Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
M1 : ALGEBRE FEUILLE DE TD no 2 09 NOVEMBRE 2010 PAUL LESCOT Les quatre exercices sont independants les uns des autres. 1. Exercice I On rappelle que, si p est un nombre premier impair, on a equivalence entre • Il existe un entier n ? N tel que p divise n2 + 1, et • p ? 1[4]. On se place dans l'anneau A := Z[i] des entiers de Gauss. 1) Montrer que 1 + i est irreductible dans A, et en deduire une decomposition (dans A) de 2 en produit d'elements irreductibles. 2) Soit p ? 3[4] un nombre premier. Montrer que p est irreductible dans A . 3) Soit p ? 1[4] un nombre premier. i) Etablir que p n'est pas irreductible dans A. ii)En deduire l'existence de deux entiers a ? N et b ? N tels que p = a2 + b2. 4)Determiner un systeme de representants pour les classes d'elements irreductibles de A. 2. Exercice II On cherche a resoudre dans N l'equation x2 + 2 = y3. 1) Montrer que x est necessairement impair (on pourra raisonner modulo 4). On se placera dorenavant dans l'anneau B := Z[i √ 2].
- reprise de l'ouvrage de calais anneaux-corps - vol
- produit d'elements irreductibles
- anneau euclidien
- elements de theorie des anneaux