Lycée Brizeux Samedi mars PCSI A
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Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Samedi 10 mars 2012 PCSI A Correction du devoir surveillé no 5 Problème I Étude d'un bobinage A Étude rapide du bobinage A.1 La résistance r du bobinage dépend de la conductivité ?, de la section s et de la longueur l du fil de cuivre : r = l?s d'où l = ?sr = 470 m . Étude théorique : A.2 On associe au courant i(t) = I0 cos(?t + ?), une amplitude complexe I0 qui est liée à l'am- plitude E0 de la tension e(t) par : I0 = E0 R+ZL+ZC = E0 R+j(L?? 1C? ) . On en déduit l'expression de l'amplitude I0 en prenant le module : I0 = E0√ R2+(L?? 1C? ) 2 ; I0 est maximal lorsque le dénominateur est minimal soit lorsque L?r ? 1C?r = 0, soit ?r = 1√ LC et I0max = E0 R . A.3 Le déphasage ? entre i(t) et e(t) est égal à ? = ? arg[R + j(L? ? 1C? )]. Ce déphasage est nul à la résonance pour L? = 1C? . La valeur de ?r ne dépend pas de la valeur du circuit donc la résistance r ne modifie pas cette propriété.
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Lycée Brizeux Samedi 10 mars 2012 PCSI A Correction du devoir surveillé no 5 Problème I Étude d'un bobinage A Étude rapide du bobinage A.1 La résistance r du bobinage dépend de la conductivité ?, de la section s et de la longueur l du fil de cuivre : r = l?s d'où l = ?sr = 470 m . Étude théorique : A.2 On associe au courant i(t) = I0 cos(?t + ?), une amplitude complexe I0 qui est liée à l'am- plitude E0 de la tension e(t) par : I0 = E0 R+ZL+ZC = E0 R+j(L?? 1C? ) . On en déduit l'expression de l'amplitude I0 en prenant le module : I0 = E0√ R2+(L?? 1C? ) 2 ; I0 est maximal lorsque le dénominateur est minimal soit lorsque L?r ? 1C?r = 0, soit ?r = 1√ LC et I0max = E0 R . A.3 Le déphasage ? entre i(t) et e(t) est égal à ? = ? arg[R + j(L? ? 1C? )]. Ce déphasage est nul à la résonance pour L? = 1C? . La valeur de ?r ne dépend pas de la valeur du circuit donc la résistance r ne modifie pas cette propriété.
- pression du gaz dans le cylindre
- volume v0
- fréquence de coupure
- signal de fréquence f1
- ?0 ?
- db ?
- ?f
- totalité du gaz contenu
LycÉe Brizeux PCSI A
o Correction du devoir surveill n5
Samedi 10 mars 2012
Problme IÈtude d’un bobinage A Ètuderapide du bobinage A.1La rÉsistancerdu bobinage dÉpend de la conductivitÉσ, de la sectionset de la longueurl l du fil de cuivre :r=d’oÙl=σsr= 470m. σs
Etude thÈorique :
qui est l A.2On associe au couranti(t) =I0cos(ωt+ϕ), une amplitude complexeI0iÉe á l’am-E0E0 plitudeE0de la tensione(t)par :I= =1. On en dÉduit l’expression de 0 R+Z+Z L CR+j(Lω−) Cω E0 q l’amplitudeI0en prenant le module :I0=;I0est maximal lorsque le dÉnominateur 1 2 2 R+(Lω−) Cω 1 1E0 √ est minimal soit lorsqueLωr−= 0, soitωr=etI0max=. CωrR LC 1 A.3Le dÉphasageϕentrei(t)ete(t)est Égal áϕ=−arg[R+j(Lω−)]. Ce dÉphasage est Cω 1 nul á la rÉsonance pourLω=. La valeur deωrne dÉpend pas de la valeur du circuit donc la Cω rÉsistancerne modifie pas cette propriÉtÉ.
Mise en pratique : A.4On ne peut pas avoir plusieurs masses dans un circuit Électronique. Pour pouvoir observer á l’oscilloscope la tension du gÉnÉrateur et celle deR, il faut intervertirRetC. ω A.5On se place en mode X-Y de l’oscilloscope et on augmente la frÉquencef=progressivement 2π de la tension sinusodalee(t)dÉlivrÉ par le GBF. L’ellipse (X(t), Y(t)) observÉ sur l’Écran devient un segment de droite á la rÉsonance car le dÉphasageϕest nul. 1 1−2 √ A.6f0=d’oÙL=2 2= 9,0.10H 4π C 2π LCf0
B Comportementlectrocintique du bobinage À basse frquence Etude du montage : B.1L’intensitÉ et la tension efficaces sont les valeurs en rÉgime continu qui produiraient le mme effet Joule au niveau d’un rÉsistor, qu’un courant ou une tension pÉriodique, en moyenne, suivant 2 22 2 une pÉriodeT:I=< i>etU=>< u. En rÉgime sinusodal tel queu=U0cos(ωt+ϕ), ef fef f 2 1U0 √ nous avons :<cos (ωt+ϕ)>=d’oÙUef f=. En notantIl’intensitÉ efficace du courant 2 2 UA circulant dans la bobine, on aUA=|Z|I=ZIetUB=RI, soit :Z=R. La rÉsistanceRsert UB á diviser la tension aux bornes du groupement (Z, R) et á mesure l’intensitÉ efficace du courant. 2 22 2 B.2Un modÈle de la bobine tel queZ=r+jLω, est caractÉrisÉ par :Z=r+L ω= 2 22 22 2 r+ 4π L f. Si l’on reprÉsente le graphe deZen fonction def, on doit alors obtenir une droite 2 22 de pente4π Let d’ordonnÉe á l’originer.
Mise en pratique :
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B.3Le montage proposÉ nous fournit les mesures suivantes : f(Hz)50 60 70 8030 4010 20 2 f900 1600 2500 3600 4900 6400100 400 2 2 Z(Ω )84,1 190 367570 8621142 1600 2079 2 2 On constate que les divers points(f ,Z)sont quasiment alignÉs, ce qui prouve la validitÉ du modÈle −2 pour la bobine. On obtient par rÉgression linÉaire :L= 8,9.10Hetr= 8,1 Ω B.4Aux basses frÉquences, pour10≤f≤80Hz, l’impÉdanceZvarie entre9,2 Ωet45,6 Ωet l’on ne peut pas nÉgligerr= 8 Ωpar rapportZ. NÉanmoins, on peut nÉgligerrdevantR= 500 Ω pour le calcul de l’intensitÉ efficaceI.
Problme IIObtention d’un filtre ADSL A Lesdeux types de filtres Quatre grands types de filtres sont disponibles : filtres passe-bas, passe-haut, coupe-bande et passe-bande. A.1On peut utiliser un filtre passe-haut de frÉquence de coupure5kHz < fc<25kHzpour ne « rÉcupÉrer » que les signaux informatiques. A.2On peut utiliser un filtre passe-bas de frÉquence de coupure5kHz < fc<25kHzpour ne « rÉcupÉrer » que les signaux « tÉlÉphoniques ».
B Ètuded’un filtre B.1
Il s’agit d’un filtre passe-haut. Ce filtre laissera donc passer les signaux internet si sa frÉquence de coupure est bien choisie. u u e s +jLω(u+u) 0R Re s B.2D’aprÈs le thÈorÈme de Millamnn sur le noeud :u=2 1=soit : R+2jLω + R jLω 0 jLωu 0 u(R+ 2jLω) =jLω(u+u)et d’aprÈs la formule du pont diviseur de tensionu=soit e ss R+jLω 0 jLωu= (R+jLω)u. s 2 u 0s−x ω B.3En Éliminantudans les deux Équations prÉcÉdentes on obtientH= =2, oÙx= u1−x+3jx ω0 e R etω0=. L B.4En haute frÉquenceH∼1, le gain maximal est donc Égal á 1.
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B.5 Pulsation x−→0 x−→ ∞ x= 1 B.6
H(jω) −1 H(jx)∼2 x H(jx)∼1 1 H(jω) = 3j
GdB GdB= +40logx GdB= 0dB GdB=−9.5dB
ϕ ϕ=π ϕ= 0 π ϕ=− 2
−3 4R2πLfc B.7On donneL= 1,40.10Hetfc= 2,67f0= 1,50.10Hzetf0=d’oÙR= = 2πL2.67 49,4 Ω.
Problme IIILe guidage des avions, un instrument essentiel : l’al-timtre A Principede l’altimtre A.1La frÉquence varie linÉairement avec une penteδf, une pÉriodet0et une valeur initialef0. t On a doncfs(t) =f0+δf. t0 R δf2ste A.2On aθ(t) = 2π fs(t)dtdoncθ(t) = 2π(f0t+t+c). Comme át= 0,θ(t= 0) = 0, on 2t0 δf2 en dÉduit que la constante d’intÉgration est nulle et doncθ(t) = 2π(f0t+t) 2t0 δf2 On injecte cette expression danss(t) =Acos(θ(t))soits(t) =Acos(2πf0t+ 2π t). on a 2t0 δf δf doncs(t) =Acos(2πf0(1 +t)t). On reconnat l’expression deω0= 2πf0etω1=d’oÙ 2f0t02f0f0 s(t) =Acos(ω0(1 +ω1t)t). On en dÉduit l’allure des(t)sur une pÉriode :s(t)est un signal sinusodal dont la frÉquence augmente sur une pÉriode.
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2z A.3τest le temps nÉcessaire pour que le signal parcourt une distance2zdoncτ=. Avec c −5 z= 3000m, on trouveτ= 2,0.10s= 20µs adÉcrit l’attÉnuation du signal. A.4On an(t) =ks(t)r(t) =ks(t)as(t−τ) =kaAcos(ω0(1 +ω1t)t)Acos(ω0(1 +ω1(t−τ))(t− τ)). Un produit de 2 fonctions sinusodales peut se rÉÉcrire comme une somme de 2 fonctions sinusodales (utiliser les formules de trigonomÉtrie donnantcos(a+b)etcos(a−b)) :n(t) = 2 kA a [cos(ω0(1 +ω1t)t+ω0(1 +ω1(t−τ))(t−τ)) + cos(ω0(1 +ω1t)t−ω0(1 +ω1(t−τ))(t−τ))] 2 donc en dÉveloppant, 2 kA a22 2 n(tcos(2) =ω0t+ 2ω0ω1t−2ω0ω1tτ+ω0ω1τ−ω0τ) + cos(ω0τ+ 2ω0ω1tτ−ω0ω1τ) 2 d’oÙ l’expression demandÉe : 2 kA a2 2 n(tcos(2) =τ ω0ω1t+ω0τ(1−ω1τ)) + cos((2ω0−2ω0ω1τ)t+ 2ω0ω1t−ω0τ+ω0ω1τ) 2 Les 2 frÉquences instantanÉes sont : 1d τ –f1= (2τ ω0ω1t+ω0τ(1−ω1τ)) =ω0ω1soit en remplaÇantω0etω1par leurs expressions, 2ππ dt τ δf on trouvef1=; t0 1d12 2 –f2(t((2) ==ω0−2ω0ω1τ)t+ 2ω0ω1t−ω0τ+ω0ω1τ() =ω0−ω0ω1τ+ 2ω0ω1t)soit 2π dtπ δf f2= 2f0+ (2t−τ). t0 δf A.5Commeτ <<t0etδf<< f0,(2t−τ)<<2f0doncf2≈2f0. L’expression def1reste t0 τ δf inchangÉe et Égale áf1=. τ A.6On souhaite accÉder ázet donc áτpour mesurer l’altitude de l’avion, il faut donc conserver le signal de frÉquencef1<< f2et Éliminer la composante de frÉquencef2. Il faut donc placer un 4 filtre passe-bas de frÉquence de coupurefc<< f2= 2,0.10M Hz. A.7 1 2 – Filtre 1 : passe-bas d’ordre 1 avecfc11= =,6.10Hz, frÉquence de coupure trop 2πR1C1 basse. 1 2 – Filtre2 : passe-bas d’ordre 1 avecfc21= =,6.10Hz, frÉquence de coupure trop basse 2πR2C2 (+valeurs numÉriques improbables) q 1L33 – Filtre3 : passe bande avecQ310= =donc filtre trÈs sÉlectif qui ne peut pas convenir, R3C3 on veut mesurerf1que l’on ne connat pas. – Filtre4 : filtre passe-haut 1 1 – Filtre5 : filtre passe-bas avecfc5= =160HzetQ5=, frÉquence de coupure trop 2πR5C53 basse. 1 1 √ – Filtre 6 : filtre pass= e-bas avecH6 1+j2 2doncfc6= = R(2C+C)ω−R C C ω 2 11 22πR6C61C62 √ 7C61C62 1,6.10Hz= 16M HzetQ60= =,1. Ce filtre est adaptÉ. C61+2C62 B Etudedu filtre B.13 hypothÈses : impÉdance d’entrÉe infinie (donc pas de courants entrants), impÉdance de sortie nulle, gain infini (donc en rÉgime linÉaire,V+=V−). B.2A basse frÉquence, les condensateurs se comportent comme des interrupteurs ouverts. Comme l’AO est idÉal, il n’y a pas de courants qui circulent dans la rÉsistance entreAetB: la tension á ses bornes est nulle; doncvA=vB. Comme l’AO est idÉal et quev+= 0, on en dÉduit quevA=vB= 0. Un thÉorÈme de Millman enAmontre simplement quev1=v2. A haute frÉquence, les condensateurs se comportent comme des fils doncv2=vB. On a toujours vB= 0doncv2= 0. Le filtre est donc un filtre passe-bas.
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v v 1 2 + R Rv1+v2 B.3EnA, on avA=3=. 3+jRC2ω +jC2ω R v A +jC1ωv2 R EnB, on avB=1(pas de courants entrants dans l’AO). CommevB= 0,vA+ +jC1ω R jRC1ωv2= 0. v1+v2 En remplaÇantvA, on a−jRC1ωv2=soitv2(3 +jRC2ω)(−jRC1ω) =v1+v2. 3+jRC2ω −1 Finalement, on trouveH=2 2 1+3jRC1ω−R C1C2ω 13 √ B.4On aH0= 1,ω0=et=RC1. ω2 R C1C2 √ √√ 2 22 B.5On veut obtenir une frÉquence propref0= 100M Hzet=doncC1= =soit 2 3ω0R6πf0R −16 1−16 C1= 1,6.10F. De plus,C2=2 2C1= 7,2.10F. R C1ω 0 B.6Siω→0,H∼H0=−1doncGdBlog= 20|H| ∼0: asymptote horizontale á0dBá basse frÉquence. Pour la phaseϕ=argH,ϕ∼argH0=π. 2 −H0ω 0ω Siω→ ∞,H∼doncGdBlog= 20|H| ∼ −40 log(): asymptote oblique de pente ω ω0 2 ω 0 −40dBá haute frÉquence. Pour la phaseϕ=argH,ϕ∼arg2= 0. ω −1π √ Siω=ω0,H=soitGdB=−3dBetϕ=. 2 2 ω On en dÉduit l’allure du diagramme asymptotique et du diagramme rÉel en fonction dex=. ω0
B.7La frÉquence de coupure est adaptÉe : on ne conserve que le signal de frÉquencef1. La mesure def1donne alors accÈsτet donc áz.
Exercice 1Pompe À vide 1. Lorsqu’onpousse le piston de la positionBvers la positionA, la totalitÉ du gaz contenu dans P0V0 le cylindreCs’Échappe vers l’extÉrieur par la soupapeS1moles de; il ne reste plus que RT0 gaz dans l’ensemble {cylindre + rÉservoir}. Lorsqu’on ramÈne le piston de la positionAvers la positionB, une partie du gaz contenu dans le rÉservoirRpasse dans le cylindreCpar la soupapeS2: le gaz contenu dans l’ensemble {cylindre + rÉservoir} constitue un systÈme fermÉ et subit une dÉtente isotherme, passant du volumeV0et de la pressionP0au volumeVB+V0 et á la pressionP1. La loi des gaz parfaits nous permet d’ÉcrireP V=cste. On obtient donc : V0 P1=P0. V0+VB 2 V0V0 2. Dela mme faÇon, aprÈs le deuxiÈme aller-retour du piston,P2=P1, soitP2=P0. V0+VBV0+VB n V0 3. ParrÉcurrence, on a doncPn=P0. PuisqueV0< V0+VB, on obtient :limPn= 0. V0+VB n→∞
4. LevolumeVAn’Étant pas nul, la totalitÉ du gaz contenu dans le cylindreCne s’Échappe pas vers l’extÉrieur : la pression du gaz dans le cylindre est limitÉe áP0. Lorsque le piston est enA P0VA il reste donc toujoursmoles de gaz dans le cylindreC. Lorsqu’on ramÈne la piston de la RT0 positionAvers la positionB, on ne peut donc pas espÉrer atteindre une pression infÉrieure á
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VA Pf=P0, qui est notre nouvelle limite thÉorique. Cette nouvelle limite est proportion-VB+V0 nelle au volumeVA: elle ne peut tre nulle que siVAest nul, d’oÙ le nom de « volume nuisible ».
Exercice 2Un peu de pratique... 1. Sanssynchronisation, l’oscilloscope fait son acquisition á des instants quelconques. Entre deux Écrans consÉcutifs, l’acquisition ne commence pas pour des mmes valeurs de tension du signal d’oÙ l’impression de dÉfilement. On synchronise le signal á l’aide du boutonlevel, et l’acquisition commence lorsque la tension du signal est Égal á cette tension de rÉfÉrence dans le sens montant ou descendant. 2. On peut directement rÉglerv0á l’aide du multimÈtre en position DC (valeur moyenne du signal). Pour rÉglervmon utilise le mode AC qui donne la valeur efficace du signal alternatif vm (sans sa composante continue). LA valeur efficace du signal alternatif est= 5,66V. √ 2 3. Lavoie de l’oscilloscope est surement en positionAC(elle filtre la composante continue). Il faut mettre l’oscilloscope en position DC pour observer tout le signal. 4. LeGBF n’Étant pas une source idÉale de tension, il possÈde une rÉsistance interne. Lorsqu’on connecte á ses bornes un circuit qui a une rÉsistance Équivalente du mme ordre de grandeur que cette rÉsistance interne on observe une chute de tension puisque le montage est Équivalent á un pont diviseur de tension. Pour Éviter cette chute de tension on peut intercaler entre le GBF et le haut parleur un montage suiveur. Le courant dÉlivrÉ alors par le GBF sera nul puisque l’AO possÈde une impÉdance d’entrÉe infinie, et l’impÉdance de sortie de l’AO Étant nulle, celui-ci se comportera comme une source de tension idÉale.
Exercice 3Oscillations couples de deux masses 1. OnconsidÈre le systÈme de deux points{A, B}dans le rÉfÉrentiel terrestre supposÉ galilÉen. Les forces extÉrieures exercÉes sur ces deux points sont leurs poids et la rÉaction du support −→ (normale á l’axe (Ox)). Sachant que le mouvement est seulement suivantux, on peut conclure que le systÈme ÉtudiÉ est pseudo-isolÉ. L’application du thÉorÈme de la rÉsultante cinÉtique −→−→ −→ d p→−−−→→→− montre que= 0soitp=m vG=cste. ât= 0on obtient quep=mAv0. La vitesse du dt point du centre de masse est constante, le rÉfÉrentiel barycentrique est donc galilÉen. On note l(t)la longueur instantanÉe du ressort. −−→−→ mAmB 2. Le mobile rÉduit est dÉfini parGM=AB, sa masse rÉduiteµ=, l’application du mA+mB PFD sur une des particules dans le rÉfÉrentiel barycentrique nous fournit l’Équation diffÉrence k k ¨ du mouvement`+`=`0. µ µ ˙ 3.`(t) =K1cosω0t+K2sinω0t+`0.Sachant que`(0) =`0+aet`(0) =−v0, on obtient : v0 `(t) =acosω0t−sinω0t+`0 ω0 m(l+a) mA B0 4.xA(t) =OG(t) +GA(t)etxB(t) =OG(t) +GB(t)avecOG(t) =v0t+, mA+mBmA+mB mBmZ GA(t) =−`(t)etGB(t) =`(t) mA+mBmA+mB 5. SimAmB, le pointAa un mouvement de translation rectiligne uniforme (point A fixe dans le rÉfÉrentiel barycentrique) et le point B a un mouvement de translation rectiligne sinusodale dans le rÉfÉrentiel barycentrique.
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