M2 LES CONIQUES
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
M2 : LES CONIQUES. Page 1 sur 3 GEOMETRIE PLANE : LES CONIQUES. I : Généralités. 1°) Définition géométrique. H H0 M F (D) p (?) ? Une conique est l'ensemble des points M d'un plan tels que le rapport des distances à un point F, appelé foyer et à une droite D, appelée directrice, soit constant : FM e HM = . ? Le rapport constant e est appelé l'excentricité de la conique. ? Le paramètre p d'une conique est par définition la longueur FM lorsque le rayon vecteur est parallèle à la directrice D. FM JJJJG ? Il en résulte que la distance du foyer F à la directrice D est : 0 pFH e= . ? L'axe de symétrie FH0 orthogonal à la directrice D, est l'axe focal ? de la conique. 2°) Équation polaire d'une conique. ? Le foyer F est placé à l'origine d'un système de coordonnées polaires (r,?), l'axe polaire coïncidant avec l'axe focal orienté de F vers H0. On a : ; . FM r= ( ),Fx FM? = JJG JJJJG De et .FM e HM= 0 cos cospHM H F r ee? ?= + = + , on obtient l'équation polaire : 1 cos p r e ?= ? .
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M2 : LES CONIQUES. Page 1 sur 3 GEOMETRIE PLANE : LES CONIQUES. I : Généralités. 1°) Définition géométrique. H H0 M F (D) p (?) ? Une conique est l'ensemble des points M d'un plan tels que le rapport des distances à un point F, appelé foyer et à une droite D, appelée directrice, soit constant : FM e HM = . ? Le rapport constant e est appelé l'excentricité de la conique. ? Le paramètre p d'une conique est par définition la longueur FM lorsque le rayon vecteur est parallèle à la directrice D. FM JJJJG ? Il en résulte que la distance du foyer F à la directrice D est : 0 pFH e= . ? L'axe de symétrie FH0 orthogonal à la directrice D, est l'axe focal ? de la conique. 2°) Équation polaire d'une conique. ? Le foyer F est placé à l'origine d'un système de coordonnées polaires (r,?), l'axe polaire coïncidant avec l'axe focal orienté de F vers H0. On a : ; . FM r= ( ),Fx FM? = JJG JJJJG De et .FM e HM= 0 cos cospHM H F r ee? ?= + = + , on obtient l'équation polaire : 1 cos p r e ?= ? .
- mf mf
- ellipse d'excentricité nulle
- droites asymptotes d'équations
- angles ?0
- equation cartésienne
- axe focal
- ellipse
M2 : LES CONIQUES.
GEOMETRIE PLANE : LES CONIQUES. I : Généralités. 1°) Définition géométrique. ¾Une conique est l’ensemble des pointsM d’unplan tels que le M rapport des distances à un pointF, appeléfoyeret à une droite H FM = D, appeléedirectrice, soit constant :e. HMF (Δ) H 0 ¾Le rapport constanteest appelél’excentricité de la conique. p ¾Leparamètrepconique est par définition la longueur d’une JJJJG (D) FMlorsque le rayon vecteurFMest parallèle à la directriceD. p H=. ¾Il en résulte que la distance du foyerFà la directriceDest :F0 e ¾L’axe de symétrieFHorthogonal à la directriceD, estl’axe focalΔde la conique. 0 2°) Équation polaire d’une conique. ¾Le foyerFplacé à l’origine d’un système de coordonnées polaires est(r,θ), l’axe polaire coïncidant avec l’axe focal orienté deFversH. 0 JJG JJJJG θ= On a :FM=r;(Fx,FM). p =M DeFM e.H etHM=H0F+rcos= +ecosθ, on e y p obtientl’équation polaire:r=.M 1−ecos Hθ¾Dans le cas où l’axe focalH Ffait un angleθavec l’axeFx, on 0 0 0obtient la forme polaire la plus générale d’une conique: H 0x p = r; l’angleθest appeléazimuth focal. 0 1−ecos(θ−θ) 0(D) 3°) Classification des coniques. p ¾e=1∈ +∞[r= Si ,r[rin,, avecmin: la conique est uneparabole. m 2 p p <∈[ ,r]r r= ¾Sie1,r rmin max, avecmin=etmax: la conique est uneellipse. 1e1e p >+∞r ¾Sie1,r∈[r, [, avecmin=: la conique est unehyperbole. min 1e II : Parabole. 1°) Propriétés géométriques. y M = ¾Puisquee = 1, on aFM HM:la parabole est l’ensemble H des pointssitués à égale distance du foyer et de la directrice. x H 0 pO F ¾H Le paramètre de la parabole vérifie :0O OF=rmin=2 (D) Page 1 sur 3
M2 : LES CONIQUES. 2°) Équation cartésienne. ¾En prenant l’origine des coordonnées au sommet O de la parabole (et non plus au foyer), on 2 = obtient l’équation cartésienne canonique de la parabole :y2px. 2 2 2 2⎛ ⎞2⎛p⎞ (Il suffit d’écrire :FM=HM, soit encore :x− +y=x+) ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ III : Ellipse. 1°) Propriétés géométriques. ¾Définitions et relations : y Une ellipse de centreO etde foyersF etF’ est B M caractérisée par :H’r'/e r/eH Undemi-grand axea(OA = OA’ = a).r' r ox ’ OcUndemi-petit axeb(OB = OB’ = b). o H F’ F0 b Uneexcentricitéeet unparamètrep. oa La distancecle centre entreO etl’un des o B’a oyers (OF = OF’ = c), telle quec=ea f .¾Définition bifocale d’une ellipse : Une ellise de foers F et F’, de demi-rand axeaoints M, est le lieu des + = tels que :F MF' 2a. MF MF' Démonstration :par définition d’une conique, on a pour l’ellipse :eou=eH H' r r' 1⎛a−c⎞a Parailleurs,H'H== +(r+r')=2OH=2(OA+AH)=2a+ =2. 0 0⎜ ⎟ e ee⎝e⎠e D’oùla relation cherchée :r + r’ = 2a. ¾Relations à connaître : Il découle de la définition géométrique d’une ellipse les relations suivantes : 2 2 22cb = +== a bc ;e ;p. aa Ainsi, connaissant deux des trois distancesa, b, c,on peut en déduirepete. Inversement,connaissantpete, on peut retrouvera,betc: Enprenant l’origine au foyer F, le point de l’ellipse le plus près de F est appelépérigéeet le p p r=r= point le plus éloigné l’apogée. Aupérigée:minet à l’apogée:max. 1+e1−e p pe =b=c= On en déduit :a2 ;;22 1−e1−e 1−e =π Surface d’une ellipse: on rappelle queS ab. 2°) Équation paramétrique et cartésienne. ¾Représentation paramétrique d’une ellipse : Considérons le cercle de centre O et de rayonOA =a.M bφL’ellipse se déduit de ce cercle par une affinité orthogonale parx b rapport à son axe focal, de rapport.Oa a JJG JJJG φ= En faisant intervenir l’angle(Ox,OP),anomalie excentrique, on Page 2 sur 3
M2 : LES CONIQUES. obtient les équations paramétriques de l’ellipse, avec origine au centre O de l’ellipse : =φ= x acosety bsin.
2 2 x y ¾Représentation cartésienne d’une ellipse :elle s+ =1 ’écrit :2 2.a b 3°) Cas particulier du cercle. Un cercle est une ellipse d’excentricité nulle. Ainsi, les foyers F et F’ sont confondus en O, centre du cercle. IV : Hyperbole. 1°) Propriétés géométriques.¾Définition bifocale d’une hyperbole : I M Une herbole de fo ersF etF’, de demi- randaxeaoints, est le lieu desMx F−MF'=2a=A’ A tels que :(A' 2a).F’ F O ¾Relations à connaître : On noteA'=2a;I=betFF'=2c.
2 2 2 2c b + == = On a alors :ca b;e;p. a a Comme pour l’ellipse, connaissantpete, on peut retrouvera,betc: p En effet :pourθ= 0,r'=F'A'=c+a=, e−1 p Pourθ=π,r=FA=c−a=. e+1 p p2pepe p 2c= + =.c= Donc,2D’où :a= ;b= ;22 2 e+1e−1e−1e−1e−1 e−1 2°) Équation cartésienne. L’équation cartésienne canonique d’une hyperbole, avecl’ori ineO placée 2 2 x y − =1 en son centre de symétrie est :2 2. a b ¾Equations des asymptotes : 2 2 y x Lorsque x→∞, on a≈, conduisant àdeux droites asymptotes d’équations : 2 2 b a b = ± y xqui se coupent en O. a
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