Lycée Brizeux MECANIQUE Année PCSI B TD ME7
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Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 PCSI B TD ME7 _____________________________________________________________________________________ -1/4- SYSTEMES DE DEUX POINTS MATERIELS EN INTERACTION FORCES CENTRALES CONSERVATIVES Exercice 1 : Théorèmes de Koenig _____________________________________________________________________________________ On assimile la Terre et la Lune à deux points matériels de masses mT et mL. La distance Terre-Lune est supposée fixe et égale à l ; on admet que ces deux points décrivent des orbites circulaires autour de leur centre de masse C à la vitesse angulaire constante ?.
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Lycée Brizeux MECANIQUE Année 2009-2010 PCSI B TD ME7 _____________________________________________________________________________________ -1/4- SYSTEMES DE DEUX POINTS MATERIELS EN INTERACTION FORCES CENTRALES CONSERVATIVES Exercice 1 : Théorèmes de Koenig _____________________________________________________________________________________ On assimile la Terre et la Lune à deux points matériels de masses mT et mL. La distance Terre-Lune est supposée fixe et égale à l ; on admet que ces deux points décrivent des orbites circulaires autour de leur centre de masse C à la vitesse angulaire constante ?.
- vitesse angulaire
- satellite
- position d'équilibre stable
- ?? ??
- rasante de rayon r0
- expressions de la vitesse v0 et de la période t0 du satellite
- orbite circulaire
- lune
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Lycée BrizeuxMECANIQUE Année2009-2010 TD ME7PCSI B _____________________________________________________________________________________ SYSTEMES DE DEUX POINTS MATERIELS EN INTERACTION FORCES CENTRALES CONSERVATIVES Exercice 1: Théorèmes de Koenig _____________________________________________________________________________________On assimile la Terre et la Lune à deux points matériels de masses mTet mL. La distance Terre-Lune estsupposée fixe et égale àl; on admet que ces deux points décrivent des orbites circulaires autour de leur centre de masse C à la vitesse angulaire constantew. Ce centre de masse C décrit autour du Soleil, à l’origine O des coordonnées, une orbite circulaire de rayon a à la vitesse angulaire constanteW. Ces deux mouvements sont supposés coplanaires et les rotations ont lieu dans le même sens. Calculez pour le système Terre–Lune ainsi schématisé : a)L’énergie cinétique dans le référentiel héliocentriqueÂh. b)Le moment cinétique en O dans ce même référentiel. Exercice 2 :Oscillations d’une tige dans un cylindre _____________________________________________________________________________________Deux points matériels A et B de même masse m sont reliés par une O tige rigide de masse négligeable. L’ensemble glisse sans frottement dans une gouttière ayant la forme d’une demi-circonférence de centre O et de rayon r située dans un plan vertical et telle que B 2π AOB =. La position du système est repérée par l’angleq. G 3 Déterminez l’expression de la période des petites oscillations de laA tige autour de la position d’équilibre stable. Exercice 3: Etude d’un système isolé dans le référentiel barycentrique, particule fictive _____________________________________________________________________________________Deux points matériels M1M et2, de même masse m, astreints à M1 M2glisser sans frottement le long d’un axe horizontal Ox fixe dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, sont liés par un ressort x1x2x O sans masse (constante de raideur k, longueur au reposℓ). 0 ées parOM xetOMur du ressort à un instant t Les positions de M1et M2sont repér21 1x2. La longue est notéeℓ(t)1x (t)%x (t). 2 1 = . A l’instant t = 0, v1(0) = v2(0) = 0, x1(0) = 0, x2(0)ℓ0+ D On appelle S le système constitué des deux points M1et M2. 1)Montrez que le référentiel du laboratoire se confond avec le référentiel barycentrique. 2)Déterminez l’expression de l’énergie cinétique de S dans le référentiel du laboratoire en fonction ɺ de m etℓ. 3)Déterminez l’expression de l’énergie mécanique de S dans R. 4)Déduisez-en l’expression deℓ(t)puis celles de x1(t) et x2(t). -1/4-
Lycée BrizeuxMECANIQUE Année2009-2010 TD ME7PCSI B _____________________________________________________________________________________ Exercice 4: Equation de trajectoire _____________________________________________________________________________________On étudie le mouvement d’un point M de masse m dans un référentiel R galiléen. Le point M est soumis à l’attraction gravitationnelle d’une masse m0fixe dans R, située en O, origine des coordonnées. 1-Montrer que M est animé d’un mouvement plan et que son moment cinétique se conserve au cours du temps. On repère pour la suite le point M par ses coordonnées polaires r etθ. 2 ɺ 2-Exprimer la norme du moment cinétique de M en fonction de la constante des aires C =rθ. 3-Justifier que l’énergie mécanique EMde M se conserve au cours du mouvement. 4-Donner l’expression de EMen fonction de la constante de gravitation universelle G, de m, m0, r,rɺet C. 1 On pose :u =. r 2 d u 5-= cste .Etablir l’équation différentielle du mouvement de M et la mettre sous la forme :+ u 2 θ 6-Déterminer l’expression de u en fonction deθ. 7-En déduire que la trajectoire de M est une conique. Exercice 5: Satellite en orbite autour de la Terre _____________________________________________________________________________________On veut mettre un satellite en orbite à partir d’un point S0situé à la distance r0du centre O de la Terre. On lui communique une vitesse initialevperpendiculaire au rayon vecteurr1OS. 0 00 Déterminer en fonction de G, constante de gravitation, MTR etTet rayon de la Terre et r masse0l’intensité de la vitesse pour que : 1-L’orbite soit circulaire 2-L’orbite soit elliptique, le périgée P se trouvant sur la Terre v0 O P S03-Le satellite échappe juste à l’attraction de la Terre Exercice 6: Grand axe et excentricité de l’ellipse décrite par la comète de Halley _____________________________________________________________________________________Dans le référentiel de Copernic, la comète de Halley décrit sa trajectoire autour du Soleil avec une 7 période de 76 ans. La distance entre le périhélie et le centre du Soleil est de 9.10km. 7 La trajectoire de la Terre est assimilée dans ce référentiel à un cercle de rayon R = 15.10km. 1-Calculer la longueur du demi-grand axe de l’orbite de la comète. 2-Calculer l’excentricité de l’ellipse. -2/4-
Lycée BrizeuxMECANIQUE Année2009-2010 PCSI BTD ME7 _____________________________________________________________________________________ Exercice 7: Changement d’orbite, ellipse de transfert _____________________________________________________________________________________La Terrre est supposée à symétrie sphérique de centre C et de rayon r0de masse m et0. On donne r0 = 24 -11 6400 km, m0= 6.10kg et G = 6,67.10USI. 1)Un satellite de masse m décrit une orbite circulaire rasante de rayon r0autour de la Terre. Quelles sont les expressions de la vitesse v0et de la période T0du satellite ? Calculez leur valeur numérique. 2)Un satellite géostationnaire décrit une orbite circulaire dans le plan de l’équateur et semble fixe pour un observateur terrestre. Déterminez le rayon r1 de son orbite et calculez sa vitesse v1. On veut faire passer un satellite d’une orbite circulaire rasante de rayon r0= CP à l’orbite géostationnaire de rayon r1 =CA. Un moteur auxiliaire permet de modifier la vitesse du satellite aux point P et A. Le satellite parcourt alors entre les deux orbites une demi-ellipse, dite de transfert de périgée P et d’apogée A. 3)Déterminez littéralement puis numériquement les vitesses v’0et v’1du satellite en P et A sur C P A sa trajectoire elliptique. 4)Calculez la durée du transfert de P à A. Exercice 8: Lancement d’un satellite _____________________________________________________________________________________ Un satellite terrestre de masse m est lancé d’une base située en M0à la latitudel. Quelle énergieDE faut-il lui fournir pour le placer sur une orbite M0circulaire de rayon r ? On exprimeraDE en fonction de G, m, MT, R T RT, r,l etw vitesseangulaire de rotation de la Terre dans le référentiel géocentrique. O
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Lycée BrizeuxMECANIQUE Année2009-2010 PCSI BTD ME7 _____________________________________________________________________________________ Quelques résultats : 1 mm2 212 2 T L E#1 wm#mWa Exercice 1 : 2-a)(C!ℓ(T L!T#L Rh 2 m#m 2 T L 2r Exercice 2 :T12pg 12121 2 ɺ ɺ Exercice 3 : 1) (v) =0 ;2) (E)G RlaboC Rlabo=mℓE; 3)m= mℓ+ k(ℓ%ℓ0!; 4 42 2k D2k D2k 4)ℓ(t)1ℓ#t ;D cosx (t)11%(t); xcos t1ℓ#1#cos t 001 2 m 2m 2m GM GMR GM T TT T Exercice 5 : 1)v1; 2)v12 .; 3)v120 00 r rR rr 0 0T 00 9 Exercice 6 : 1) a = 2,69.10km ; e = 0,98 2 1 1 3 GmT 0 12 Exercice 7 : 1) v0= ;2) r1G ,= m 2 0 r2p 0 1 3 2 1 1T(r0#r1! 3)v(r) =2Gm%; 4)1 p0 r r#r2 8Gm 0 10 1 1m2 2 Exercice 8 :Dcos- RE = GMlTm%(T! R 2r2 T
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