Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année PCSI B Chapitre EC4
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Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EC4 _____________________________________________________________________________________ -1- CIRCUITS LINEAIRES EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE On s'intéresse dans ce chapitre à des circuits linéaires, c'est-à-dire des circuits dans lesquels les différentes tensions et intensités sont reliées par des équations différentielles linéaires. Ces circuits seront alimentés par un générateur de tension (ou de courant) sinusoïdale. La fréquence imposée par le générateur sera suffisamment faible pour que l'A.R.Q.S. puisse être appliquée. I- REGIMES TRANSITOIRE ET ETABLI Observation : • Pour t < 0 : uC(t) = 0 • Pour t > 0, uC(t) obéit à l'équation différentielle : 2 C C C2 d u duR 1 e(t) u dt L dt LC LC + + = uC(t) est donc la somme de deux solutions : uC(t) = uC1(t) +uC2(t) avec : - uC1(t) : solution générale de l'équation sans second membre (correspond aux solutions
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Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EC4 _____________________________________________________________________________________ -1- CIRCUITS LINEAIRES EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE On s'intéresse dans ce chapitre à des circuits linéaires, c'est-à-dire des circuits dans lesquels les différentes tensions et intensités sont reliées par des équations différentielles linéaires. Ces circuits seront alimentés par un générateur de tension (ou de courant) sinusoïdale. La fréquence imposée par le générateur sera suffisamment faible pour que l'A.R.Q.S. puisse être appliquée. I- REGIMES TRANSITOIRE ET ETABLI Observation : • Pour t < 0 : uC(t) = 0 • Pour t > 0, uC(t) obéit à l'équation différentielle : 2 C C C2 d u duR 1 e(t) u dt L dt LC LC + + = uC(t) est donc la somme de deux solutions : uC(t) = uC1(t) +uC2(t) avec : - uC1(t) : solution générale de l'équation sans second membre (correspond aux solutions
- tension uc
- circuits linéaires
- grandeur sinusoïdale
- lc lc
- régime
- dt rc
- module de la tension complexe - ?
- ue? avec ju ue
Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EC4 _____________________________________________________________________________________ CIRCUITS LINEAIRES EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE On s’intéresse dans ce chapitre à des circuits linéaires, c’est-à-dire des circuits dans lesquels les différentes tensions et intensités sont reliées par des équations différentielles linéaires. Ces circuits seront alimentés par un générateur de tension (ou de courant) sinusoïdale. La fréquence imposée par le générateur sera suffisamment faible pour que l’A.R.Q.S. puisse être appliquée. I-REGIMES TRANSITOIRE ET ETABLI Observation : i i A t = 0, on ouvre R L R L l’interrupteur K C uC K C uC K e(t) = Ecos( t) e(t) = Ecos( t) ·Pour t < 0 : uC(t) = 0 2 d u R du 1 e(t) C C ·Pour t > 0, uC(t) obéit à l’équation différentielle :# #u12 C dt L dt LC LC uC(t) est donc la somme de deux solutions : uC(t) = uC1(t) +uC2(t) avec : -uC1solution générale de l’équation sans second membre (correspond aux solutions générales(t) : déterminées dans le paragraphe IV- du chapitre EC3). Cette solution s’amortit au cours du temps. Si on prend R = 0W, la solution uC1(t) est pseudopériodique. La résistance du circuit n’est cependant pas nulle car on ne peut pas s’affranchir de la résistance interne de la bobine qui est de l’ordre de quelques Ohms. -uC2(t) : solution particulière de l’équation avec second membre (même forme mathématique que le second membre donc une sinusoïde de même pulsation que le générateur ici) : uC2(t) = UCcos(wt+jC). C’est la solution qui subsiste en régime établi. uCt On étudiera dans ce chapitre le comportement des circuits en régime établi (une fois le régime transitoire achevé).Ce régime établi sinusoïdal est appelé régime sinusoïdal forcé.
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Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EC4 _____________________________________________________________________________________ II-LE REGIME SINUSOIDAL FORCE II-1- Grandeur sinusoïdale u(t)
t
On considère une tension u(t) sinusoïdale. u(t) est donc de la forme : u(t) = Ucos(wt+j)
avec : ·U = amplitude en Volt 2π-1 ·ω= 2π: pulsation en s où T représente la période du signal et f sa fréquencef = T ·j: phase à l’origine sans dimension II-2- Régime sinusoïdal forcé Le générateur délivre un courant sinusoïdal dans le circuit, forçant ainsi (après un régime transitoire) toutes les grandeurs du circuit linéaire à osciller sinusoïdalement à la même fréquence que le générateur. Ce régime est aussi appelé régime sinusoïdal forcé. e(t) uC(t) Observation : e(t) = Ecos( t) uC(t) t Conclusion : La tension aux bornes du condensateur a la même pulsation que celle du générateur mais leurs amplitudes sont différentes et elles sont déphasées l’une par rapport à l’autre (décalées dans le temps).
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Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009-2010 Chapitre EC4PCSI B _____________________________________________________________________________________ II-3- Déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales de même pulsation u1(t) = U1cos(wt+j1) et u2(t) = U2cos(wt+j2) π Exemple pour le dessin :j1= etj2=π2 j=j2-j1est le déphasage de u2(t) par rapport à u1(t) : algébrique Si u2(t) est en avance par rapport à u1(t), alorsj=j2-j1> 0. Si u2(t) est en retard par rapport à u1(t), alorsj=j2-j1< 0. Remarques : π3π ·Dans l’exemple, suivant le décalage considéré, on trouvej= ouj=%. Il s’agit à 2pprès du 2 2 même angle. ·jet= 0 : tensions en phase j=p: tensions en opposition de phase II-4- Intérêt de l’étude en régime sinusoïdal forcé Observation : On fait l’acquisition sur Synchronie des tensions sinusoïdales suivantes : Fréquence f1= 1 kHz f3f= 3 kHz 5= 5 kHz f7= 7 kHz f9= 1 kHz
Amplitude U1U= 5V 5U= 5/3 = 1,67V 5U= 5/5 = 1V 7= 5/7 = 0,71V U9= 5/9 = 0,55V On en fait ensuite la somme. Le signal somme obtenu est de la forme suivante : somme Tout signal périodique peut se décomposer par série de Fourier en une somme de signaux sinusoïdaux. Le courant délivré par E.D.F. le plus utilisé est alternatif sinusoïdal de fréquence 50Hz. La tension de sortie d’un micro ou d’un ampli a une forme beaucoup plus compliquée mais elle peut se décomposer par transformée de Fourier en une somme de sinusoïdes.
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Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009-2010 Chapitre EC4PCSI B _____________________________________________________________________________________ III-REGIME SINUSOÏDAL FORCE ET NOTATION COMPLEXE En régime sinusoïdal forcé, la tension (ou l’intensité) étudiée est de la forme : u (t) = Ucos(wt +j). Lesgrandeurs U etjpeuvent pas être déterminées à l’aide des conditions initiales ne puisqu’à l’instant initial la tension n’était pas de cette forme (terme exponentiellement décroissant en plus). On a alors recours à la notation complexe pour les déterminer. III-1- Représentation complexe d’une grandeur sinusoïdale a-Exemple (à lire à la maison) On considère le circuit suivant : La tension uC(t) est solution de l’équation différentielle linéaire : R du uCtt e C e(t)uC(t) + = C dt RC RC Le générateur délivre une tension sinusoïdale, la tension uCsinusoïdale de(t) sera donc en régime forcé, même pulsation que celle du générateur.u t e t duC1 1 C1 Si e1(t) = Ecos(wt), la solution de + = (1) est du type : uC1(t) = UCcos(wt +j) dt RC RC u t e t πduC2 2π C2 Si e2(t) = Ecos(w), la solution det - (2) est du type : u+ = C2(t) = UCcos(wt +j- ) 2 dt RC RC 2 C’est-à-dire que si e2(t) = Esin(wt), alors la solution de (2) est de la forme : uC2(t) = UCsin(wt +j) duCdu uC1t uC2t e1t e2t 1 C2 Combinaison des 2 équations (1) + j(2) : + j +#+ jj = dt dt RC RC RC RC d u + ju u t + ju t e t + je t C1 C2 C1 C2 1 2 Soit, les opérations étant linéaires : + = dt RC RC du uCt e t C On a alorsu = u + jusolution de :+ = avecje tt + = e e t C C1 C21 2 dt RC RC On remarque que uC1)(t) = Re( u t C Conclusion : uC) et u t (t) = Re( u t étant solution de la même équation, on peut résoudre l’équation C C en notation complexe. C’est le cas pour toutes les équations linéaires.
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Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009-2010 Chapitre EC4PCSI B _____________________________________________________________________________________ b-Notation complexe d’une grandeur sinusoïdale La tension physique réelle correspond à la partie réelle de la tension complexe qui lui est associée (et qui n’est qu’un artifice mathématique pour résoudre les équations). Soit u(t) = Ucos(wt+j) On lui associe la grandeur complexe : u t = Ucos(ωt +j) + jUsin(ωt +j)u t )On a donc bien u(t) = Re( . j(ωt +j) soit : u(t!= Ue jjj(ωt) j(ωt)jj On peut aussi écrire := Ueu t = Ue e avec U1Ue amplitude complexe. L’étude de l’amplitude complexe permet déterminer les grandeurs U etjcaractérisant la tension u (t) = Ucos(wt +j) : - U : amplitude la tension réelle : module de la tension complexe -j:phase à l’origine de la tension réelle : argument de U.c-Dérivation en notation complexe du t j(ωt)j(ωt) Soit u t = Ue⇒= Ujωe = jωu(t!dt Dériver en notation complexe revient donc à multiplier par jw. d-Exemple d’utilisation de la notation complexe On considère le circuit suivant : La tension uC(t) est solution de l’équation différentielle linéaire : R du u t e t C C e(t) uC(t)= + C dt RC RC Le générateur délivre une tension sinusoïdale e(t) = Ecos(wt, la tension uC(t) sera donc en régime forcé, sinusoïdale de même pulsation que celle du générateur : uC(t) = UCcos(wt +jC) . Déterminons les expressions de UCet dejC.
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Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EC4 _____________________________________________________________________________________ III-2- Lois de Kirchhoff en régime sinusoïdal force Les lois Kirchhoff sont des équations linéaires. Elles deviennent donc en notation complexe : n - aveck= +1 pour un courant arrivant au nœud εi ∑ a- Loi des nœuds :k k= 0- aveck= -1 nant du noeudour un courant s’éloi k =1 n - aveck= +1 pour ukorienté dans le sens de parcours de la maille b- Loi des mailles :∑k kεu = 0 - aveck= -1 our ukorienté en sens inverse k =1 III-3- Dipôles linéaires passifs, impédances complexes a-Impédance d’un dipôle linéaire passif i convention récepteur u jωt jωt En R.S.F. : u(t) = Ucos(wt +ju)|i(t) = Ucos(Ue et u t = wt +ji)| i Iet = 2 2 d u du d i di a + b + cu(t!+ f i+ e = d (t!2 2 dt dt dt dt 2 2 L’équation différentielle devient :-ωa + bjωc u t = -ωd + ejω+ f i tD’où : u t = Zωi t:Zωimpédance complexe du dipôle en Ohm. Analogue à la résistance en régime continu. 1-1 On peut aussi écrire i t = Yωavecu t Y(ω!complexe en= admittance Wou S. Z(ω! U Uj(ju -ji! On a donc : Z(ω!e= = I I U Et donc :Z(ω!= Z(ω!= et arg(Z) = déphasage de u(t) par rapport à i(t). I b-Exemples Résistance :u = Rien convention récepteur donc ZR= R réel >0, pas de déphasage entre u(t) et i(t) diπ Z = jLsur i(t)ce de = jLu = L Bobine : ωi doncLω, u(t) en avan dt 2 comportement BF et HF : du 1π i = C Condensateur : = jCωu donc ZC= , u(t) en retard de sur i(t) dt jCω2 comportement BF et HF : -6-
Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EC4 _____________________________________________________________________________________ c-Associations d’impédances ·Association en série (même intensité dans chaque impédance) Les positions des deux impédances dans la branche peuvent être interverties. iiavec Z = Z + Z A B«A Beq 1 2 ZZ1 2 u = Zeqi u = Z1i + Z2i·Association en parallèle (même tension aux bornes de chaque impédance) Z11 1 1 iiavec= +B AZ2«A B ZeqZ1Z2 u = Zeqi uYeq= Y1+ Y2u u 1 i =# soit u1i 1 1 Z Z # 1 2 Z Z 1 2 d-Diviseurs de tension et de courant a- Diviseur de tension Z u11 Z Les deux impédances sont en série 1 u = u 1 0u0(parcourues par le même courant) Z + ZZ1 2 2 b- Diviseur de courant i0 ii12 Z 2 Les deux impédances sont en parallèle i = i ZZ1 0 1 2 Z + Z (même tension à leurs bornes) 1 2 III-4- Dipôles linéaires actifs Incluent dans leur fonctionnement une source d’énergie (pas forcément électrique) a-Générateur idéal de tension Dipôle capable d’imposer à ses bornes une tension identique quelque soit le courant débité. i Symbole : e(t) : f.e.m. du générateur ou tension à vide (i = 0, circuit ouvert) u = e Les sources de tension s’associent en série
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Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EC4 _____________________________________________________________________________________ b-Générateur idéal de courant Dipôle capable de débiter un courant d’intensité identique quelque soit la tension à ses bornes. i = icc Symbole : icc(t) : intensité de court-circuit (u = 0 fil) u Les sources de courant s’associent en parallèle c-Modèles de Thévenin et de Norton d’un générateur réel ·Modèle de Thévenin eth Zthi u u = e - Z ien convention générateur avec eThf.e.m. et Zthimpédance interne. Th Th ·Modèle de Norton eth/Zthe i Thu u On peut aussi écrire : i = - = iN- ZthZ Z Z Th Th N u ·Equivalence entre les représentations de Thévenin et de Norton Les représentations de Thévenin et de Norton sont équivalentes. On peut remplacer l’une par l’autre dans un montage. A A «B B IV-ETUDE D’UN EXEMPLE : LE CIRCUIT R-L-C SERIE EN REGIME SINUSOÏDAL FORCE Etude menée sur une feuille à part. i Les résultats figurent dans les deux tableaux en annexe. R L C uCIV-1- Résonance d’intensité IV-2- Résonance de charge e(t) = Ecos( t) -8-
Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009-2010 Chapitre EC4PCSI B _____________________________________________________________________________________ Tension aux bornes du condensateur : uC(t) = UCcos(wt+ju) Amplitude UCde la tension aux bornes de C Déphasagejude la tension aux bornes du condensateur par rapport à la tension d’excitation e(t) = Ecos(wt) (GBF)
1 · w Si Q < , UCest une fonction( ) ·Q, la tension uC(t) est en retard par 2 rapport à la tension excitatrice (celle décroissante, il n’y a pas de du GBF). maximum de l’amplitude de la tension donc pas de résonance de la tension aux bornes de C. 1 ·de la tension, l’amplitude Si Q > 2 aux bornes de C (UC(w)) passe par un maximum pour une pulsationwrinférieure à la pulsation proprew0 de l’oscillateur. Il y a résonance de la tension aux bornes de C. 1 w= rw1% 0 2 Q 1 ·, plus Q est élevé, plus laPour Q > 2 résonance est aigüe etwrse rappoche dew0Remarque : La charge du condensateur étant proportionnelle à la tension à ses bornes (q(t) CuC(t)), les propriétés énoncées pour uc(t) ci-dessus sont applicables à q(t). -9-
Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EC4 _____________________________________________________________________________________ Intensité dans le circuit : i(t) = I cos(wt+ji) Amplitude I de l’intensité Déphasagejide l’intensité par rapport à la tension excitatrice e(t) = Ecos(wt) ·Q, l’amplitude de l’intensité I(w)·(Q, à la pulsation de résonance wrpasse par un maximum pour une =w0), l’intensité et la tension du pulsationwrGBF sont en phase. égale à la pulsation proprew0l’oscillateur (c’est-à- de dire pulsation des oscillations libres non amorties soit L et C seuls dans le circuit). Il y a résonance d’intensité. ·Le facteur de qualité peut-être défini 0 parQ1 avecDw la largeur de w I max la bande passante (w)./ I > 2
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