Master de Mathematiques ENS Lyon Universites de Chambery Lyon et St Etienne Annee
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Niveau: Supérieur, Master
Master 2 de Mathematiques ENS Lyon – Universites de Chambery, Lyon 1 et St Etienne Annee 2005/2006 EXAMEN FINAL [vendredi 12 mai 2006, 10h00-13h00] Dans les exercices qui suivent, on designe par G un groupe topologique localement compact, metrisable et ?-compact. On choisit une fois pour toutes dg une mesure de Haar a gauche sur G. Si K est un groupe topologique compact, on designe par dk la mesure de Haar sur K de volume total egal a 1. Dans l'exercice 1, on montre que si G est le groupe ambiant d'une paire de Gelfand, il est automatiquement unimodulaire. Dans l'exercice 2, on montre que certains coefficients matriciels de representations unitaires de G sont des fonctions spheriques. Dans l'exercice 3, on prouve un critere pour qu'un groupe a systeme de Tits soit simple. Dans l'exercice 4, on prouve des criteres pour qu'une action de groupe sur un immeuble affine soit discrete, respectivement cocompacte. Exercice 1 : unimodularite et paires de Gelfand. Soit (G,K) une paire de Gelfand. On se donne f une fonction bi-K-invariante continue a support compact sur G. On note supp(f) le support de f et on pose C = supp(f)?1. 1) Justifier que K · C ·K est une partie compacte de G.
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Master 2 de Mathematiques ENS Lyon – Universites de Chambery, Lyon 1 et St Etienne Annee 2005/2006 EXAMEN FINAL [vendredi 12 mai 2006, 10h00-13h00] Dans les exercices qui suivent, on designe par G un groupe topologique localement compact, metrisable et ?-compact. On choisit une fois pour toutes dg une mesure de Haar a gauche sur G. Si K est un groupe topologique compact, on designe par dk la mesure de Haar sur K de volume total egal a 1. Dans l'exercice 1, on montre que si G est le groupe ambiant d'une paire de Gelfand, il est automatiquement unimodulaire. Dans l'exercice 2, on montre que certains coefficients matriciels de representations unitaires de G sont des fonctions spheriques. Dans l'exercice 3, on prouve un critere pour qu'un groupe a systeme de Tits soit simple. Dans l'exercice 4, on prouve des criteres pour qu'une action de groupe sur un immeuble affine soit discrete, respectivement cocompacte. Exercice 1 : unimodularite et paires de Gelfand. Soit (G,K) une paire de Gelfand. On se donne f une fonction bi-K-invariante continue a support compact sur G. On note supp(f) le support de f et on pose C = supp(f)?1. 1) Justifier que K · C ·K est une partie compacte de G.
- coefficients matriciels des representations spheriques
- critere de simplicite pour les systemes de tits
- espace hilbertien separable
- actions de groupes discretes
- systeme de tits
- groupes topologiques
Master2deMath´ematiques ´ ENSLyon–Universite´sdeChamb´ery,Lyon1etStEtienne Ann´ee2005/2006
EXAMEN FINAL [vendredi 12 mai 2006, 10h00-13h00]
Danslesexercicesquisuivent,onde´signeparGun groupe topologique localement compact, m´etrisableetσchoisit une fois pour toutes d-compact. Onga`racuagusehrumeneresuHade G. SiKigesd´onrdpanelogoqieuocpmca,testungroupetopkla mesure de Haar surKde volumetotal´egala`1.Dansl’exercice1,onmontrequesiGest le groupe ambiant d’une paire de Gelfand, il est automatiquement unimodulaire.Dans l’exercice 2, on montre que certains coefficientsmatricielsderepr´esentationsunitairesdeGsedtnosnoitcnofssph´eriques.Dans l’exercice3,onprouveuncrit`erepourqu’ungroupea`syste`medeTitssoitsimple.Dans l’exercice4,onprouvedescrit`erespourqu’uneactiondegroupesurunimmeubleaffinesoit discr`ete,respectivementcocompacte.
Exercice1:unimodularite´etpairesdeGelfand.Soit (G, KOn) une paire de Gelfand. se donnefune fonction bi-Kirnaetoctnnieua`-invarustcapmoctroppusG. Onnote supp(f) −1 le support defet on poseC= supp(f) . 1) Justifier queK∙C∙Kest une partie compacte deG. 2) Montrer qu’il existe une fonction bi-K-inoctnnieuavirnaetomtcctpasu`aorpprusGqui vaut 1 surC. ´ 0 0 3)Etantdonn´eefucel(rcnmotcoifenonuontiesqulansdamelac,etnede´ce´rpf∗f)(1G). 0 4)Souslesmˆemesconditions,calculer(f∗f)(1G). 5) Montrer queGest unimodulaire. Exercice2:coefficientsmatricielsdesrepr´esentationssph´eriques.Soit (G, K) une paire de Gelfand.On se donneπnureederiatiunontitaenesr´epGdont l’espace de repre´sentationestl’espacehilbertiense´parableHde produit scalaireh∙,∙i. Onsuppose que πquri´ephhonctoeeese´rpersnoitatnestunesitiv0un vecteur unitaireK-fixe dansH, i.e. K v0∈ H. Onveut montrer que la fonction coefficient matricielϕ:g7→ hπ(g)v0, v0iassoci´e`ea v0qurielernsio´epha`tvitanemenufenotcetsK. 1) Montrer queϕ:G→Cest une fonction continue et bi-K-invariante. Z 2) Soitv∈ H. Montrerquew7→ hπ(k).v, widkrofeilemae´nceritionesnuurestunH. K 3) Justifier que pour toutv∈ H, il existe un unique vecteurK-fixe dansH, qu’on notePK(v), Z tel quehPK(v), wi=hπ(k).v, widkpour toutw∈ H. K 4) Soitv∈ H. Montrerqu’il existe une fonction continueαv:G→Ctelle quePK(π(h).v) = αv(h)v0pour touth∈G. 5) Comparer les fonctionsαv0etϕ.
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Z 6) SoientgethdansGelatni’rge´lerlalcu.Cϕ(gkh)dket conclure. K Exercice3:crite`redesimplicit´epourlessyst`emesdeTits.On se donne (G, B, N, S) unsyst`emedeTits.OnnoteTl’intersectionB∩NetZceitetsr’lni-suosusd´eguguonscdeon groupeBrappelle que si. OnHest un sous-groupe normal deGalors il existe une partie IdeStelle que pour touss∈Iett∈S\Ion ast=tsdansW=N/Tet le sous-groupe HBs-ouougrga´euslauqilatseapepobarnsdtaredPIest une contrainte forte sur les. Ceci sous-groupes normaux deGeuqsno’ltiafrusoV.`eseptoheshyicidiaeremtnlpe´sspuG. (A) Le groupeB´rselobuel.ste (B) Le groupeGuorgnosamocsedepurtetamus.est´egal` (C)Lesyste`medeTits(G, B, N, Seidnvnotreiedappesaixtsln)’ees.e.i´leed,uictitrirb IdansStelle que pour touss∈Iett∈S\Ion aitst=tsdansW. On veut conclure que le groupeG/Zest simple.On se donne un sous-groupe normalH Get on noteπ:G→G/Hla projection canonique. 1) On suppose queHn’est pas contenu dansZque. Montrerπ(B) =G/H. 2) Montrer que le groupeB/(B∩H) est isomorphe au groupeG/H. 3) Montrer queG/Hest le groupe trivial. 4) Conclure. Exercice4:actionsdegroupesdiscre`tesetcocompactessurunimmeuble.Soit ∗ Σ0medesy`tniserecauiter´ed´edutirrbitcadelelsnlaudnsuAd’un espace euclidienA. On choisit une chambre de Weyl dansA, ce qui fournit une famille Π0Onde racines simples. noteΣlesyst`emederacinesaffinesassoci´eetcadnatsevsnaddrlcˆol’aA. Onse donneGun groupe muni d’une structure radicielle affine (N,{Uα}α∈Σ) et on reprend toutes les notations du cours dans ce contexte :en particulier, on noteIeotaaeenlbfficuoesmsmeie’´linnotBle sous-groupe d’Iwahori standard, i.e.le stabilisateur decdansG. On suppose que l’action deGsurIi.e.ele(´el´toutfit`dseenemetdG\ {1}agit non trivialement sur une facette deI) et que les axiomes topologiques (SRAT 1) et (SRAT 2) sont satisfaits. On rappelle que les sous-groupes parahoriques deG, i.e.les stabilisateurs des facettes deI dansG, sont dans ce cas compacts et ouverts. 1)Justifierquetout´el´ementd’ordrefinidansGfixe un point dansI. 2) On se donne Γ un sous-groupe discret deGque pour toute facette. MontrerFdeIle stabilisateur deFdans Γ est fini. 3)Re´ciproquementonsupposequeΓestunsous-groupedeGtel que pour toute facetteFde I, on a :|StabΓ(F)|<∞. Soitγ∈Γ.ntMotsenemnnombrefinid’´el´erqr’uli’nayuqu’δ∈Γ tels queγ.c=δ.c. 4)Onnum´eroteγ1=γ,γ2,...γnuttec`osetdanfaesutEnisiltn.se´em´sleecγn’agit pas comme lesγi(i≥2) et le fait que les sous-groupes parahoriques sont ouverts, montrer que Γ est discret dansG. 5) SoitHg-orossunuedeerm´upefGrbmoneleuqesoppucˆald’esitrb’oedovessous.Ons l’action deHsssituanepnresr´atneedtncahcdenuecesetsnfi.inEhcioH-orbites, montrer queG/Hest compact pour la topologie quotient. 6)Re´ciproquement,onsupposequeHtfesre´meetcocompactdansG, i.e.G/Hest compact pourlatopologiequotient.Enidentifiantl’ensembledesalcoˆves`aG/B, montrer que le nombre d’orbitesd’alcˆovessousl’actiondeHest fini. 2
Plusge´n´eralement,onpeutmontrerquelenombred’orbitesdefacettesdeIsous l’action d’un sous-groupeHi.m´eeferapmococtnfitse,tc 7) Soit Δ un sous-groupe discret et cocompact deG. Montrerque Δ ne contient qu’un nombre finideclassesdeconjugaisond’e´le´mentsd’ordrefini.
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