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Français

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Feuille d'exercices 13. Fonctions d'une variable réelle : limite et continuité. Généralités sur la notion de limite. Exercice 1. Montrer en utilisant la définition de la limite que pour tout a ≥ 0 on a lim x?a ln(x) = ln a. Même question avec la fonction exponentielle. Exercice 2. Fonctions k-lipschitziennes. Soit f ? RI et k > 0. On dit que f est k-lipschitzienne lorsque : ?(x, y) ? I2, |f(x)? f(y)| ≤ k|x? y|. Une fonction f est dite lipschitzienne si il existe k > 0 tel que f est k-lipschitzienne. 1. Donner des exemples de fonctions non nulles lipschitziennes. 2. Soit A > 0 et I = [A,+∞[. Montrer que la fonction x 7? √ x définie sur I est 1 2 √ A -lipschitzienne. 3. Montrer que l'ensemble des fonctions lipschitziennes est un R-espace vectoriel. 4. Montrer que si f est k-lipschitzienne sur I et g est k?-lipschitzienne sur J ? f(I), alors g ? f est kk? lipschtizienne. 5. Montrer que x 7? x2 n'est pas lipschitzienne sur R.

propriété en défaut

s? ?

point fixe

intervalle ouvert

finitude de s?

éventuelles solutions

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Point fixe Intervalle (mathématiques)

PCSI A2011-2012

Mathématiques

Lycée Brizeux

Feuille d’exercices 13.Fonctions d’une variable réelle : limite et continuité.

Généralités sur la notion de limite.

Exercice 1.Montrer en utilisant la déﬁnition de la limite que pour touta≥0on alim ln(x) = lna. x→a Mme question avec la fonction exponentielle.

Exercice 2.Fonctionsk-lipschitziennes. I Soitf∈Retk >0. On dit quefestk-lipschitziennelorsque :

2 ∀(x, y)∈I ,|f(x)−f(y)| ≤k|x−y|.

Une fonctionfest dite lipschitzienne si il existek >0tel quefestk-lipschitzienne. 1. Donnerdes exemples de fonctions non nulles lipschitziennes. √ 1 2. SoitA >0etI= [A,+∞[. Montrer que la fonctionx7→xdéﬁnie surIest -lipschitzienne. √ 2A 3. Montrerque l’ensemble des fonctions lipschitziennes est unR-espace vectoriel. 0 0 4. Montrerque sifestk-lipschitzienne surIetgestk-lipschitzienne surJ⊃f(I), alorsg◦festkklipschtizienne. 2 5. Montrerquex7→xn’est pas lipschitzienne surR.

Exercice 3.Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en+∞.

¯ Exercice 4.Soitfune fonction déﬁnie sur un intervalleIeta∈I. On suppose quelimf(x)>0(fadmet une x→a limite strictement positive ena). Montrer qu’il existem >0etδ >0tel que pour toutx∈]a−δ, a+δ[∩Ion af(x)> m(autrement ditfest minorée au voisinage deapar un réel strictement positif).

  1 E x+ ∗2 Exercice 5.Pour toutx∈R, on posef(x) =. x Déterminer (si elles existent!) les limiteslimf(x),limf(x)etlimf(x). 1 x→+∞x→0 x→ 2

Exercice 6.Soitf: [a, b]→Rune fonction croissante (a < b). Pour toutε >0, on considère l’ensembleSεsuivant :   Sε=c∈]a, b[,tel queε <limf−limf . +− c c 0 1. Soientεetεdeux réels strictement positifs. A quelle condition a-t-onSε⊂Sε? 0 2. Montrerfest continue sur]a, b[si et seulement si pour tout réelε >0, l’ensembleSεest vide. ∗ 3. Soitε >0ﬁxé. On se propose de montrer queSεest un ensemble ﬁni. Soitp∈N. On suppose queSεcontient au moinsppointsc1< c2< ... < cp. (a) Onconsidèrep+ 1pointsti(avec0≤i≤p) tels quet0=a,tp=betti∈]ci, ci+1[. Montrer l’inégalité : f(ti+1)−f(ti)> ε. (b) Endéduire quef(b)−f(a)> pε. (c) Conclureà la ﬁnitude deSε. Remarque : vous venez de démontrer que l’ensemble des points de discontinuité d’une fonction croissante d’un intervalle fermé deRest au plus dénombrable.

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