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Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Etude des suites récurrentes Nous donnons ici des méthodes pour l'étude d'une suite définie par une relation de récurrence du type un+1 = f(un). On parle aussi de système dynamique discret. On étudie ici la convergence de la suite (un)n?N. 1 Généralités 1.1 Position du problème On considère une fonction f : I ? R et une suite (un)n?N définie par la relation de récurrence : { u0 ? I ?n ? N, un+1 = f(un) La première chose à faire est de s'assurer que la suite est bien définie. Par exemple, on peut chercher une partie D ? I telle que f(D) ? D ; on dit que D est une partie stable pour f . La suite (un)n?N est alors uniquement déterminée par u0 ? D. 1.2 Représentation graphique On peut visualiser le comportement de la suite (un)n≥0 en représentant ses valeurs. Dans un repère orthonormé direct : ? on place la courbe d'équation y = f(x) et la droite d'équation y = x ; ? le point (u0, 0) puis M0(u0, f(u0)) = (u0, u1). ? la droite horizontale qui passe par M0 coupe la droite d'équation y = x en (u1, u1).

repère orthonormé direct

point fixe

u0 ≥

u1 ≤

unique point

u0 ?

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Point fixe

PCSI A2011-2012

Mathématiques

Étude des suites récurrentes réellesun+1=f(un)

Lycée Brizeux

Table des matières 1 Généralités1 1.1 Positiondu problème .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.2 Représentationgraphique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.3 Pointﬁxe .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.4 Monotoniede la suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 2 Fonctionsmonotones 4 2.1 Lafonctionf4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .est croissante 2.2 Lafonctionf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .est décroissante4 3 Utilisationdes accroissements ﬁnis5 Nous donnons ici des méthodes pour l’étude d’une suite déﬁnie par une relation de récurrence du type un+1=f(un) ` oùfdésigne une fonction de la variable réelle. On parle aussi de système dynamique discret. L’objet n’est pas de déterminer systématiquement une expression deunen fonction dencomme on peut le faire pour les cas particuliers des suites arithmétiques ou géométriques mais d’obtenir des informations sur le comportement asymptotique de la suite. On étudie ici plus précisément la convergence de la suite(un)n∈N.

1 Généralités

1.1Positionduproblème

On considère une fonctionf:I→Ret une suite(un)n∈Ndéﬁnie par la relation de récurrence :  u0∈I ∀n∈N, un+1=f(un)

La première chose à faire est de s’assurer quela suite est bien déﬁnie. Par exemple, on peut chercher une partieD⊂Itelle quef(D)⊂D; on dit queDest une partiestablepourf. La suite(un)n∈Nest alors uniquement déterminée paru0∈D. Exemple.BLa relationun+1= ln(un)avecu0= 1ne déﬁnit pas une suite puisqueu1= ln(1) = 0etu2n’est pas déﬁni! Exemple A. √ Soit la suite déﬁnie par la relation de récurrenceun+1+= 1unavecu0≥ −1. √ On considère la fonctionfdéﬁnie parf(x) =1 +xsurI= [−1,+∞[. √ Nous avons pour tout réelx:x≥ −1⇒1 +x≥0. Doncf(I) = [0,+∞[⊂I. Puisqueu0∈Ialors pour toutn∈N,un∈I. La suite(un)n∈Nest bien déﬁnie.

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