Logique et quantificateurs
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ecole d'ingenieur, Supérieur, école d'ingénieur
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- cours - matière potentielle : des prochains jours
- quantifi- cateurs de nature differente
- joueur franc¸ais
- meme chose
- tresor
- troisieme portes
- voleur du tresor de la reine
- diagonales
- premiere
- propositions
- proposition
Logique et quantificateurs
Niveau :Approfondir la Terminale S
Difficulte´:eluslrfiauldsffiiicnuaelicaFp,tube´d Dur´ee:Uneheureeriosulpedtev,imafielnca`aedus
Banco, enseignants en pre´paetene´coled’ing´enieur.
Rubrique(s) : Logique(Liens, connecteurs, manipulation des quantificateurs...)
Exercice 1 (Connecteurs et liens logiques): Onrappelle que les propositions exprimentunfait,fixeouvariable,r´ealise´ounon.Parexemple”2+2=4”;”2x+ 8y= 20”; ”1+ 1= 0”,aT”lreerrievr´efedsiomeL”tE...”0degr´estplusde2,”i”fliaseptalet comporte 30 ou 31 jours” est une proposition fausse. Profitonsenpourrappeler´egalementqu’enmath´ematiquesle”ou”estaprioriinclusif, c’esta`direquelesdeuxsontpossibles
«Rejoinez nous si vous etes une fille ou fumeur»,
«e´rcesenusnohcressruntlaarepirtaneoeiuatiluschNo», n’exclutpasdeprendreunefillequifumeouunesecre´taireparlantrusseetitalien.Pour prendreunexempleplusmathe´matique:«pnraUernunatcselgaliil´alogelmmrastee unangledroitoudesdiagonalesdemeˆmelongueur.» Nous utiliserons donc ici desou inclusif, contrairement au langage courant qui utilise plutot leou exclusif.
1)ieonntsessoqnuta´perqoupoisviatlnovtaerDexiudnleelssmpteous,nmsemeˆesuafes enmeˆmetemps.Celasignifiequechaquepropositionimpliquel’autre. Ditesenjustifiantquellespropositionssont´equivalentesparmilesexemplessuivants. Quandiln’ypase´quivalence,celasignifiequ’unedespropositionsn’impliquepasl’autre, pre´cisezlaquelle. a)«J’ai eu le permis de conduire»et«J’ai eu le code et la conduite». b)«J’ai eu le bac S»et«J’ai eu 20 en maths, en physique-chimie et en SVT». c)«reoignouTossnuoehcuodiabenu’dt´equip´eesd’uneasllseedabnissno»et «necuAupossnsnenido`edesslaedonbeiaeldsire.ignonibauche» d)«x+ 1 = 2»et«2x < x+ 2». e)«ABCD est un rectangle»et«lenasBAuadrilatCDestunqeldsaioge`erodtn ontmeˆmelongueur». f )«zest un nombre complexe imaginaire pure»et«zonnutsepmocerbmga´exelel a`l’oppose´desonconjugu´e». 2 g)Soitx∈R.«x≥2»et«x≥4». h)«Pour tout >0,x < »et«x <0».
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i)Soitx∈R.«Pour touty∈N,xy=y»et«x= 1». j)«Pour toutn∈N,un=u0»et«Pour toutn∈N,un=un+1». √ + 2 k)a∈R, b∈R:«b < a»et«a≥0et b < a».
2)stiequpaorrileitnoopistes,ivant`adc’esDooidngetaal´nnnzenssuitiooposespr vraie(respectivementfausse)quandlapropositiondede´partestvraie(respectivement fausse). a).teisnoloivtnellecxeninsuaumodentss`eseopsertrohclsseuoT b)Pour toutx∈A, il existey∈Btel quex+y <0. c).oiemeds`oitrdensdsesirpstnaruocequntosipbadumetiipenece`omuausniIlya d)Il existex∈Atel quef(x)<3. e)eroujeprendsduca´f.eDe`uesqsujefaisgutij,e´iaveremssope f )x∈A⇒(x≤0 oux∈Q). g)Je me bats si et seulement si on m’attaque et que mon adversaire est moins fort. h)f∈F⇔(fcroissant etf(0)≤0). i)me´pretasr.Ltahraailnasmjˆoeumeulreesrpersotce j)untststaoietuoperotrust’edi`aainn,cren∈N,un=un+1. k)etarmgneeruaarutmp´eLate.sruojsniahcoprestlenuminntco l)f:R→Re,c’est`adirequesectorsiastnruopsuota < b,f(a)≤f(b). m)unlexiqu’istec,e’´neeidertsa`esortbM∈Rtel que pour tousn∈N,|un| ≤M. n)«Pour touta≥b,f(a)6=f(b)»donc«fn’est pas constante».
3)erhi´ermaffilaLejotrfiolacruanslop
«lyIiuqe´enusniomuaaieste1quLigupedeinuqe´ueitutocsnnemejedtueuorfsr¸cans.ai»
C’´etaituneerreuretlejournalafaitd´ementi.Celaveutildireque –«Ilsdpayan’iuep´’qeug1eediL’estquinonstpascseuruedojmentiqueeeunitu´ fran¸cais», –«rseunedtjeuoueinuqmenstitu´equiestco1eugiLedepiuqe´’sdpayan’Il fran¸cais», –«piuqLedeuoTe´etregnaunjooins´etrueurp1sogieuaemu`sde», –«e´unnsoidepeuiequojesruemuaaylIsconstitu´eequediLug1euqnie’tsap francais», –«yaIlmoausuinn¸carfraoueucunjsiueigeLedipqu´eneuaede`ssopeniuq1», Ilpeutyavoirplusieursr´eponses.
4)Justifier pourquoi les implications suivantes sont fausses a)Tu ne sais pas faire cela donc tu es nul. b)f: [a, b]→R.«fcontinue etf(a) =f(b) = 0»donc«pour toutx∈[a, b], f(x) = 0». c)«f: [0,1]→R,fcroissante,f(0) = 0 etf(1) = 1»donc«il existex∈[0,1] tel quef(x) = 1/2».
Indications et Commentaires: SoitP(anoitisopadnepe´ddentepro),una. Onrappellequelan´egationde«pour touta∈A,P(a) est vraie»est«il existea∈Atel que P(a) est fausse». Etlane´gationde«il existea∈Atel queP(a) est vraie»est«pour touta∈A,P(a) est fausse».
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Enfinlane´gationde«P implique Q»est«P et non Q». Notons aussi que la place des termes a son importance : on ne peut pas permuter des quantifi-cateursdenaturediffe´rente.Parexemple: Pour toutbbracelet,il existessomme d’argent telle quespermet d’acheterb. nesignifiepaslameˆmechoseque Il existessomme d’argent telle que pour toutbbracelet, spermet d’acheterb. Lapremi`erephraseditquelasommed’argent`ad´epenserd´ependdubracelet.Ladeuxie`me phrase dit qu’il existe une somme d’argent s permettant d’acheter tout bracelet (ce qui est accessible pour peu de personnes!).
Corrections. 1.a)ala`siofa’deriovesecirsale,in´stelepmrsiuoarovriPffiu:tctsaetE.nduilacodeetleco une fois que l’on a le code et la conduite, on a le permis. Les deux propositions s’impliquent l’unel’autre:ellessont´equivalentes.«J’ai eu le permis de conduire»et«J’ai eu le code et la conduite». 1.b)himieeteysique-callfi`ireSnTVadsnvoSiavus,shthpne02zeamnetrvoezursaou,veSe BAC:unpetitcalculenutilisantlescoefficients(forts)decesmatie`resvavousenconvaincre facilement. Par contre si vous avez le BAC (ce que nous vous souhaitons), ca n’implique pas que vousayez20danscesmati`eres,nimˆemelamoyennedansuneseule.Iln’yaqu’uneimplication devraie,etdonclespropositionsnesontpase´quivalentes. 1.c)oitisopoe´tnossnenalivqunsdas:teuecxeldstnorsao,adanuverteslstouseedserpxuL salles de bain de quoi se laver, une douche, une baignoire ou les deux. Ici, on a l’exemple d’une phrase du type«Pour tous ..., alorsboum»alevae`ntqeiuse´tq,iu«Pour aucun ..., il n’y a pas deboum». 1.d)x+1=vilane`tea2tse´uqx= 1. Tandis que 2x < xequivale+2est´a`tnx <2. Donc ximplique 2+ 1 = 2x < x2,+.ceenlaviuqe´sapay’nlie.Isvrastpaen’eoruqcepial´ramsi 1.e)taecnrUmentoque,gnolrueue´R.rpiconagesaltmonmeˆelegoarmmeestseidngleestunparall´ unparall`elogrammedontlesdiagonalesontmeˆmelongueurestunrectangle.Donclesdeux propositionssonte´quivalentes. 1.f )de´ugujnoceleuqsRappelonez=a+ib, aveca, b∈Rlaa`´tge,sez¯ =a−ib. Sizest un nombre complexe imagniaire pur, alorsz=a.iet doncz¯ =−ai=−z, aveca∈R. Doncz.el`ga´estospp’oalcnosede´e´ugujno R´eciproquement,sizorse,alugu´oscej´ntsenoa´`s’dlegpeoloapz¯ =−zerida`tse’c,a−ib= −(a+ib) =−a−ib.Do’u`2a= 0, qui impliquea= 0 etz=ibe,c’`tseridazimaginaire pur. Lesdeuximplicationssontdoncvraiesetlesdeuxpropositionssonte´quivalentes. 2 2 1.g)x≥2 implique quex≥4. Maisx≥4 impliquex≥2 oux≤ −2. Donc l’implication re´ciproquen’estpasvraie,etiln’yapase´quivalence. 1.h)Clairement, six <0 et >0, alorsx < l’ncplimDo.e´icrpqocitaoirnie:ueestvra«x <0» implique«Pour tout >0,x < ». Maisxrifie0v´e=«Pour tout >0,x < »fierirvse´sna «x <0». ∗ Profitons en pour signaler une erreur classique. Si pour tout >0,x < , alors pour toutn∈N, 1/n >0 et doncx <1/n. En faisant tendrenvers l’infini,’ilitalegn´tcirtse´tneivedee`allarga limitedoncx≤0 (et pasx <0). 1.i)xuedporpseLntsoqu´eitosnsio:srpnerdvilaneetey,noitacilpmierelapremi`=1pour multiplier paryeu.rpqoe´iclrraoup 1.j)Si pour toutn∈N,un=u0, alorsun+1=u0, et doncun=un+1. R´eciproquement,supposonsquepourtoutn∈N,un=un+1tnor.oMrre´snapceenrrcurouepqu toutn∈N,un=u0. L’identite´esttrivialepourn= 0 (initialisation). Supposonsun=u0. Alorsun+1=un=u0 (he´re´dite´). Ceciprouvelare´ciproqueetlesdeuxpropositionssont´equivalentes.
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