1..3,[])   −85−35−135y1 m1:= −55 97−207y2   −37 50−124y3   −85−35−135y1 2034−2034 11 0y2−y1 17 1717     839 1109 0 00y3−y1−y2 10170 2034 Lesyst`emed’´equationscorrespondant`am1,c’est`adirea`mX=Y:    −85x1−35x2−135x3=y1−85x1−35x2−135x3=y1 2034x22034x311y1    −55x1+ 97x2−207x3=y2meeatsusy`tivquenale´est−0x1+−=y2− 17 1717 839y11109y2 −37x1+ 50x2−124x3=y30x1+ 0x2+ 0x3=y3− − 10170 2034 839y11109y2 Lesousespaceengendre´parv1,v2etv3estd´eﬁniparl’e´quationy3− −= 0. 10170 2034 Onpeutaussis’int´eresserauxrelations,c’esta`direaux(x1,x2,x3)telsquex1v1+x2v2+x3v3=0.C’estaussi unsousespacevectorieldontonpeutcalculerunebaseoudese´quations:c’estlenoyaudelamatricem. > equas:=geneqns(m,x); equas:={79x1+ 63x2+ 95x3= 0,56x1+ 57x2+ 55x3= 0,49x1−59x2+ 157x3= 0} solve(equas); > {x1=−2x2, x3=x2, x2=x2} > geneqns(gausselim(m),x); donnelese´quationsdunoyau(ycompriscertainesinutiles:0=0). 975 975 {79x1+ 63x2+ 95x3= 0,0 = 0, x2−x3= 0} 79 79 linsolve(m,[0,0,0]); > donnetouslesvecteursdunoyausousformeparam´etre´e. [−2t1,t1,t1] > kernel(m); donne une base du noyau. {[−2,1,1]}

4Etmaintenant`avous... Refaiteslescalculspr´ec´edentssurl’exempleplusgrossuivant: > v1:=randvector(5);v2:=randvector(5);v3:=evalm (2*v1v2);v4:=evalm(v1+v3); Donnerunebasedel’espacevectorield´eﬁniparlese´quationssuivantes: > eqs :={66*x129*x291*x353*x419*x5 = 0, 47*x1+68*x272*x387*x4+79*x5 = 0}; eqs:= {66x1−29x2−91x3−53x4−19x5= 0,−47x1+ 68x2−72x3−87x4+ 79x5= 0}

Voir