Lycée Brizeux Samedi mai PCSI A B
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Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Samedi 28 mai 2011 PCSI A & B Devoir surveillé no 7 Electromagnétisme – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé. – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Si au cours de l'épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, vous le signale- rez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Dipôle électrostatique A Propriétés du dipôle électrostatique A.1 Rappeler la définition d'un dipôle électrostatique de moment dipolaire ??p ainsi que son unité (on note p = ???p ?) Considérons le dipôle électrostatique représenté sur la figure ci-dessous Dans la suite du problème, on considère : r a, avec 2a = ? ??? NP?. Sauf mention contraire, cette distance est constante, le dipôle est dit « rigide ». A.2 Justifier rapidement que l'étude peut se faire dans le plan polaire repéré par les vecteurs de base (??er , ??e? ).
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Lycée Brizeux Samedi 28 mai 2011 PCSI A & B Devoir surveillé no 7 Electromagnétisme – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé. – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Si au cours de l'épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, vous le signale- rez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Dipôle électrostatique A Propriétés du dipôle électrostatique A.1 Rappeler la définition d'un dipôle électrostatique de moment dipolaire ??p ainsi que son unité (on note p = ???p ?) Considérons le dipôle électrostatique représenté sur la figure ci-dessous Dans la suite du problème, on considère : r a, avec 2a = ? ??? NP?. Sauf mention contraire, cette distance est constante, le dipôle est dit « rigide ». A.2 Justifier rapidement que l'étude peut se faire dans le plan polaire repéré par les vecteurs de base (??er , ??e? ).
- moment ??
- champ
- dipôle
- blocs de co2
- expression de l'énergie potentielle
- potentiel nul en z
- champ électrostatique
LycÉe Brizeux PCSI A & B
o Devoir surveillÉ n 7
Samedi 28 mai 2011
ElectromagnÉtisme –La durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la fin du temps prÉvu. –L’usage de la calculatrice est autorisÉ. –Tous les problÈmes et exercices sont indÉpendants –Les rÉsultats devront tre encadrÉs. –Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ sera considÉrÉe comme fausse. –Si au cours de l’Épreuve vous repÉrez ce qui semble tre une erreur d’ÉnoncÉ, vous le signale-rez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez ÉtÉ amenÉ À prendre. –Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraïneront la perte de tous les points de la question.
ProblÈme I DipÔle Électrostatique A Propriètès du dipÔle èlectrostatique −→ A.1Rappeler la dfinition d’un dipÔle lectrostatique de moment dipolairepainsi que son −→ unit (on notep=kpk) Considrons le dipÔle lectrostatique reprsent sur la figure ci-dessous
−→ Dans la suite du problme, on considre :ra, avec2a=kN Pk. Sauf mention contraire, cette distance est constante, le dipÔle est dit « rigide ». A.2Justifier rapidement que l’tude peut se faire dans le plan polaire repr par les vecteurs −→−→ de base(er, eθ). A.3Donner, sans calcul, l’expression de la composante du champ lectrostatique (cr par cette distribution) porte par un vecteur unitaire perpendiculaire au plan d’tude. a A.4Dterminer, À l’ordre le plus bas en , l’expression du potentiel lectrostatique cr au r pointM(r, θ)par le dipÔle, avec comme rfrence le potentiel nul À l’infini. −→ A.5En dduire l’expression du champ lectrostatiqueE(M)cr enM(r, θ)par le dipÔle. Montrer que celui-ci peut s’crire sous la forme donne par l’quation ci-dessous : −→1 −→−→−→−→ E= [3(p .er)er−p] 3 4π0r A.6Comparer l’volution de ce champ À celui cr par une charge ponctuelle.
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A.7Tracer, dans un plan mridien, l’allure des lignes de champ et des quipotentielles associes À cette distribution. On tracera l’quipotentielleV= 0et on indiquera les quipotentiellesV >0 etV <0. A.8Ètablir les quations des lignes de champ et des quipotentielles. Vrifier, qu’en tout point, les quipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ.
B Actions subies par un dipÔle Le dipÔle prcdent est plac dans une rgion de l’espace oÙ rgne un champ lectrostatique −→ uniformeE0. B.1Quelle est la rsultante des forces appliques au dipÔle ? −→ B.2? Exprimer ce momentQuel est le moment rsultant des actions subies par le dipÔle Γen −→ −→ fonction deE0etp. B.3Rappeler l’expression de l’nergie potentielleEpd’une charge ponctuelle+qplace enP dans une rgion oÙ rgne un potentielV(P). −→ −→ B.4Ètablir l’expression de l’nergie potentielleEddu dipÔle dans le champ uniformeE0etp. B.5Prciser le mouvement du dipÔle dans les deux cas ci-dessous.
Le dipÔle prÉcÉdent est maintenant placÉ dans un champ crÉÉ par une charge ponctuelle+Q fixe enO. B.6Dcrire qualitativement le mouvement du dipÔle lorsqu’il est plac enM, dans les condi-−→ −→−→d p tions initiales suivantes :p(t= 0) =p0eθet(t= 0) = 0(figure ci-dessous) dt
−→ −→−→ d p B.7Reprendre la mme tude avecp(t= 0) =p0eret(t= 0) = 0 dt −→ −→ Un dipÔle de moment dipolairepplacÉ dans un champ non uniformeE(M)subit la rÉsultante −→−→−−→−→ −→ des forcesFdonnÉe par la relation :F= (p .grad)E −→−→ B.8Quelle est la force subie par un dipÔle plac enMet tel quep(t= 0) =p0er? Quel est le mouvement du dipÔle dans ce cas ?
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C Applications C.1Quelle est l’unit utilise en chimie pour caractriser le moment dipolaire d’une mol-cule ? Cette unit est-elle une unit du systme international ?La formule dÉveloppÉe plane du formaldÉhyde est la suivante :
L’angleHCHmesure116, le moment dipolaire de la liaisonC−Hvaut0,40Det celui de la liaisonC=Ovaut2,30D. C.2?Quelle est la valeur thorique du moment dipolaire de cette molcule + C.3Quel est le champ lectrostatique cr enMpar un ion fixe (enO) notIportant une charge+Q? −−→ On noter=kOMket on utilise les coordonnes polaires. −−→ C.4On place enM(aveckOMk=r2a=kN Pk) un dipÔle(N P)dans le champ cr par +−→ I. Quelle est l’nergie potentielle d’interaction d’un dipÔle(N P)de momentpdans le champ + cr parI? Exprimer cette nergieEion−dipoleen fonction de0,Q,p,retϕoÙϕest l’angle −→ −→ entreE+etp. I C.5Pourϕ= 0, quelle est alors la rsultante des forces subies par le dipÔle(N P)? Quel est le mouvement du dipÔle(N P)dans ces conditions ? −→ PlaÇons maintenant un dipÔle(N P)2de momentp2enM, dans le champ d’un autre dipÔle −→ −→ −→ fixe(N P)1de momentp1placÉ enO(voir figure ci-dessous), aveckp1k=kp2k=pOn considÈre −−→−→ toujours quekOMk=r2a=kN Pk.
C.6Quel est le mouvement du dipÔle initialement plac enM? C.7Quelle est l’nergie potentielle d’interactionEdu dipÔle2plac enMdans le dipole1−dipole2 champ d’un dipÔle identique1, plac enO? Exprimer cette nergie en fonction de0,Q,p,ret ψoÙψest l’angle entre les moments dipolaires des deux dipÔles(N P)1et(N P)2 C.8Pour quelle(s) valeur(s) deψ?, les deux dipÔles sont-ils en quilibre
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ProblÈme II Etude d’un microphone Un microphone est un transducteur qui transforme un son, c’est-À-dire une onde de pression (donc une onde mcanique), en un signal lectrique (tension ou courant) de mme forme. Dans les microphones lectrostatiques, l’onde de pression, en faisant vibrer l’armature d’un condensateur inclus dans un circuit RC, en modifiera la capacit, ce qui modifiera le courant du circuit. Le courant lectrique ainsi gnr pourra tre soit enregistr soit amplifi pour ensuite restituer le son initial par un haut-parleur par un processus inverse.
A Plan infini On se propose de calculer le champ lectrique cr par un plan infini uniformment charg avec une densit surfaciqueσ. Ce plan correspond au plan(Oxy)d’un systme de coordonnes −→−→−→ cartsiennes(Ox, Oy, Oz)classique muni d’une base orthonorme(O, ux, uy, uz). La position d’un pointMest repre par ses coordonnes cartsiennes(x, y, z). On se place dans le cas de l’lectrostatique (σ=constante).
−→ A.1Montrer, par des considrations de symtrie, que le champ lectriqueE(M)cr enM par le plan uniformment charg est perpendiculaire au plan en tout point de l’espace. On crira −→−→ −→ doncE(M) =E(x, y, z)uz. Justifier le fait que le champ lectriqueE(M)ne peut pas dpendre −→ −→ des coordonnesxetydu pointM, soitE(M) =E(z)uz. Montrer par des considrations de symtrie que la fonctionE(z)est impaire. A.2Montrer, en utilisant le thorme de Gauss, que le champ est uniforme au dessus et en dessous du plan. En appliquant le thorme de Gauss sur une surface qu’on prcisera clairement en faisant un schma, dterminer la valeur du champ lectrique en fonction deσ,0(constante dielectrique du vide) et d’un vecteur unitaire judicieusement choisi qu’on prcisera (on distinguera les deux cas :z >0etz <0). Une dmonstration trs prcise est attendue. A.3Dterminer le potentiel lectriqueV(z)en tout point de l’espace en fonction deσ,0etz (on prendra le potentiel nul enz= 0). On distinguera toujours les deux cas :z >0etz <0. On supposera la continuit du potentiel enz= 0. A.4Tracer l’allure des courbesE(z)etV(z)en prcisant les valeurs aux points remarquables.
B Condensateur plan On considre maintenant un condensateur plan infini form par deux plans infinis et parallles e entre eux, distants dee. Le plan suprieur est situ dans le planz= +et le plan infrieur dans 2 e le planz=−. Le plan suprieur est charg avec une densit surfaciqueσpositive et le plan 2 infrieur est charg avec une densit surfacique oppose (donc ngative)−σ.
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B.1Dterminer le champ lectrique total cre par l’ensemble des deux plans en tout point de l’espace en fonction deσ,0et d’un vecteur unitaire que l’on prcisera (on distinguera les trois zones dlimites par les deux plans). Porter sur un schma le sens du champ lectrique. e e B.2Calculer l’expression du potentiel lectrostatiqueV(z)pourz∈[−; ]en fonction deσ, 2 2 zet0. On prendra toujours le potentiel nul enz= 0. Calculer la diffrence de potentielUentre les deux plans infinis en fonction deσ,eet0. Exprimer la norme du champ lectrique total en fonction deUete. B.3Application numrique : les condensateurs des microphones lectrostatiques pour la prise de son, sont soumis À des tensions de l’ordre de quelques dizaines de volts et les armatures sont spares de quelques dizaines de micromtres. Donner l’ordre de grandeur du champ lectrique rgnant dans ces condensateurs. Quel problme pratique pose un champ lectrique trop grand ? Dans un condensateur rel, les deux armatures ne peuvent pas tre des plans infinis mais ont des surfaces finies identiquesS. On supposera que les rsultats trouvs pour le champ lectrique et le potentiel ne diffrent pas des rsultats trouvs dans les questions prcdentes, pourvu qu’on ne se place pas trop prs des bords des armatures. L’armature suprieure porte alors la charge totale+Qet l’armature infrieure la charge totaleQ.
B.4Aprs avoir exprimσen fonction deQetS, en dduire la diffrence de potentielUentre les deux armatures en fonction deQ,0,eetS. Dfinir et exprimer la capacitCdu condensateur form en fonction de0,eetS. Donner l’ordre de grandeur de la capacit d’un condensateur 2−5 utilis dans un microphone lectrostatique pour lequel on prendra :S≈1cm,e≈10met −11 0≈10S.I..
ProblÈme III La sÉquestration du dioxyde de carbone Les activits humaines ont accru sensiblement le taux de la concentration de CO2dans l’atmosphre : autour de280ppmil y a 250 ans, il est actuellement de387ppm(soit une augmentation de38%). Afin de ne pas dpasser la limite de450ppmau-delÀ de laquelle les consquences les plus dramatiques du rchauffement climatique seront invitables de nombreuses options sont envisages afin de limiter les rejets de CO2dans l’atmosphre. Donnes : 3−3 – masse volumique de l’ocan :ρ0= 1,03 10kg.m – temprature de l’ocan :T0= 280K 3−3 – masse volumique du CO2solide :ρ0= 1,50 10kg.m 5 – pression a la surface de l’ocan :P0= 1bar= 10P a −→−→ – Le rfrentiel terrestre est suppos galilen et le champ de pesanteur est :g=g0uz, −2 suppos constant ;g0= 9,80m.s −→ –uzest orient selon la verticale descendante Une premire proposition un peu simple (simpliste ?) consiste À former des blocs de CO2 solide À l’aide d’installations frigorifiques puis de les laisser tomber dans des fosses marines. On effectue les approximations suivantes :
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– L’ocan est un fluide homogne au repos, de temprature constante, incompressible et indilatable. – Les blocs de CO2sont incompressibles et indilatables. Ils ont de plus une masse constante tout au long de la descente dans la fosse (approximation forte).
A Condition de sèquestration du CO2solide On propose le diagramme de phases du CO2:
A.1Donner le nom de l’etat physique dans chacune des quatre zones 1, 2, 3 et 4. A.2Donner les noms des points b et c et prciser leurs particularits. A.3Un morceau de dioxyde de carbone solide est laiss sur une paillasse dans un laboratoire. Ce solide est-il stable ou au contraire observe-t-on un changement d’tat (prciser alors son nom) ? A.4Quelle doit tre la pression minimale de l’eau pour que le CO2reste solide dans son emplacement de stockage ? A.5On notezla profondeur du point considr avecz= 0correspondant À la surface de l’ocan. Aprs avoir rappel l’quation de la statique des fluides, dmontrer l’expression deP(z) dans l’ocan en fonction deP0,g0etρ0. A.6Quelle doit tre la profondeur minimale de la fosse marine pour que le bloc de CO2solide soit dans un tat stable ? Commenter le rsultat.
B Ètude dynamique du bloc 3 Un bloc de CO2solide de volumeV= 650mest lách À la surface de l’ocan À l’instant t= 0. Lors de sa chute dans l’eau, il subit, entre autres, une force de frottement fluide dont l’expression est la suivante : −→ −→4−1 f=−k vaveck= 8,0.10kg.s
B.1 B.2 B.3 B.4
Faire un bilan complet des forces appliques au solide. Prciser, en le justifiant, si ces forces sont conservatives ou non. Que peut-on en dduire concernant l’nergie mcanique du systme ? Ètablir l’quation diffrentielle vrifie par la vitesse du bloc.
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B.5Donner l’expression de la vitesse limitevlimdu solide. Calculervlim. B.6Donner l’expression de la vitessev(t)du bloc en fonction devlimet d’une constanteτ homogne À un temps. Donner l’expression deτ. B.7En dduire l’expression de la profondeurz(t)du bloc.
ProblÈme IV ThermomÉtrie par thermistance On considre une thermistance dont la rsistanceR(T)est donne par la loi : 1 1 R(T) =R0exp(B(−)) T T0 oÙBest une constante positive etT0une temprature de rfrence. Le constructeur donne comme caractristiquesR(T1) = 5000 ΩÀt1= 25CetR(T2) = 309 ΩÀt2= 120C.
A Etude d’une thermistance A.1Calculer la valeur deB. Prciser son unit. A.2Etablir une expression deR(T)en fonction deR(T1),B,TetT1puis calculerR(T)pour les deux valeurs suivantes de la temprature :5Cet110C.
B Application À un dispositif de sècuritè Le caractre non linaire de la thermistance peut tre mis À profit dans un dispositif de scurit ou de contrÔle-rgulation de temprature. Considrons le montage ci-dessous aliment sous une tensionV= 15V, oÙ la thermistance de rsistanceR(T)est introduite dans un montage en pont, associ À un amplificateur oprationnel suppos idal, aliment entre+Vccet−Vcc(son alimentation n’est oas reprsente pour la clart du schma). En cas de fonctionnement en rgime de saturation, les tension de saturation seront notes±Vsat(avecVsat= 12V). Les rsistances utilises ont les valeurs suivantes :R1= 1kΩ, R2= 10kΩ,R3= 1MΩetR4= 15kΩ.
B.1Dterminer l’expression de la tensionV−sur l’entre inverseuse de l’A.O., en fonction de R1,R(T)etV. Exprimer la tensionV+sur la borne non inverseuse de l’A.O., en fonction deV, Vs,R2,R3etR4. B.2Expliquer le fonctionnement de l’A.O. et dterminer en le jusitfiant les expressions, mini-maleVLet maximaleVH, de la tensionV+en fonction deV,Vsat,R2,R3etR4. B.3Reprsenter les variations de la tension de sortieVsen fonction de celle d’entreVE. En dduire le rÔle jou par l’A.O. dans ce dispositif. B.4Calculer les rsistanceR(T)associes aux valeurs deVLetVH, puis les tempratures correspondantes. Discuter le mode de fonctionnement de ce dispositif et son intrt.
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