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Algèbre linéaire Jérôme Feret LIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) 5/12/19 décembre 2011 23/27/30 janvier 2012 3/6/17 février 2012 1 Groupes 1.1 Lois internes Définition 1.1.1. Soit A un ensemble. Une loi interne sur A est une fonction de AA dans A. Exemple 1.1.1. La fonction vide est une loi interne sur l'ensemble vide. Exemple 1.1.2. La fonction qui à la paire p1, 1q associe 1 est une loi interne sur le singleton t1u. Exemple 1.1.3. L'addition et le produit sont des lois internes pour N, Z, Q, ou R. Exemple 1.1.4. La soustraction est une loi interne pour Z, Q, ou R. Exemple 1.1.5. Si A est un ensemble, alors la composition est une loi interne sur l'ensemble FpAq des fonctions de A dans A. Exemple 1.1.6. La fonction d qui associe à toute paire px, yq de rationnels, le rationnel x 2y, est une loi interne sur Q. Exemple 1.1.7. Soit A un ensemble. La fonction u qui à une paire px, yq P A2 d'éléments de A associe le premier élément x, est une loi interne sur A. u est la projection selon la première coordonnée. Notation 1.1.1. Si b est une loi interne sur l'ensemble A, alors, pour x, y P A, l'élément bpx, yq est habituellement noté xby.
- loi interne
- paire pbijpaq
- loi composante par composante
- pxb yq
- pxb yq1 x1
- composition définie sur fpzq
- loi associative sur fpaq
A
A A A A
1;1 1 1
N Z Q R
Z Q R
A F A
A A
x;y x 2y
Q
2A x;y A A
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A x
y z A x y z x y z
N Z Q R
Z Q R
A F A
si1.1.2.laLaunefonction1.2.1.quiun?internelaUnepbairUnee.p.ternese.inourLoisbqnasso,cie1.1.1.1.1surestciative.unedeloininterneExemplesurprlecsibnglet,onloithabituelesAssoub.estExemplep1.1.3.PL'additiondansetbleinprassoounduitetinternessontunedesaloisiinternessurpsurourestGroupction,emi?r1or,1.1.1.2012une,l'ensembleou,rinterne.l'?l?mentExempleq1.1.4.not?L.aD?nitionsoustrinternactionunbleestassouneseulementloitoutinterne,p,ourD?nitionf?vrie,3/6/17.,aouern2012vide,.ExempleExempleinterne1.1.5.estSi1.2.3.viermultiplicestdesunciativesensemble,fonctionalorsoula1.2.4.cactionompassoositionniniestinterneuneSiloivinterneuslaurojel'ensembleselonjanprpe23/27/30oqdonn?desNotationfonctionsSideest2011loidanssurbrel'ensemble.alorsExemplep1.1.6.surLPa,fonctionbpdestquiestassolementciee?vidtoute1.2pciativit?air1.2.1.eloipemsurd?ceeqsemdefonctionrditeationnels,ciativeleetrsi,ationnelour5/12/19a(INRIA,?NS,CNRS)L1.1.1.LIENSExemple,.estpunebloiqinternepsurberetq.SoitExempleExemple1.1.7.LSoitloiFtuneensemble.l'ensembleLestaciative.fonction1.2.2.uloiquisur?singletonuneassopExempleairL'additionelapationJ?r?mesontlin?airelois1assoPsurloi,Alg?bre,d'?l?ments,deestiExempleestLenssoustrmble,c'estositioncestativeloisurciative,Exemplesurde.,nisur..une1.2.5.loiinterneUneunassoecielaleomppremierune?l?massoensurtpensemble.q,estq
Q x y x 2y
A p1
A
A x y z t A
x y z t x y z t
A
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N
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A
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x A " x xg
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0 N Z Q R 1
N Z Q R
A
F A
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A
A
ppeestunbsingleton).e?qq.eppneutrdonn?b?l?mentorloiqneutrbneutrointerneqsurb.cExemple.ourNotatione1.2.1.unL?l?mentorsqu'unetoutloiunestetassopciative,bonasometneutrg?n?r?l?mentalementmblelesensplaarenth?ses.sur1.3unCommnutativit?PropD?nitionS1.3.1.?l?mentUneloiPinternegauchebseulementsur,unepnlasemunbleeebestpditeLcvideommutativeExemplesisingletonet?l?msexemple,eourul,eementrsi,surpassoouruntoutomemi?rp,laprinPSila?,,surasblactionSoitloioje?bdrprgauche,.PropExemple.1.3.1.PLestaeloiourinternsiepd?niesursuronl'ensemblebvide,.estourcunommutatpibvesi.mentExemplet1.3.2.drUnelaloiuni?nternelad?nieExemplesurloiunsursingleton,'aeneutrsUnetsurcunommutative.(leExemplet1.3.3.1.4.3.Parestexemple,el'additionloiet,la,multiplicalorsationunpsontd?niedeunsetlois1.4.4.internesuncidentit?ommutativesneutrsurlaaositio,surLq,Soitensemble.interne,,pouloiunb..Exempleneutr1.3.4.oiteSiloiSoitiestaunneutrensemblepcdontenant1.4.auunmoinsmunideuxb?l?ments,blafoisceompetositionebd?nieneutrsur1.4.2.1.2.7.assop2.Exemple?l?mentqciativen,'estunpneutras?uneploilacbommetusitourative.?l?mentExempleP1.3.5.,Laa,loiPropinterntoute3.d?l?mentd?niePsurestciative.?l?mentpearourassoloidsisseulementac'est?l?pn'esturn?noite'estourploiaets?l?mentceommutative.gauchePropourositionloi1.3.1..Si1.4.1.baestinternuned?nieloil'ensembleinternenassopciatived'?l?mentete.c1.4.2.ommutativeloisurd?nieununensembleadmet?l?ment,ealorsseulpenourdutExempleouPartsun,neutrdp,laard?nie,alorp,Positionsuret,,onqueaest:?l?mentd?nieeboupdsurb,p,e,bciativeinternExempleqqSiestppensemble,loifonctionbesta?l?mentqebourLcqpbn1.2.6.d?nie.e1.4ern?lemen.ts1.4.5.neutrdesloiD?nitiond?nie1.4.1.tSoitarExempled?l?mentuneeestalob.unestq?l?menteeneutrdr2punla?l?mentdbmaisunelP'yppestd'?l?mentune?l?mentgaucheneutroureloi?.drositionoite1.p1.2.1bensunmblemunid'uneloiinterneb.Siiadmetadmetsilapunourneutrtout??l?mentoiteloiunPneutr:?,alorsonadmeta?l?mentae.bositiononSoit,ourensemblelad'uneloiinterneb.sibetunseulementneutrun,ensemblersmuniadmetd'uneuniloiuinterne?l?mentbe..1.A " x;y
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et?l?mentsqztHusid?nieeteseulement&silesdeuxdrestOnunsiidesnve?l?mentsrctions.sesi?ensemble,drouroiteseulementdeoursoita,retoite,un1.5.9inversed?nie?ontgauchestedetetle.laUn,?l?mentieaP?neutriestdrditositioninversi.boitele?sietgauche,seulemcentquesiunillaadmetpunLinverse.gaucheExemplesi1.5.1.1.L'entierle?l?ment?estPleontseulsurje?l?mentPropri?t?inversibleloip?l?meourlors,laoiteloiseulementd?nie:sur#unsi.aExemple?1.5.2.inverseT,ousclesd?nie?l?mentstde1.5.8.admet:(r$esp.%quise,??rnesp.niensemble?)oursontositioniestnversibles.pSoitourLlaploiomp.l'ensembleExempleq1.5.3.bijeL'?l?ment?l?mentsuninverseestlesledeseule?l?mentfonctioninversiblepdesisurp(rutesp.ztHueun),p?l?mentsourinverselasontloiFinre.SoitExempleb1.5.4.surTadmetoustles.?l?mentsestsauf?erninsontsiinversiblesLpfonctionourlesbloisdi??d?niesetsuruntnverseetgaucheinun.?Exempleoite.1.5.5.pLlaaompfonction:surloipuneqExemple#Lbfonction?deSoit.5.1.'??'1drD?nition?a??desveininvuners'aeinversess??nigauche,drmaispplaasompd'inverse?surdrpoiqtExemplee,.p2.ourensemble.laescinversiblesompourositioncositiond?niesursur.erses:psontvfonctionsqctives..esExemplequi1.5.6.unL?asontfonctioninje:Siseplusrilxi$une'&b'est%?Intel?que1.5ourveo??seulementinetun,??pestqdedealorsasdesquiinunv?ersoiteelessctions.3.deestgaucheinversesemaine.gauche1.5.1.de?unoursoit.une?internegauche,sepquiourunlancneutromprositionAved?nieunsurnverse.drpde.pqb.etExemplesi1.5.7.?undr?oite,demaisppbas3d'inverseA A
x A x A y;z A x y x z
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x
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x y A x y
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x x x x
N; N; Z; Q; R;
Z; Q; R;
ealorscpourunetout,ciativesalors?l?mentsbD?nitionPgrL,opri?t?sileblesbpsiqueest,estbadmetPunealorsdetoutarourt.1OnquiditralorD?nitionsquequeadmetp1.6.1.estqsimpliableorsque?not?drensembleoite.ourPropcosition,1.5.1.nSoitunbruneloi1.5.7.internepassoesciativemuniessuprunununeensembleunrsneutr,ontquioite,admetinversibles.unoup?l?mentditneutrensemble,eciativealoe,.unSoite,oupun?lien,?l?mentNotationdeestbneutr.l'inverseSi.ourneutrest?inversible,palorsExempleilpexistepunquniquep?l?mentouppePestgauche:teldque?bbPinverseanunsatisfaiteetoaloisbcP?l?me,Silesquels.?l?mentsD?nitionProp1.5.Soit2.interneSoitativebOnuneunloiSiinternedeassoiciative?surtousun.ensembleGroup.Un,estquieadmettelunsoit?l?meninternet?l?mentneutr?l?mentetelde?l?ment.inversible.SigrmentnonPUn?l?pestditinversilabomle,.l'uniqueoit?l?mentgrun?lien,Pestsoitettel?l?mentqueet1.6.1.bune,esteneutrenetloi?l?ment?l?mentbquiunAneetesestqappciativeel?assoinversepde,admsoit,unetExempleestpnot?pqui,q,plus.pPropri?t?b1.5.4q.?Soitinversesurununaensemble,.soiPropri?t?tLbprune1.5.6loi'estiasnteprtneutassolesciativeassosurnonciativeommutatives,,d'unquienadmneutretetunour?l?menttousneutrse.ontSiinverse.assoositionest.5.2.inversible,baloilorsassol'inverseidesurl'inverseensemblede,neadmetest?l?mentre..tousPropri?t??l?ments1.5.5Si.unSoitnventeseundrensemble,alorssoilestdebsontune1.6loiesi1.6.1.ntegrreneuneassoairciativepsurqile,dequiunadmetetsoitunloi?l?mentassoneutrsure.quiSoientunloineutretetunelePtoutbdedeuxsoit?l?mePropri?t?nUntoupinversibles.estAvide.lors1.6.2.tgrbesoialoestestinversible,abdesiplusloi:cpmutative.ensemble,1.6.1bLunpqqunSoitoupab1.5.3.l'?l?mente1.5.2.souventbsPropri?t?etd'unPropri?t?rsgauche.not?Propri?t?e1.5.6.ExempleSoitUn??un?l?ment,ensemble,,soitunboupuneabloiliinternepalassod?nieciaartuniv.e1.6.2.etucuommutativedessurairsimpliablep,que,,bsuresq?liens.pneutrinternee.,SoientloiourqetoupbPqe'estdeuxgr?l?mee.n1.6.3.tesinversibles.airAslorsensemble,tqbpoiSoitestinversible,psontgrq,desquioupadmetabun4?l?mentn N Z nZ; 0
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d'?l?mentqpestpunpgrpouppepd'?l?mentabn,ecutrloieair?p?pet2.1.1.telPropri?t?quep:our,toutqquedePtelve,?P-espacentiero?tout,una?lien.lors:punour?l?mentp2.1.3.qqestpabve?li?l?ments.eestn,.est2,EspacespvectorielseDansL'ensembleladesdeuiointtctoriel.eq,orplus,aveestloisoitpl'ensemosantebleeDe1.6,vesoitel'ensemble,.e,ctionssoitOnl'ensemqbleBijestve.ensemble2.1D?nition.4.D?nitionair2.1.1.unUnLe-esplorsacqeBijveo?ctorielqestdesundanstripletappliquepointneutrettlanointqesttelacqueExemple:fonctions1.pppL'?l?meointe.multiplicq?soitununegr2.1.5.ou?l?ments.ptreveabA?lien,audontunonappliquenoteompl'?l?mentcneteutrlaeompoupcgrs;-esp2.ctoriel.psoitquneacloietexterne?l?mentdeOnunestestSoitdansdans,-esp;e3.epsoitourdestout:duloestmo.Ppl'additionq,acdeetmuni?l?mentPOnqonaitPropri?t?:p(a)qpacetsoitedeqsoi?l?menttrSipAnppeqppo?entiersqqdes.qq;l'ensemble(b)fonctionsl'ensembleExempleppBijqla{pq?oint,pppappliqueloiSoitpq?pointf.un-espieqctoriel.;2.1.4.(c)destdedanspmuniosil'additionointppqetlapationementointpctestqaacstrive;Exemple(d)SoitentierLoisunun-espe.ctExempl
