LIENS INRIA ÉNS CNRS
87
pages
Documents
2012
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
87
pages
Ebook
2012
Le téléchargement nécessite un accès à la bibliothèque YouScribe Tout savoir sur nos offres
Algèbre linéaire Jérôme Feret LIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 5/12/19 décembre 2011 23/27/30 janvier 2012 3/6/17 février 2012 1 Groupes 1.1 Lois internes Définition 1.1.1. Soit A un ensemble. Une loi interne sur A est une fonction de AA dans A. Exemple 1.1.1. La fonction vide est une loi interne sur l'ensemble vide. Exemple 1.1.2. La fonction qui à la paire p1, 1q associe 1 est une loi interne sur le singleton t1u. Exemple 1.1.3. L'addition et le produit sont des lois internes pour N, Z, Q, ou R. Exemple 1.1.4. La soustraction est une loi interne pour Z, Q, ou R. Exemple 1.1.5. Si A est un ensemble, alors la composition est une loi interne sur l'ensemble FpAq des fonctions de A dans A. Exemple 1.1.6. La fonction d qui associe à toute paire px, yq de rationnels, le rationnel x 2y, est une loi interne sur Q. Exemple 1.1.7. Soit A un ensemble. La fonction u qui à une paire px, yq P A2 d'éléments de A associe le premier élément x, est une loi interne sur A. u est la projection selon la première coordonnée. Notation 1.1.1. Si b est une loi interne sur l'ensemble A, alors, pour x, y P A, l'élément bpx, yq est habituellement noté xby.
- xb py
- projection selon la première coordonnée
- lois internes
- ?2 ?2
- loi interne
- pxb yq
- ?d ?d
- loi associative sur fpaq
- rrfgshspaq fpgphpaqqq
A
A A A A
1;1 1 1
N Z Q R
Z Q R
A F A
A A
x;y x 2y
Q
2A x;y A A
x A
A x;y A x;y
x y
A x
y z A x y z x y z
P x ;P x
inl'ensemblelavpiPde.qExemplepr1.1.2.SiL1.2afonctionestquiinterne?unelaepeairesteepsi,Loisb1.1loiesHqPassoloicietGroupestestselonunedonn?loiloiinternepsurbpleExemplesi1.2.1.ngleteonciativetdans1deup.ExempleExemplee1.1.3.eL'additionHetinternelepprd'?l?mentsocieduit?l?m,sontinternedesuloisojeinternesprpoourNotation2012est,surralors,vidf?vrie,,1.1.1.oulement3/6/17..ciativit?Exempleloi1.1.4.surLsemaditesoustretactionourternesestD?nitionuneploiqinternebpsurourL2012t,l'ensemblevierciative.,arouHjanDe.touteExemple@1.1.5.UneSiP23/27/30Alg?breestdeunassoensemble,lealorsemierlaencuneompestositionloisurest.uneestloiprinternectionslauremi?rl'ensemblec2011orpe.bre1.1.1.qbdesunefonctionsinternedel'ensemblem,dans,d?ceour.fonctionExemplea1.1.6.l'?l?mentLLaqfonctionhabitueldnot?quibasso.cieAsso?D?nitiontouteUnepinternairbeunpn5/12/19ble(INRIA,?NS,CNRS)estqassodesirseulementationnels,pletoutr,ationnel,LIENSPeret,bFfonction,uneestuneestloi1.1.1.internebsur.J?r?me1.2.1..aExemplein1.1.7.ernSoitsurlin?airevide,ciative.assosurPreuvqPvrai.d?nition,laiterne.l'ensemplusvourdepropri?t?vide.,ExempleloiUneHinterneensemble.unestensemble.estLDoncaloifonctionnusurquible?iuneestplair1.2.2.eloipsurunsingletonSoitassoq1unS S a S a a S
S a a a x;y;z A x a y a z a
x y z a a a
x y z a a
x y z a a a
x y z x y z:
N Z Q R
Z Q R
A F A
f;g;h F A
f g h f g h A A
a A
f g h a f g h a
f g h a f g h a
f g h a f g h a
f g h a f g h a
f g h f g h
Q x y x 2y
1 1 1 1 1 2 1
1 1 1 1 3
1 1 1 1 2 3
1 1 1 7
1 1 1 1 2 1 1
1 1 1 3 1
1 1 1 3 2 1
1 1 1 5:
l?menaExemplesoustrractioneet,loin'est.asso.c:inoteativeqni.surd?nieLp,nisurdp1.2.4.p,.niqdsurExemple.qExempleasso1.2.5.loiSiar.estciative.unensdpesoitmble,blaqu'uncqomparositionternebesttuneploiqassorciativesspsurrousp,bq.e.PreuvLeeSoitp,d,surnciativessassoePainternes,pisOnqP.Puis,1.drt,lon'adesdsbsontd?nition,etPsurinruneationSoitumultiplicslad2deuxbfonctionspdebetqdansDoncL'additionb.p2.bSoit1.2.3.rPExemples.PuisOnestaciativ:lrr1.2.6.lainterne.dssurciativpspbassoD'o?,qetr,est'estabassospPreuvDoncEnponb:qqdprrdqq:baspqspdpdqq.qpdpbdpqp?pbCommeqqq.rrPbetqpsdbqdspp.qqdpprdqqdbdspppdqqqdrrbOnsingleton.bunsSoitespPreuvqsont5 7
A p1
A
A
x;y;z A
x y z x y
x y z x
x y z x y z
A x y z t A
x y z t x y z t
A x y z t A
x y z t x y z t
x y z t x y z t
x y z t x y z t
A
x y A x y y x
P x ;P x
S S a S x;y A
x a y a
x y a a
x y y x:
u1.3.1.or.q,Doncvideuunestsiassod?nieciativPreuve.slOnProplesositionn1.2.1p..SivebourestloiuneUneloiunin.ternone1.3assobciativeestsuruun,enseambleestoP,.al.orsestpd?nieoure.toutsurcPreuv,eloi,estemi?r,onprassoPg?n?rlaar,utativit?onloiaun:blesurcbspmentctiontoutbPpbojebb1.3.1.printernqql'ensembleommutatppPreuvad?nition,bLplusq,bHensemble.uqDoncbnunl'ensem.commPreuvExempleeinterneSoitsingleton,bcestSoituneOnluoibinsurternesoitassouciativ:eetsur.un,ensemestbleciative,Soitomet,alementalorsppenth?ses.ourCommtoutD?nition1.2.7.Une,interneExemplesur,elsem,loie.ditePommutativeciativet,eonleasi,:oursopbassopasciativebupqpassurbExemplen'estLqqloiedsurbvide,ppcDoncib..eqarbHHqHOrDedonn?pptoutepropri?t?uP@bPppepbqloivrai.qqlaipterneinsurbblepestterneutativblsoit1.3.2.qqloibd?nieplus,unDeebtpommutative..ebepsingleton.surnoteutuqqSoitestuneeinterneuubPuis,qqqPb.uneaqbienbpu:laNotationD'o?,1.2.1.bLorsqu'unebloibppbbb3pN
Z Q R
A F A
A a;b A
A A A A
f : g :
x a x b
g f a g f a
g f a g a
g f a b
f g a f g a
f g a f b
f g a a:
a b g f f g
Q x y x 2y
0 1 2 1 0 1 2 1
A
x y z t A x y z t t y z x
A x y
z t A
x y z t x y t z
x y z t x y t z
x y z t x t y z
x y z t t y z x
?pcqqpeensemble'estpauun.qq,pNotonsest?l?men,Sionqpb1.3.4.inqp??Exempleppmen.asqbpbleouourmoins,bqpqq,laqbe,bleet,:,pbsurbqqommutativesbqpbcpqbinternesppbloisensembleplorsdesqpqqppsont:abqpppationqqbemultiplicunepassolacommqunp,ettout,l'additionPqpaexemple,pqsurPar#Orb1.3.3.bpExempleqq.ppdoncqlPbe.Soitbutativdeuxqcommt.bDoncppqn'estbpasontenantcaommputativtoute.,l,Exemple,1.3.5.PL,aaloi:inptbernOnedeuxdd?nie??sur?l?ments,estbpqar?bPreuvdSoituneestDoncloiterneSoitciativeetutativPreuvsurnensem'estcpalorsasourc#ommutative.ompPreuvositioneetOnaon::ative.bdd?nietpbuqqetpommpdbcqnloi:lpOrbensemdistincts.tsunqbDonc?l?ddeuxn'estbpasqcommbutativpe.plbPropqqositionts.1.3.1.ppSibbqestmoinsuneauloipinternbenanassoeciativeettcconombmutativeqsurun.4.A
" Ad
x A x " xd
" Ag
x A " x xg
" A
0 N Z Q R 1
N Z Q R
A
F A
Q x y x 2y 0
x Q x 0 x 2 0 x 0 x
0
" Qg
" 0 0 " " 0 " " 0g g g g g
" 1 1 " " 1 " 2g g g
" 1g
0 1
A
A " "d g
" " " " " " " "g d d g g d g d
" " "d g d
A
A " "1 2
" " " " " " " " " "1 2 2 1 1 2 1 2 1 2
One.?neutresgauche?l?mentp)ourela(carloiadmetbaussi..Exempled'une1.4.1.neutrLtalaloimuniinternloie?d?nie(carsurunl'ensemblevide1.nadmet'aepbleasneutred'?l?mentsineutrete.D'o?Exemplel1un.4.2.SoitUneetloiinternepd?niedsurneutreundsingletondadmet.und?l?mentlneutrense.(leunseulet?l?mbenSoittloiduasingleton).onExemplehe.1.4.3.?l?mentParneutreexemple,siourestesteun??l?mentSoitneutr.e,pneutrourblela.loi?ld?nieetsurPp,(caroitep,drest,gaucetla?,d?nitionalorsD'o?queeest(Absurde).unpas?l?mentgaucneutrositionebpmbleointerneurilad?niensurdrneutr?l?ment,gauche,?l?mentun,Preuvunun,unietterneestt.?l?menExempledroite1.4.4.unSi?Paestbuntoutensemble,silagaucfonctionetidentit?estourun??l?ment?neutr.eestptourositionlauncloiombpneutrositiosnuniquePreuvd?nieunsuruni?l?mentternepPun?l?mentqts.:Exemple2.1.4.5.loiSoitestdhe)labloioninterne,auraitd?nie:sure1.neutrp?l?mentarun.estd?bheinterneetPloiloid'une?l?ment(parmunide.).ensemble3.estunb?l?mentOrneutresi?Doncdrn'aoitedep?ourhe.laProploi1.4.dSoit,unmaiseimunilloinb'ySabp?asfoisd'?l?ment?l?mentneutreutre??oitegaucheunpneutrour?laalorsloiadmetd?l?ment.e.Preuveeet1.ensemPmourd'uneuninPbSoitSoi,seulementonunat1.4.1.?detD?nition,?l?menesneutreneutrgaucOnts:,Ppuisp?lemendour1.4p5estdr?.he)Doncseulement?bestbneutreloi?(cardroite.p2.neutrePdroite).argauchel'absurde,soitneutrePuisrunPuntl?menunneutre.?l?menPropt1.4.2.neutreest?ensembleud'uneneutrinterneblSiauraitadmet:?l?menteenalordbmentun?l?ment?l?e.(careunourc'estensemestmneutred'une?ingaucbhe)Soitettoutsi?l?mentseulementdeuxd?menetneutres.asiunbb(parbd?nition.de(cardla).neutreD'o?gaucloietlaourun,est?oiteD'o?b?l?mentneutreourdroite)..aMaisongauc.he.OnA " x;y
A
y x y x "
y x x y "
y x y x x
x A
0 N
Z Q R
1 N Z
0 Q R
N N
f
n n 1
F N
k N
N N
g 0 kk
n 0 n 1
g F Nk
n N
g f n g f nk k
g f n g n 1k k
g f n n 1 1 n 1 0k
g f n n:k
g fk N
g fk
g f
n N
g f n g f n
g f n g n 1 :
g f g f g f n nN
n N g n 1 n
m N 0 g m m 1 m n 1
g gg 0
.seulun?l?ment.inversibleppourouretlaloi.d?nie2.surpet:.?Exemple1.5.2.?l?mentsTinverseousdrlesv?l?mentsgaucdesieun(rerseesp.1.neutrtout,toutr(onesp.b?l?mentdeux)spsontirnversiblespsourestlaheloiin..Exemple:1.5.3.L'?l?mentveunpestunledeseulb?l?mentsiinversible.de,admet.(rztesp.qui.)pinversiourestlaqloiq.deExemple(car1.5.4.unT,ousdelesDonc?l?mentssaufIdensemblenvesontiinversibles?punouestrerselesdeloisa,Pd?niesetsurdiunpetqqsurin.Exemple3.1.5.5.queLnagaucfonction,::eernpuisseulement#tp?Pinploi??punePbuaestdesinpvinersDoncerssp?qgauche,ditmaisppPasrd'inverse?l?ment?Undr.oitdee,qpgaucheour?la?c)ompetositionspd?nieqsuroiteSoitrp?.5.1.seq.rPreuvPuisei1.unSoitn1ersePgaucD?nitionde..OnSoitconsid?reunlavfonctio?nheersesOnseulementOnvpsi$seulement'r&'sp%qInde?se1.5retr??sispseq?estdet??qleOrqestCeiprouvvqu'il?ahed'autreestdoncPrsoitpsL'entierIdq,.rDeplus,sppqoursi1.5.1.DoncPourExempleest,deonoiteadr:qrseinverse.Puisunourradmetvespinil,qpqsiunent2.paseulemos?petqq).rvesiblepgauche.qui?evn'y?pashe.insierseOngauca6bieng f
f g 0 f g 0
f g 0 g 0 1:
f g 0 Id 0N
f g 0 0:
g 0 1 0 g 0 1 g 0 N
g f
N N
f 0 0
n n 1
F N
N N
g
n n 1
g F N
n N
f g n f g n
f g n f n 1
f g n n 1 1 n 1 0
f g n n
f g N
g f
h f
n N f h n f h n f h f h n nN
n f h n
h n 0 n h n 1 h n n 1 n 0
n 0 h n 0
h 0 0
n 0 h n 0 n f h n n 0 h n n 1
f
g f
g f 0 g f 0
g f 0 g 0 :
ourositionqqersed?nie.surqrp:.qn'est.vPreuvqeD'o?1.,Onconsid?re,ladroitefonction,et,q.ar#auraitpr?qpqr??'spet.onOnExemplea.bi.entrqPDoncqqPppauq?.absurdeDedeplus,poursppspP,ponPuis,a?:&r$q,spspsp?arqos1.5.6.rlp:depauraitplus,qqor?Onppas.sp).deD'o?qetpdroitepcar?unersersq3.ronvingaucin.sprunspqqpconsid?reqon??qql'absurde,.(car??arpPq??3..ompsicp%qla'alorsourspppqqpuishe,pDoncqr:cfonctionagauLsPcIdtrap??.siPuisd'inversealorsestpunqiqnD'o?vperseq??droiteDedepast.u2.erseSoitvpinununin?v(sinonersemaispppdeqqoite,puis.On),a,doncppourqdrpPq?Donc,arplussineeespdroite.ersPql'absurde,consid?revunpvin?phedesestqqOnet,:commequir(ceapspqqId,p,puisrsp?droiteq)7rg f 0 Id 0N
f g 0 0:
g f 1 g f 1
