LIENS INRIA ÉNS CNRS

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inl'ensemblelavpiPde.qExemplepr1.1.2.SiL1.2afonctionestquiinterne?unelaepeairesteepsi,Loisb1.1loiesHqPassoloicietGroupestestselonunedonn?loiloiinternepsurbpleExemplesi1.2.1.ngleteonciativetdans1deup.ExempleExemplee1.1.3.eL'additionHetinternelepprd'?l?mentsocieduit?l?m,sontinternedesuloisojeinternesprpoourNotation2012est,surralors,vidf?vrie,,1.1.1.oulement3/6/17..ciativit?Exempleloi1.1.4.surLsemaditesoustretactionourternesestD?nitionuneploiqinternebpsurourL2012t,l'ensemblevierciative.,arouHjanDe.touteExemple@1.1.5.UneSiP23/27/30Alg?breestdeunassoensemble,lealorsemierlaencuneompestositionloisurest.uneestloiprinternectionslauremi?rl'ensemblec2011orpe.bre1.1.1.qbdesunefonctionsinternedel'ensemblem,dans,d?ceour.fonctionExemplea1.1.6.l'?l?mentLLaqfonctionhabitueldnot?quibasso.cieAsso?D?nitiontouteUnepinternairbeunpn5/12/19ble(INRIA,?NS,CNRS)estqassodesirseulementationnels,pletoutr,ationnel,LIENSPeret,bFfonction,uneestuneestloi1.1.1.internebsur.J?r?me1.2.1..aExemplein1.1.7.ernSoitsurlin?airevide,ciative.assosurPreuvqPvrai.d?nition,laiterne.l'ensemplusvourdepropri?t?vide.,ExempleloiUneHinterneensemble.unestensemble.estLDoncaloifonctionnusurquible?iuneestplair1.2.2.eloipsurunsingletonSoitassoq1unS S a S a a S
S a a a x;y;z A x a y a z a
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l?menaExemplesoustrractioneet,loin'est.asso.c:inoteativeqni.surd?nieLp,nisurdp1.2.4.p,.niqdsurExemple.qExempleasso1.2.5.loiSiar.estciative.unensdpesoitmble,blaqu'uncqomparositionternebesttuneploiqassorciativesspsurrousp,bq.e.PreuvLeeSoitp,d,surnciativessassoePainternes,pisOnqP.Puis,1.drt,lon'adesdsbsontd?nition,etPsurinruneationSoitumultiplicslad2deuxbfonctionspdebetqdansDoncL'additionb.p2.bSoit1.2.3.rPExemples.PuisOnestaciativ:lrr1.2.6.lainterne.dssurciativpspbassoD'o?,qetr,est'estabassospPreuvDoncEnponb:qqdprrdqq:baspqspdpdqq.qpdpbdpqp?pbCommeqqq.rrPbetqpsdbqdspp.qqdpprdqqdbdspppdqqqdrrbOnsingleton.bunsSoitespPreuvqsont5 7
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u1.3.1.or.q,Doncvideuunestsiassod?nieciativPreuve.slOnProplesositionn1.2.1p..SivebourestloiuneUneloiunin.ternone1.3assobciativeestsuruun,enseambleestoP,.al.orsestpd?nieoure.toutsurcPreuv,eloi,estemi?r,onprassoPg?n?rlaar,utativit?onloiaun:blesurcbspmentctiontoutbPpbojebb1.3.1.printernqql'ensembleommutatppPreuvad?nition,bLplusq,bHensemble.uqDoncbnunl'ensem.commPreuvExempleeinterneSoitsingleton,bcestSoituneOnluoibinsurternesoitassouciativ:eetsur.un,ensemestbleciative,Soitomet,alementalorsppenth?ses.ourCommtoutD?nition1.2.7.Une,interneExemplesur,elsem,loie.ditePommutativeciativet,eonleasi,:oursopbassopasciativebupqpassurbExemplen'estLqqloiedsurbvide,ppcDoncib..eqarbHHqHOrDedonn?pptoutepropri?t?uP@bPppepbqloivrai.qqlaipterneinsurbblepestterneutativblsoit1.3.2.qqloibd?nieplus,unDeebtpommutative..ebepsingleton.surnoteutuqqSoitestuneeinterneuubPuis,qqqPb.uneaqbienbpu:laNotationD'o?,1.2.1.bLorsqu'unebloibppbbb3pN
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?pcqqpeensemble'estpauun.qq,pNotonsest?l?men,Sionqpb1.3.4.inqp??Exempleppmen.asqbpbleouourmoins,bqpqq,laqbe,bleet,:,pbsurbqqommutativesbqpbcpqbinternesppbloisensembleplorsdesqpqqppsont:abqpppationqqbemultiplicunepassolacommqunp,ettout,l'additionPqpaexemple,pqsurPar#Orb1.3.3.bpExempleqq.ppdoncqlPbe.Soitbutativdeuxqcommt.bDoncppqn'estbpasontenantcaommputativtoute.,l,Exemple,1.3.5.PL,aaloi:inptbernOnedeuxdd?nie??sur?l?ments,estbpqar?bPreuvdSoituneestDoncloiterneSoitciativeetutativPreuvsurnensem'estcpalorsasourc#ommutative.ompPreuvositioneetOnaon::ative.bdd?nietpbuqqetpommpdbcqnloi:lpOrbensemdistincts.tsunqbDonc?l?ddeuxn'estbpasqcommbutativpe.plbPropqqositionts.1.3.1.ppSibbqestmoinsuneauloipinternbenanassoeciativeettcconombmutativeqsurun.4.A
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One.?neutresgauche?l?mentp)ourela(carloiadmetbaussi..Exempled'une1.4.1.neutrLtalaloimuniinternloie?d?nie(carsurunl'ensemblevide1.nadmet'aepbleasneutred'?l?mentsineutrete.D'o?Exemplel1un.4.2.SoitUneetloiinternepd?niedsurneutreundsingletondadmet.und?l?mentlneutrense.(leunseulet?l?mbenSoittloiduasingleton).onExemplehe.1.4.3.?l?mentParneutreexemple,siourestesteun??l?mentSoitneutr.e,pneutrourblela.loi?ld?nieetsurPp,(caroitep,drest,gaucetla?,d?nitionalorsD'o?queeest(Absurde).unpas?l?mentgaucneutrositionebpmbleointerneurilad?niensurdrneutr?l?ment,gauche,?l?mentun,Preuvunun,unietterneestt.?l?menExempledroite1.4.4.unSi?Paestbuntoutensemble,silagaucfonctionetidentit?estourun??l?ment?neutr.eestptourositionlauncloiombpneutrositiosnuniquePreuvd?nieunsuruni?l?mentternepPun?l?mentqts.:Exemple2.1.4.5.loiSoitestdhe)labloioninterne,auraitd?nie:sure1.neutrp?l?mentarun.estd?bheinterneetPloiloid'une?l?ment(parmunide.).ensemble3.estunb?l?mentOrneutresi?Doncdrn'aoitedep?ourhe.laProploi1.4.dSoit,unmaiseimunilloinb'ySabp?asfoisd'?l?ment?l?mentneutreutre??oitegaucheunpneutrour?laalorsloiadmetd?l?ment.e.Preuveeet1.ensemPmourd'uneuninPbSoitSoi,seulementonunat1.4.1.?detD?nition,?l?menesneutreneutrgaucOnts:,Ppuisp?lemendour1.4p5estdr?.he)Doncseulement?bestbneutreloi?(cardroite.p2.neutrePdroite).argauchel'absurde,soitneutrePuisrunPuntl?menunneutre.?l?menPropt1.4.2.neutreest?ensembleud'uneneutrinterneblSiauraitadmet:?l?menteenalordbmentun?l?ment?l?e.(careunourc'estensemestmneutred'une?ingaucbhe)Soitettoutsi?l?mentseulementdeuxd?menetneutres.asiunbb(parbd?nition.de(cardla).neutreD'o?gaucloietlaourun,est?oiteD'o?b?l?mentneutreourdroite)..aMaisongauc.he.OnA " x;y
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.seulun?l?ment.inversibleppourouretlaloi.d?nie2.surpet:.?Exemple1.5.2.?l?mentsTinverseousdrlesv?l?mentsgaucdesieun(rerseesp.1.neutrtout,toutr(onesp.b?l?mentdeux)spsontirnversiblespsourestlaheloiin..Exemple:1.5.3.L'?l?mentveunpestunledeseulb?l?mentsiinversible.de,admet.(rztesp.qui.)pinversiourestlaqloiq.deExemple(car1.5.4.unT,ousdelesDonc?l?mentssaufIdensemblenvesontiinversibles?punouestrerselesdeloisa,Pd?niesetsurdiunpetqqsurin.Exemple3.1.5.5.queLnagaucfonction,::eernpuisseulement#tp?Pinploi??punePbuaestdesinpvinersDoncerssp?qgauche,ditmaisppPasrd'inverse?l?ment?Undr.oitdee,qpgaucheour?la?c)ompetositionspd?nieqsuroiteSoitrp?.5.1.seq.rPreuvPuisei1.unSoitn1ersePgaucD?nitionde..OnSoitconsid?reunlavfonctio?nheersesOnseulementOnvpsi$seulement'r&'sp%qInde?se1.5retr??sispseq?estdet??qleOrqestCeiprouvvqu'il?ahed'autreestdoncPrsoitpsL'entierIdq,.rDeplus,sppqoursi1.5.1.DoncPourExempleest,deonoiteadr:qrseinverse.Puisunourradmetvespinil,qpqsiunent2.paseulemos?petqq).rvesiblepgauche.qui?evn'y?pashe.insierseOngauca6bieng f
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