Lycée Brizeux Lundi mai PCSI A B
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Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Lundi 9 mai 2011 PCSI A & B Concours Blanc Épreuve de Physique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est interdit. – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Si au cours de l'épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, vous le signale- rez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Étude d'un appareil photographique Ce problème aborde le fonctionnement de quelques éléments d'un appareil photographique dans trois parties indépendantes. La première traite de la constitution optique d'un téléobjectif, la seconde détaille le fonctionnement d'un flash électronique et la dernière propose une modélisation mécanique d'un accéléromètre intervenant dans le dispositif de stabilisation de l'image. Les résultats des applications numériques seront présentés avec deux chiffres significatifs. A Étude d'un téléobjectif Un téléobjectif est un objectif de longue focale, c'est-à-dire un objectif dont la focale est supé- rieure à la diagonale de la pellicule pour un appareil photographique argentique ou de la matrice de cellules photosensibles dans le cas d'un appareil photographique numérique.
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Lycée Brizeux Lundi 9 mai 2011 PCSI A & B Concours Blanc Épreuve de Physique – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est interdit. – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Si au cours de l'épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, vous le signale- rez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Étude d'un appareil photographique Ce problème aborde le fonctionnement de quelques éléments d'un appareil photographique dans trois parties indépendantes. La première traite de la constitution optique d'un téléobjectif, la seconde détaille le fonctionnement d'un flash électronique et la dernière propose une modélisation mécanique d'un accéléromètre intervenant dans le dispositif de stabilisation de l'image. Les résultats des applications numériques seront présentés avec deux chiffres significatifs. A Étude d'un téléobjectif Un téléobjectif est un objectif de longue focale, c'est-à-dire un objectif dont la focale est supé- rieure à la diagonale de la pellicule pour un appareil photographique argentique ou de la matrice de cellules photosensibles dans le cas d'un appareil photographique numérique.
- appareil photographique
- pellicule
- déplacement de la masse sismique
- axe optique
- pés d'accéléromètres pour la stabilisation d'image
- hauteur de l'image de la tour eiffel sur la pellicule
- réalité de la longueur d'onde ? de la radiation lumineuse
Lyc´eeBrizeux
Concours blanc 2011 EpreuvedeMathe´matiques
Mardi 10 mai 2011 Dure´edel’e´preuve:4heures
Classes de PCSI
L’utilisationd’unecalculatriceoud’unt´el´ephoneportableestinterdite. ? ? ? NB:Lecandidatattacheralaplusgrandeimportance`alaclarte´,a`lapr´ecisionet`alaconcisiondelar´edaction.Si uncandidatestamen´e`arepe´rercequipeutluisemblerˆetreuneerreurd’e´nonce´,illesignalerasursacopieetdevra poursuivresacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilae´te´amene´a`prendre. ? ? ? Cesujetestcompose´dedeuxprobl`emesind´ependantsquevoustraiterezsurDEUXCOPIES DISTINCTESquevousrendrezse´par´ement. ? ? ?
PROBLEME I. Autour de l’exponentielle de matrices
L’existenced’unefonctionexponentielled´efiniesurcertainsensemblesdematricesadescons´equencesfondamentales dansdenombreuxdomainesdesmath´ematiques(syste`mesdiffe´rentiels,ge´ome´trie,th´eoriedesgroupes...)etdela physique(automatique,me´caniquequantique,...).L’objetdeceproble`meestdefaireconnaissanceaveccettefonction au travers de deux exemples. Les partiesA,BetCapartietesmaisle´epdnnameneitdnttonalotsDesr´esulutiliselatitnodsatstteonspaesiertB etC. On rappelle que, sipest un entier naturel non nul, la notationMp(R)ireccsra´reedso’rdreenesr´eprtamsedecapse’let pe´rs.sleonaLitaton`acoefficientGLp(R)esbm’lnemstaeledscarricesd’or´eeerdresd´neigpqui sontinversibles; on rappelle queGLp(R)est un groupe pour la loi de multiplication des matrices.
Questionpre´liminaire Pour tout entiern∈Nt´miale`rd’oreve´dpoleemepiltn)neltaoisnrte´omansder(sppel,ranau voisinage de0de la fonctionexponentielle(re´elle).
PARTIE A 2 Soitpun entier naturel non nul. Une matriceAdeMp(R)est ditenilpotente d’indice troiseifierv´leelsiA6= 0 3 etA= 0. Dans cette partie,Ad´estairecedgiennumeMp(R), nilpotente d’indice trois etIrtcialamtntiieedordr´ed’ep. Pourtoutre´elt, on noteE(t)la matrice 2 t 2 E(t) =I+tA+A . 2 1.V´erifierlarelation 2 ∀(s, t)∈RE(s)E(t) =E(s+t).
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n 2.End´eduireque(E(t)) =E(nt)pourt∈Retn∈N. 3. Montrerque la matriceE(t)est inversible. Quel est son inverse? 4.Onconsid`erel’applicationE:t7→E(t), deRversGLp(R). (a)Quellequalite´alge´briquea-t-onpourl’applicationEionelaquestseluatdtuauvud´rA.1 ? 2 (b) Montrerque la famille(I, A, A)est libre dans l’espace vectorielMp(R). (c)End´eduirequeEest injective. 0 1 1 5. Danscette question,p= 3etA0 1= 0. 0 0 0 3 (a) Onnoteϕl’endomorphisme deRnemeuqinonacei´ocsstaatamal`irecA. x 3 i. Pourtout~u=y∈R, donner le vecteurϕ(~u). z ii.De´terminerlerangdeϕpuis la dimension dekerϕ. Donner une base dekerϕ. iii.D´eterminerl’endomorphismeϕ◦ϕ◦ϕ. (b) Expliciterla matriceE(t)sous la forme d’un tableau matriciel pourt∈R.
PARTIE B 4 −→−→2 Dans cette partie, on noteB0= (e1, e2)la base canonique deR. Soit la matriceA= 1 2 On notefl’endomorphisme deRiqonmeueielsquuiantc.e´satnicos
−6 appartenant`aM2(R). −1
6. Justifierquefest une application bijective. 2 7. MontrerqueF= ker(f−2 IdR)etG= ker(f−IdR)eirosellpus,e´lpntmereaiansdssonevtctisedxordtueR. 2 2 −→−→ Pre´ciserunvecteurdirecteurudeF, et un vecteur directeurvdeG. −→−→−→−→ 8. Exprimer(sans calculs) les vecteursf(u)etf(v)en fonction deuetvpuis donner la matrice de l’endomor-2→−→− phismefdeRdans la baseB= (vu ,). 9.End´eduirequ’ilexisteunematricePinversible et une matriceDd’es´erreueddrortuot(elaacxuedseagondi)x −1−1 telles queA=P DP. ExpliciterP,DetP. n nn−1n 10. ExpliciterDpour tout entier naturelnemD´.noitaleralrertnoA=P DPd´ed.Endeisnorpse’lxeiuerA sous forme de tableau matriciel.
PARTIE C t esit >0 ∗x Soitt∈R. On poseI= [0, t]sit >0etI= [t,0]sit <0te´osnp.OenemalegMt= max{e ,x∈I}=. 1sit <0 11. Pourtout entiern∈Nalofcnitno,coonidnsre`efnniepourtout´dfiex∈Ipar n k X x t t−x fn(x) =e−e k! k=0 0 (a) Montrerf(x). r quefnsee´dtavireeblaltclecun n+1 |t| (b)Enutilisantl’in´egalit´edesaccroissementsfinismontrerque|fn(t)| ≤Mt. n! 12. Enconclure que pour toutt∈Rnous avons la limite : ! n X k t t e= lim. n→+∞ k! k=0
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PARTIE D On reprend les notations de la partieBeeloP.otru´rtut, pour tout entier natureln, on noteEn(t)d´efinielmatairec n k Pt an(t)bn(t) k parEn(t) =Aircretacmateictr.e´nOlsfaseuoroemEn(t) =. k!cn(t)dn(t) k=0 13. Expliciter(sous forme de sommes) les coefficientsan(t),bn(t),cn(t),dn(t). a(t)b(t) 14. Pourtoutt∈R, on noteE(t)la matriceE(t) =, aveca(t) =liman(t), c(t)d(t)n→+∞ b(tlim) =bn(t), etc. Expliciter la matriceE(t). n→+∞ 2t t R´eponsepartielle:onobtienta(t) = 3e−2e. 15. Montrerqu’il existe deux matricesQetRarr´(cdere)tuxsdeerd’oelleeuqs 2t t ∀t∈RE(t) =e Q+e R et expliciterQetR. 2 22 16. Calculer les matricesQ,R,QR,RQ. Que peut-on dire des endomorphismesqetrdeRcanoniquement associ´esauxmatricesQetR(esdroitesnoesnetulisinaltisecr´apepr´laerrruopnoFetGde la questionB.1) ? 17.End´eduireque 2 ∀(s, t)∈RE(s)E(t) =E(s+t). n−1 Que dire de(E(t))pourn∈N? de(E(t))? L’applicationE:t7→E(t), deRversM2(R)?, est-elle injective
PROBLEME II. Analyse
? ? ?
Danstoutceprobl`eme,onnoterashla fonction sinus hyperbolique,chla fonction cosinus hyperbolique etthla fonction tangente hyperbolique.
´ PARTIE A. Etude d’une fonction ?1 Soitf´efiniondonctlafreiusRparf(x) =xsh. x ´ 1.Etudierlaparite´def. 2.(a)Rappelerun´equivalentdelafonctionshmitesdeireleslietdne´udnee0fen+∞et en−∞. (b)De´terminerlalimitedefen0. ? ? 3. Justifierquefrivatd´eesruselbRet que pour toutx∈R, 1 11 0 f(xth) =−ch. x xx ? 4. Montrerque, pour toutX∈R,th(X)< X. + 5.Ende´duireletableaudevariationsdef. sh(X) 6.Donnerlede´veloppementlimite´a`l’ordre4en0de la fonctionX7→. X 7.Ende´duirequ’auvoisinagede+∞et de−∞, froemlefaadmeppoleve´dnutemedqutitompsytaen a1a2a3a41 f(x) =a0+ + + + +o( ), 2 3 44 x→±∞ x xx xx o`ua0,∙ ∙ ∙, a4nqr´eelsquel’onp´rcesire.aosictn ?1 8. Montrerque la fonctionx∈R7→f( )∈Rse prolonge surRnuneeitnoofcneneieuoocn´tntF,puis prouver x queFerivstd´eruselbaR.
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