Martingales et calcul stochastique

Martingales et calcul stochastique
Master 2 Recherche de Mathematiques
Universite d’Orleans
Nils Berglund
Version de Janvier 2012Table des matieres
I Processus en temps discret 1
1 Exemples de processus stochastiques 3
1.1 Variables aleatoires i.i.d. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Marches al et cha^ nes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Urnes de Polya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Le processus de Galton{Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Marches aleatoires auto-evitantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Systemes dynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Construction generale des processus 13
2.1 Preliminaires et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Distributions de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Noyaux markoviens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Le theoreme de Ionescu{Tulcea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Filtrations, esperance conditionnelle 19
3.1 Sous-tribus et ltrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Martingales 27
4.1 De nitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Inegalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Decomposition de Doob, processus croissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5 Temps d’arr^et 33
5.1 De nition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Processus arr^ete, inegalite de Doob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 Theoremes de convergence 39
6.1 Rappel: Notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.2 Convergence presque sure^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
p6.3 Conv dans L , p> 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
16.4 Convergence dans L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.5 Loi 0 1 de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
-10 TABLE DES MATIERES
II Processus en temps continu 51
7 Le mouvement Brownien 53
7.1 Limite d’echelle d’une marche aleatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2 Construction du mouvement Brownien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.3 Proprietes de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.4 Temps d’arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.5 Mouvement Brownien et martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8 L’integrale d’It^ o 65
8.1 De nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.3 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.4 La formule d’It^ o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
9 Equations dierentielles stochastiques 75
9.1 Solutions fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.2 Existence et unicite de solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
10 Di usions 81
10.1 La propriete de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.2 Semigroupes et generateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
10.3 La formule de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10.4 Les equations de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.5 La formule de Feynman{Kac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A Corriges des exercices 97
A.1 Exercices du Chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.2 du 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
A.3 Exercices du Chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.4 du 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.5 Exercices du Chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.6 du 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.7 Exercices du Chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.8 du 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Partie I
Processus en temps discret
1Chapitre 1
Exemples de processus
stochastiques
D’une maniere generale, un processus stochastique a temps discret est simplement une suite
(X ;X ;X ;::: ) de variables aleatoires, de nies sur un m^eme espace probabilise. Avant0 1 2
de donner une de nition precise, nous discutons quelques exemples de tels processus.
1.1 Variables aleatoires i.i.d.
Supposons que les variables aleatoires X ;X ;X ;::: ont toutes la m^eme loi et sont0 1 2
independantes. On dit alors qu’elles sont independantes et identiquement distribuees,
abrege i.i.d. C’est d’une certaine maniere la situation la plus aleatoire que l’on puisse
imaginer. On peut considerer que les X sont de nies chacune dans une copie di erentei
d’un espace probabilise de base, et que le processus vit dans l’espace produit de ces espaces.
La suite des X en soi n’est pas tres interessante. Par contre la suite des sommesi
partielles
n 1X
S = X (1.1.1)n i
i=0
admet plusieurs proprietes remarquables. En particulier, rappelons les theoremes de con-
vergence suivants.
1. La loi faible des grands nombres: Si l’esperance E(X ) est nie, alors S =n converge0 n
versE(X ) en probabilite, c’est- a-dire0