Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année PCSI B Chapitre EC5
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Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE , Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EC5 _____________________________________________________________________________________ -1- FILTRAGE LINEAIRE I- INTRODUCTION I-1- Notion de filtre Le générateur délivre une tension sinusoïdale de la forme : ve(t) = Vecos(?t + ?e) avec Ve fixé. En régime sinusoïdal forcé, la tension aux bornes de la résistance est de la forme : vS(t) = VScos(?t + ?S). Observations : Lorsque l'on fait varier la fréquence du signal d'entrée délivré par le générateur, l'amplitude du son émis par le haut parleur varie. ? L'amplitude VS du signal de sortie dépend de la fréquence du signal d'entrée : VS(?). Remarque : Nous avions déjà observé ce phénomène lors de l'étude de la résonance d'intensité du circuit R-L-C série (la tension aux bornes de R est en effet proportionnelle à l'intensité dans le circuit).
Voir
Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE , Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EC5 _____________________________________________________________________________________ -1- FILTRAGE LINEAIRE I- INTRODUCTION I-1- Notion de filtre Le générateur délivre une tension sinusoïdale de la forme : ve(t) = Vecos(?t + ?e) avec Ve fixé. En régime sinusoïdal forcé, la tension aux bornes de la résistance est de la forme : vS(t) = VScos(?t + ?S). Observations : Lorsque l'on fait varier la fréquence du signal d'entrée délivré par le générateur, l'amplitude du son émis par le haut parleur varie. ? L'amplitude VS du signal de sortie dépend de la fréquence du signal d'entrée : VS(?). Remarque : Nous avions déjà observé ce phénomène lors de l'étude de la résonance d'intensité du circuit R-L-C série (la tension aux bornes de R est en effet proportionnelle à l'intensité dans le circuit).
- échelle linéaire
- équation différentielle régissant l'évolution temporelle du circuit
- filtre
- fréquence
- circuit étudié
- dt dt
- tension de sortie en régime établi
Lycée Brizeux
ELECTROCINETIQUE
,
Année 2009-2010
PCSI B
Chapitre EC5
_____________________________________________________________________________________
-1-
FILTRAGE LINEAIRE
I-
INTRODUCTION
I-1- Notion de filtre
Le générateur délivre une tension sinusoïdale de la forme : ve(t) = V
e
cos(
ϖ
t +
ϕ
e
) avec V
e
fixé.
En régime sinusoïdal forcé, la tension aux bornes de la résistance est de la forme : v
S
(t) = V
S
cos(
ϖ
t +
ϕ
S
).
Observations :
Lorsque l’on fait varier la fréquence du signal d’entrée délivré par le générateur, l’amplitude du son émis
par le haut parleur varie.
⇒
L’amplitude V
S
du signal de sortie dépend de la fréquence du signal d’entrée : V
S
(
ϖ
).
Remarque : Nous avions déjà observé ce phénomène lors
de l’étude de la résonance d’intensité du circuit R-L-C
série
(la
tension
aux
bornes
de
R
est
en
effet
proportionnelle à l’intensité dans le circuit).
On considère qu’on ne retrouve en sortie que les
fréquences qui appartiennent
à la bande passante du
montage. Les autres sont suffisamment atténuées pour que
l’on puisse considérer qu’elles sont éliminées.
Ce montage constitue donc un filtre.
Exemples :
•
Le signal d’entrée est une sinusoïde bruitée (sommation de deux sinusoïdes)
•
Le signal d’entrée est un signal créneau
L
ve(t)
R
C
v
S
(t)
montage
suiveur
v
S
(t)
Haut parleur
impédance de
quelques Ohms
V
S
ϖ
ϖ
0
v
e
t
v
S
t
v
e
t
v
S
t
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Année 2009-2010
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-2-
I-2- Fonction de transfert en tension
La fonction de transfert en tension d’un quadripôle est définie par le rapport des tensions complexes de
sortie et d’entrée
:
(
29
(
29
(
29
S
e
v
j
H
j
v
j
ϖ
ϖ =
ϖ
La fonction de transfert peut donc s’écrire sous la forme :
(
29
(
29
S
e
j
S
e
V
H
j
e
V
ϕ - ϕ
ϖ =
•
Son module correspond donc au rapport des amplitudes des tensions de sortie et d’entrée ; il est
appelé « gain » :
(
29
(
29
S
e
V
H
j
H
V
ϖ
=
ϖ =
.
Dans le cas où le signal de sortie est amplifié par rapport au signal d’entrée : H > 1
Dans le cas où le signal de sortie est atténué par rapport au signal d’entrée : H < 1
Si le signal est éliminé : H = 0
•
Son argument représente le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d’entrée :
(
29
(
29
S
e
arg H j
ϖ
= ϕ - ϕ
.
I-3- Diagramme de Bode
a-
Echelle logarithmique
L’étude d’un filtre consiste à étudier la dépendance de sa fonction de transfert avec la fréquence (ou la
pulsation) :
(
29
H
ϖ
et
(
29
arg H
ϖ
.
Dans le cadre de l’approximation des régimes quasi-stationnaires, les fréquences peuvent varier de la
fréquence nulle (continu) jusqu’au Mégahertz.
•
Si on représentait l’allure des courbes
(
29
H
ω
et
(
29
argH
ω
sur une échelle linéaire, les graphes
seraient illisibles :
•
On utilise alors une échelle logarithmique permettant de dilater la partie basse fréquence.
On appelle « décade »
un intervalle de fréquences sur lequel la fréquence est multipliée par 10.
H(j
ϖ
)
v
e
v
s
f
logf
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-3-
b-
Diagramme de Bode
Afin d’obtenir des diagrammes asymptotiques linéaires, on n’étudie pas le gain en fonction de la
fréquence mais le gain en décibel noté G
dB
tel que G
dB
= 20log
H
•
Si le signal est amplifié : G
dB
= ……………….
•
Si le signal est atténué : G
dB
= ……………….
•
Si le signal est éliminé : G
dB
= ……………….
•
Si le signal est transmis sans atténuation : G
dB
= ……………….
Le diagramme de Bode du filtre est alors constitué par l’ensemble de deux graphiques :
•
le gain en décibel en fonction de log
ϖ
(ou log f)
•
le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d’entrée en fonction de log
ϖ
(ou log f)
I-4- Stabilité
Un système est dit stable si la tension de sortie ne diverge pas, c’est-à-dire si elle garde une valeur finie
quelques soient la tension d’entrée et les conditions initiales.
Nous n’étudions dans ce chapitre que des filtres linéaires ; v
S
(t) et v
e
(t) sont donc reliés par une équation
différentielle linéaire du type :
2
2
S
s
e
e
2
1
0
s
2
1
0
e
2
2
d v
dv
d v
dv
D
+ D
+ D v = N
+ N
+ N v
dt
dt
dt
dt
Nous avons déjà vu dans le chapitre EC3 sur les régimes transitoires que tous les coefficients de
l’équation sans second membre (D
2
, D
1
et D
0
) doivent être de même signe pour que la solution générale
de cette E.S.S.M. s’annule à la fin du régime transitoire. Si ce n’est pas le cas, cette solution diverge ; le
système est instable.
Dans le cas où la solution de l’E.S.S.M. s’atténue au cours du régime transitoire, la tension de sortie en
régime établi est sinusoïdale (solution particulière de même forme mathématique que la tension d’entrée).
On peut alors raisonner en notation complexe.
L’équation différentielle avec second membre devient donc :
2
2
2
s
1
s
0
s
2
e
1
e
0
e
-D
ω
v + D j
ω
v + D v = -N
ω
v + N j
ω
v + N v
On obtient alors :
2
s
2
1
0
2
e
2
1
0
v
-N
ω
+ N j
ω
+ N
= H =
v
-D
ω
+ D j
ω
+ D
ou
(
29
(
29
(
29
(
29
2
2
2
0
2
1
s m
2
2
2
e m
0
2
1
N - N
ω
+ N
ω
V
= H =
V
D - D
ω
+ D
ω
Pour que le système soit stable, il faut que l’amplitude V
sm
de cette tension soit finie.
Il faut donc que :
•
l’ordre du dénominateur de la fonction de transfert soit supérieur à l’ordre du numérateur (sinon
sm
ω
ω
lim V
= lim
→ ∞
→ ∞
H(
ϖ
)V
em
→
∞
).
•
le dénominateur ne s’annule pas. C’est le cas (mais nous le démontrerons pas) si tous les coefficients
de l’équation homogène sont de même signe.
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-4-
Pour qu’un montage électrique soit stable, il faut :
- que l’ordre du numérateur de la fonction de transfert permettant d’étudier le comportement en fréquence
du circuit soit inférieur à l’ordre du dénominateur ;
- que
tous les coefficients de l’équation homogène associée à l’équation différentielle régissant
l’évolution temporelle du circuit soient de même signe.
II-
UN EXEMPLE DE FILTRE PASSIF DU SECOND ORDRE : LE FILTRE R-L-C
PASSE-BANDE
L’étude suivante sera menée sur une feuille à part.
II-1- Détermination rapide de la nature du filtre
II-2- Fonction de transfert
II-3- Diagramme de Bode
II-4- Bande passante
II-5- Ordre du filtre
II-6- Caractères intégrateur et dérivateur
III-
UN EXEMPLE DE FILTRE PASSIF DU PREMIER ORDRE : LE FILTRE R-C
PASSE-BAS
Même étude que dans le paragraphe précédent menée sur une feuille à part.
L
ve(t)
R
C
v
S
(t)
v
e
(t)
v
S
(t)
R
C
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-5-
IV-
FORMES CANONIQUES DE FONCTIONS DE TRANSFERT COURANTES
La forme canonique d’une fonction de transfert est une expression de cette fonction indépendante de la
nature des composants du circuit.
On pose
0
ϖ
une pulsation caractéristique du montage et x
=
0
ϖ
ϖ
la pulsation réduite.
H
0
est une constante dépendant du circuit étudié.
Q représente son facteur de qualité ; son expression dépend du circuit étudié.
IV-1- Filtres du premier ordre
v
e
(t) et v
s
(t) sont reliés par une équation différentielle du premier ordre.
La fonction de transfert est de la forme :
N(x)
H
1
jx
=
+
avec N(x) une fonction de x.
Nature du
filtre
Forme canonique
Passe-bas du
premier ordre
0
H
H
1
jx
=
+
avec H
0
et
ϖ
0
qui dépendent du circuit étudié
Passe-haut du
premier ordre
0
jx
H
H
1
jx
=
+
avec H
0
et
ϖ
0
qui dépendent du circuit étudié
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-6-
IV-2- Filtres du second ordre
v
e
(t) et v
s
(t) sont reliés par une équation différentielle du second ordre.
La fonction de transfert est de la forme :
0
2
H N(x)
H
x
1
j
x
Q
=
+
-
avec N(x) une fonction de x.
Nature du
filtre
Forme canonique
Passe-bas du
second ordre
0
2
H
H
x
1
j
x
Q
=
+
-
avec H
0
, Q et
ϖ
0
qui dépendent du circuit étudié
Passe-bande
du second
ordre
0
H
H
1
1
jQ
x
x
=
+
-
avec H
0
, Q et
ϖ
0
qui dépendent du circuit étudié
Passe-haut
du second
ordre
2
0
2
H x
H
x
1
j
x
Q
-
=
+
-
avec H
0
, Q et
ϖ
0
qui dépendent du circuit étudié
Réjecteur du
second ordre
(
29
2
0
2
H
1
x
H
x
1
j
x
Q
-
=
+
-
avec H
0
, Q et
ϖ
0
qui dépendent du circuit étudié
