Lycée Brizeux MECANIQUE Année PCSI Chapitre ME5
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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 PCSI Chapitre ME5 _____________________________________________________________________________________ -1/10- OSCILLATIONS LIBRES Le système étudié étant en équilibre, on le perturbe à un instant t pris comme origine des temps (par élongation d'un ressort par exemple). Les grandeurs mécaniques du système évoluent ensuite librement pour t > 0 . On parle de régime libre. I- ETUDE DE L'OSCILLATEUR HARMONIQUE EN REGIME LIBRE I-1- Exemple de la masse suspendue à un ressort On néglige dans ce paragraphe l'amortissement dû à la force de frottement exercée par le milieu environnant sur la masse. a- Equation du mouvement et résolution Zu Masse m en équilibre t < 0 A l'instant t = 0, la masse est lâchée sans vitesse initiale Régime libre t > 0 m? eq?
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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 PCSI Chapitre ME5 _____________________________________________________________________________________ -1/10- OSCILLATIONS LIBRES Le système étudié étant en équilibre, on le perturbe à un instant t pris comme origine des temps (par élongation d'un ressort par exemple). Les grandeurs mécaniques du système évoluent ensuite librement pour t > 0 . On parle de régime libre. I- ETUDE DE L'OSCILLATEUR HARMONIQUE EN REGIME LIBRE I-1- Exemple de la masse suspendue à un ressort On néglige dans ce paragraphe l'amortissement dû à la force de frottement exercée par le milieu environnant sur la masse. a- Equation du mouvement et résolution Zu Masse m en équilibre t < 0 A l'instant t = 0, la masse est lâchée sans vitesse initiale Régime libre t > 0 m? eq?
- énergie potentielle du système
- équation différentielle régissant le mouvement
- ordre de grandeur de la durée du régime libre
- grandeurs mécaniques du système
- position d'équilibre stable
- système étudié
- régime libre
- force de frottement
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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 ME5PCSI Chapitre _____________________________________________________________________________________ OSCILLATIONS LIBRES Le système étudié étant en équilibre, on le perturbe à un instant t pris comme origine des temps (par élongation d’un ressort par exemple). Les grandeurs mécaniques du système évoluent ensuite librement pour t > 0 . On parle de régime libre. I-ETUDE DE L’OSCILLATEUR HARMONIQUE EN REGIME LIBRE I-1- Exemple de la masse suspendue à un ressort uZ ℓeq ℓmMasse m A l’instant t = 0, Régime libre en équilibre la masse est lâchée t > 0 t < 0 sans vitesse initiale On néglige dans ce paragraphe l’amortissement dû à la force de frottement exercée par le milieu environnant sur la masse. a-Equation du mouvement et résolution
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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 PCSI Chapitre ME5 _____________________________________________________________________________________ ℓt Ces oscillations sont qualifiées d’harmoniques : - leur amplitude est constante au cours du temps - leur pulsation est appelée pulsation propre car elle ne dépend que des caractéristiques de l’oscillateur, indépendamment des conditions initiales. On parle d’isochronisme des oscillations. b-Etude énergétique Le système n’est soumis qu’à des forces conservatives : son poids et la force de rappel élastique.Son énergie mécanique est donc constante. Son expression peut être déterminée à partir d’un instant t > 0 particulier. L’énergie potentielle du système est la somme des énergies potentielles élastique et de pesanteur. On choisit arbitrairement que l’énergie potentielle du système est nulle pourℓ=ℓeq. On a alors :> 0E t 1/E t ℓ=ℓ1/E t ℓ=ℓ= M M eq C eq 12 L’énergie mécanique du système a pour expressionEM(t > 0!= kA avec A l’amplitude des 2 oscillations. c-Portrait de phase ɺ ℓɺ ℓ(t!´P(t) On peut représenter les états successifs du système dans un plan par des ɺ points P de coordonnéesℓ,ℓ. ℓℓtOn obtient une trajectoire de phase. ɺ Dans l’exemple précédent :t = Acoωℓω ω ℓs0t +eqetℓ(t!= -A0sin(0t!·Equation de la trajectoire de phase :
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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 ME5PCSI Chapitre _____________________________________________________________________________________ ɺ ℓ·Portait de phase ℓLes dimensions de l’ellipse (grand et petit axes) dépendent de A, amplitude des oscillations, et donc des conditions initiales. Chaque trajectoire de phase correspond à une valeur de A donnée et donc à une énergie mécanique constante. Les trajectoires de phase sont isoénergétiques. L’ensemble des trajectoires obtenues en considérant différentes conditions initiales est appelé portait de phase. Le fait que le mouvement soit périodique engendre une trajectoire de phase fermée ; deux états séparés d’une période sont représentés par le même point. I-2- Définition générale de l’oscillateur harmonique On considère un point M en mouvement unidimensionnel repéré par sa coordonnée x et soumis uniquement à des forces conservatives de résultanteF. L’énergie potentielle du point M est alors une fonction de la variable x : EP(x). EPx xes xeiOn étudie les petits mouvements de M autour d’une position d’équilibre stable : EP x x0’ xes x0On fait l’hypothèse qu’à l’instant t = 0, le point M est abandonné de la position x0sans vitesse initiale. -3/10-
Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 PCSI Chapitre ME5 _____________________________________________________________________________________ Quel est le mouvement du point M pour t > 0 ? ·point M se déplace dans le sens des x décroissants tout en étant accéléré par la forceLe Fjusqu’à la position d’équilibre stable xes. ·FLe point M se déplace ensuite encore dans le sens des x décroissants tout en étant freiné par la force jusqu’à la position x0’ où sa vitesse s’annule. ·Le point M se déplace à partir de x0F’dans le sens des x croissants tout en étant accéléré par la force jusqu’à la position d’équilibre stable xes. ·FLe point M se déplace ensuite encore dans le sens des x croissants tout en étant freiné par la force jusqu’à la position x0où sa vitesse s’annule. ·Le mouvement reprend ….. Le mouvement du point M est donc borné. Il effectue des oscillations non amorties autour de la position d‘équilibre stable. Au voisinage d’une position d’équilibre stable, un système dont l’énergie mécanique est constante se comporte comme un oscillateur harmonique (c’est-à-dire un système soumis à une force de rappel proportionnelle à l’élongation). L’équation différentielle régissant le mouvement d’un oscillateur harmonique peut se mettre sous la 2 2 fox rme canonique suivante :ɺɺ+ω0x =ω0xes oùw0, appelée pulsation propre, représente la pulsation des oscillations. Elle ne dépend que des caractéristiques propres du système indépendamment des conditions initiales. La solution de cette équation différentielle peut se mettre sous les deux formes analogues suivantes : x t = x + X cosωt +j oux t = X cosx + ωt#X sinωt. es m 0 es 1 0 2 0
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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 PCSI Chapitre ME5 _____________________________________________________________________________________ II-ETUDE DU REGIME LIBRE DE L’OSCILLATEUR HARMONIQUE AMORTI PAR FROTTEMENT VISQUEUX Le système étudié étant en équilibre, on le perturbe à un instant t pris comme origine des temps (par élongation d’un ressort par exemple). Les grandeurs mécaniques du système évoluent alors pour t > 0 jusqu’à ce que le système revienne dans son état d’équilibre (stable). Ce régime libre est un régime temporaire dont la durée est évaluée par un temps de relaxation. Celui-ci donne un ordre de grandeur de la durée du régime libre. II-1- Présentation du système étudié uZ ℓeqℓmA l’instant t = 0, Régime libreMasse m en équilibre la masse est lâchée t > 0 t < 0 sans vitesse initiale On tient compte dans ce paragraphe de l’amortissement dû à la force de frottement exercée par le milieu environnant sur la masse :Ffrottemen t= -α.v. M II-2- Etude énergétique L’énergie mécanique du système diminue au cours du temps pour t > 0. En effet, le théorème de l’énergie mécanique s’écrit : dE2 M = P = P = Ffrottemen t-.v = αv < 0 . M M Fnonconservatives Ffrottement dt Le mouvement de la masse m sera donc amorti. Le régime libre est un régime transitoire. II-3- Equation différentielle du mouvement
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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 ME5PCSI Chapitre _____________________________________________________________________________________ L’équation différentielle obtenue peut se mettre sous le forme canonique suivante : ω2 2 ɺɺ ɺ 0 ℓ+ℓ#ω0ℓ=ω0ℓeqQ -w0la pulsation des oscillations libres non amorties (cas particulier des oscillations représente harmoniques). - Q est le facteur de qualité du système (sans dimension). ω1 0 - On pose = avecttemps de relaxation du système (ordre de grandeur de la durée du régime libre Qτ c’est à dire du retour à l’équilibre). II-4- Résolution de l’équation différentielle On observe quesuivant la valeur det(on fait varier la masse m et/ou la viscosité du fluide (eau ou air)), la nature du mouvement change ;le retour à l’équilibre peut s’effectuer avec ou sans oscillations. On peut en effet associer à l’équation différentielle sans second membre un polynôme du second degré ω 2 0 2 appelé polynôme caractéristique :r+r +ω0= 0 :dont le discriminant a pour expression Q 2 ω 1 02 2 =-4ω01ω0%4. 22 Q Q La forme mathématique de la solution générale de l’E.S.S.M. et donc la nature du mouvement varie suivant le signe du discriminant. er a-1 cas :D< 0 : régime pseudopériodique (Q > 0,5) Ce cas correspond à un faible frottement: la solution de l’E.S.S.M. est une sinusoïde amortie.La masse revient à l’équilibre après avoir effectué des oscillations d’amplitude décroissante. Les solutions de l’équation du second degré sont imaginaires :La solution générale de l’équation homogène se met sous la forme : tt %% 2t2t ℓ(t!1e A1cos(wt!#A2sin(wt!ouℓ(t!Ae cos(wt# j! 1 1Im r0 w avec% 1Re(r1,2! et1,2 02t t % 2t Ae représente l’amplitude des oscillations. Cette amplitude diminue exponentiellement au cours du temps. 2t est un ordre de grandeur de la durée du retour à l’équilibre. En effet pour t >>t, l’amplitude des oscillations est très faible par rapport à l’amplitude initiale. La détermination desdeuxconstantes A1et B1(ou A etj) se fait à l’aide dedeuxconditions initiales : longueur et vitesse du ressort à t = 0+. -6/10-
Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 ME5PCSI Chapitre _____________________________________________________________________________________ Représentation graphique deℓt: ℓ(0+) =ℓm·ɺ ·1 ℓ(t 0#!0⇒ la courbe admet une tangente horizontale à t = 0+t % 2t ·t >> 2t: e|0 doncℓ(t >> 2t)|0 (avec 2tordre de grandeur de la durée du régime libre pseudopériodique) Dans l’air : ℓt Dans l’eau : ℓt Portrait de phase : ɺ ℓℓLe système tend vers un point appelé attracteur correspondant à la position d’équilibre stable. -7/10-
Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 ME5PCSI Chapitre _____________________________________________________________________________________ Interprétation énergétique du facteur de qualité dans le cas d’un oscillateur faiblement amorti (Q >> 1) ·Energie mécanique du système à l’instant t Le système étant très faiblement amorti, son comportement se rapproche de celui d’un oscillateur harmonique. 12 -t/τ Son énergie mécanique a alors pour expression approchée (cf. I-1-b-) :E(t > 0!e= kA M 2 -t/2t avec Ae l’amplitude des oscillations. ·Energie perdue en une pseudopériode On noteDE1E t#T%E tperdue en une pseudopériode T avec T voisine de T l’énergie 0M M M (période propre du système), l’oscillateur étant faiblement amorti. t#T t t T 0 0 % % %% 1212122p t t t t E1kA e%kA e1ekA e %1 av On a donc :M ecT01T donc 0 <<t soit 2 2 2 0 T 0 01 t x On peut alors faire un développement limité à l’ordre 1 au voisinage de 0 : pourx01,e≃1 x t t 12T12T % % t0t0 DE1kA e 1% %11 %kA e. M 2t2t ·Nouvelle définition du facteur de qualité On a remarqué que plus les frottements étaient faibles (et donc Q élevé) plus il y avait d’oscillations. Cela signifie donc que plus le facteur de qualité est élevé, plus la perte d’énergie par pseudopériode est faible. t % 12t kA e t w t EM(t!0Q 2 On peut alors relier Q etDEM:% 1 % 1 %1 1 t E T 2p2p 12T % Mt0 0 %kA e 2t On aboutit à la définition énergétique du facteur de qualité pour un circuit faiblement amorti évoluant en régime libre : énergie du circuit à l'instant t Q = 2πénergie perdue en une pseudopériode -8/10-
Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 PCSI Chapitre ME5 _____________________________________________________________________________________ ème :2 cas D> 0 : régime apériodique (Q < 0,5) Ce cas correspond à un frottement important: la solution est une courbe strictement décroissante. Le retour à l’équilibre se fait sans oscillation. Les solutions de l’équation caractéristique du second degré sont réelles : r t r t 1 2 ℓt1A1e#A2eavec r1et r2les solutions réelles négatives de l’équation caractéristique. La longueur du ressortℓt est la somme de deux exponentielles : le retour à l’équilibre se fait sans oscillation. Les constantes d’intégration A1et A2se déterminent de la même façon que précédemment. Représentation graphique deℓ(t) : ·Mêmes conditions initiales que dans le premier cas r t r t ·t|¥:e|0 et e doncℓ(t|¥)|0 1 2 ℓt Portrait de phase : ɺ ℓℓ
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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 PCSI Chapitre ME5 _____________________________________________________________________________________ 3ème cas :D= 0 : régime critique (Q = 0,5) Ce cas correspond à une valeur particulière du coefficient de frottement : L’équation caractéristique du second degré admet une solution réelle unique : rt ℓt1At#B eavec r solution réelle négative de l’équation caractéristique Les constantes d’intégration A et B se déterminent de la même façon que précédemment. Représentation graphique deℓ(t) (sur le même schéma que le cas apériodique) : ·Mêmes conditions initiales que dans le premier cas rt ·t|¥:e|0 doncℓ(t|¥)|0 C’est pour ce régime que le retour à l’équilibre est le plus rapide.
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