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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
2009-2010 MA11 Universite d'Orleans S.Falguieres Logique, ensembles, preuves mathematiques 1 Logique Exercice 1. Soient les quatre assertions suivantes : – a. ?x ? R, ?y ? R, x+ y > 0. – b. ?x ? R, ?y ? R, x+ y > 0. – c. ?x ? R, ?y ? R, x+ y > 0. – d. ?x ? R, ?y ? R, y2 > x. 1. Les assertions a, b, c, d sont-elles vraies ou fausses ? 2. Donner leur negation. Exercice 2. Soit f une application de R dans R. Nier, de la maniere la plus precise possible, les enonces qui suivent : 1. Pour tout x ? R f(x) ≤ 1. 2. L'application f est croissante. 3. L'application f est croissante et positive. 4. Il existe x ? R+ tel que f(x) ≤ 0. 5. Il existe x ? R tel que quel que soit y ? R, si x < y alors f(x) > f(y). On ne demande pas de demontrer quoi que ce soit, juste d'ecrire le contraire d'un enonce. Exercice 3. Completer les pointilles par le connecteur logique qui s'impose : ?, ?, ? .

connecteur logique

?n ?

angle droit

recurrence

entiers pi

raisonnement

?b ?

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2009-2010 MA11 Universit´ed’Orle´ansS.Falgui`eres Logique,ensembles,preuvesmath´ematiques

1 Logique Exercice 1.Soient les quatre assertions suivantes : – a.∃x∈R,∀y∈R, x+y >0. – b.∀x∈R,∃y∈R, x+y >0. – c.∀x∈R,∀y∈R, x+y >0. 2 – d.∃x∈R,∀y∈R> x., y 1. Lesassertionsa,b,c,d?sont-elles vraies ou fausses 2.Donnerleurne´gation. Exercice 2.Soitfune application deRdansRlpalere`ice´rpsur,ie.Nnimaladessibsepole, les´enonce´squisuivent: 1. Pourtoutx∈Rf(x)≤1. 2. L’applicationfest croissante. 3. L’applicationfest croissante et positive. + 4. Ilexistex∈Rtel quef(x)≤0. 5. Ilexistex∈Rtel que quel que soity∈R, six < yalorsf(x)> f(y). Onnedemandepasdede´montrerquoiquecesoit,justed’e´crirelecontraired’une´nonce´. Exercice 3.igolruetcennocel:sepoims’uieqquetlrlpe´Cmosparll´eintiespo⇔,⇐,⇒. 2 1.x∈Rx= 4x. . . . . .= 2; 2.z∈Cz=z .z. . . . .∈R; 2ix 3.x∈Rx=. . . . .eπ .= 1. 2 Exercice 4.DansRinﬁe´dnoesneseltsmble, 2 2 F1={(x, y)∈R, y≤0}etF2={(x, y)∈R, xy≥1, x≥0}. ´ Evaluer les propositions suivantes : −−−→ 1.∀ε∈]0,+∞[,∃M1∈F1,∃M2∈F2,||M1M2||< ε −−−→ 2.∃M1∈F1,∃M2∈F2,∀ε∈]0,+∞[,||M1M2||< ε −−−→ 3.∃ε∈]0,+∞[,∀M1∈F1,∀M2∈F2,||M1M2||< ε −−−→ 4.∀M1∈F1,∀M2∈F2,∃ε∈]0,+∞[,||M1M2||< ε Quandellessontfausses,donnerleurne´gation. ´ Exercice 5.irelEcrasssnoedagitnae´esntvauissontieru`oP, Q, R, Ssont des propositions. 1.P⇒Q, 2.Pet (nonQ), 3.Pet (QetR), 4.Pou (QetR),

5. (PetQ)⇒(R⇒S). 6.Nier les assertions suivantes.

Ensembles 12.Montrer par contraposition les assertions suivantes,E´etantunensmelb:e

Raisonnementparl’absurdeetcontrapose´e

21.Soit (fn)n∈Nune suite d’applications de l’ensembleNnslui-mˆeme.Onda

2.End´eduire:

n X 1 2 32 k= (2n+ 3n+ 3n). 6 k=0

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