Licence MP semestre Annee Universite de Nice Sophia Antipolis
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence MP semestre 3 - Annee 2006-2007 Universite de Nice-Sophia-Antipolis Erratum correction de la feuille 2 Dans la correction qui suit de l'exercice 8 de la feuille 2, l'ordre des matrices dans le produit donnant M a n'est pas le bon. Il faut ecrire : M a = P 0,a ·M 0 · P a,0 Noter aussi que le symbole ? de composition des applications ne s'emploie pas entre deux matrices.
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Licence MP semestre 3 - Annee 2006-2007 Universite de Nice-Sophia-Antipolis Erratum correction de la feuille 2 Dans la correction qui suit de l'exercice 8 de la feuille 2, l'ordre des matrices dans le produit donnant M a n'est pas le bon. Il faut ecrire : M a = P 0,a ·M 0 · P a,0 Noter aussi que le symbole ? de composition des applications ne s'emploie pas entre deux matrices.
- xg
- ?m0 ?
- ordre des matrices dans le produit
- r4 ?
- id ???????????????
- application ?
- symbole ? de composition des applications
LicenceMPsemestre3Ann´ee20062007
Universit´edeNiceSophiaAntipolis
Erratum correction de la feuille 2
Dans la correction qui suit de l’exercice 8 de la feuille 2, l’ordre des matrices dans le produit donnantMaua´tI.flbenoaplsnst’ere:ecri
Ma=P0,a∙M0∙Pa,0
Noter aussi que le symbole◦de composition des applications ne s’emploie pas entre deux matrices.
LicencedeMathe´matiques Universite´deNice-SophiaAntipolis
DeugMass2-Alg`ebre
Feuille2-Corrige´
Anne´e2003-2004
Exercice 1.SoitEunR-ev. Ondit queEest somme directe deFetGsiE=F+G(avecF+G={x∈E,∃x1∈F,∃x2∈ G, x=x1+x2}) etF∩G={0}itnofieinvilae´uqteen:.D´Eest somme directe deFetG`ireueinuq,eottueut´ecrire,demanspnoi e´le´mentdeEeml´´eund’meomesmmocenedtFtdeemene´´l’dnuteG. •Soitpun projecteur surE. MontronsqueKer(p)⊕Im(p) =E. E=Ker(p) +Im(pil suffit de montrer que) :E⊂Ker(p) +Im(p). Soitx∈E, on poseu=x−p(x) etv=p(x), on au∈Ker(p), v∈Im(p) etx=u+v. En effet,p(u) =p(x−p(x)) =p(x)−p(p(x)) =p(x)−p(x) = 0 doncu∈Ker(p). Etv=p(x)∈Im(p). Ker(p)∩Im(p) ={0}: soitx∈Ker(p)∩Im(p), il existeydansEtel quex=p(y) (carx∈Im(p)), et on a alors x=p(y) =p(p(y)) =p(x) = 0 (en appliquant d’abordp◦p=ppuisx∈Ker(p)), iex= 0. SoientFetGdeux sev deEtels queF⊕G=E. PourtoutxdeEire´ecrpeutonx=xF+xGe`eraminedqinua,eucevxF∈F etxG∈GOn.efid´tenisniuetpparp(x) =xG.Puisonv´erifie: pest un projecteur : pour toutx∈E,p(p(x)) =p(p(xF+xG)) =p(xG) =p(xG+ 0) =xGeuritcreicilis´auti(on’le´e´edciti’lnu dexGsous la formexG+ 0)F=Ker(psi) :x∈FalorsxF=xetxG= 0 etp(x) =xG= 0 doncx∈Ker(p).meuq,tnece´Rorpi six∈Ker(p) alorsx=xF+xGavecxG=p(x) = 0 doncx=xF∈F.G=Im(p) :six∈GalorsxF= 0 etxG=xdonc x=xG=p(xG) iex∈Im(p´R.)piceuqornemesit,x∈Im(p), alorsx=p(u) avecu∈E, iex=p(u) =uG∈G. Exercice 2.•SoitHun hyperplan de l’evE.tsixeesh`leeirhPaotypFppusme´lnueentairedHdansEtel que dim(FSoit) = 1. {u~}une base deFque soit. Quelx∈E, il existe un unique couple (h, f)∈H×Ftel quex=h+f. Orfnttanndoda´ee´nsF, il existeununiquer´eelλftel quef=λf.~une`ttauot.Parcons´equx∈Enoepr´eeeeunlibno´dnerete´nimasutcisodeer¸cfaλx=λf, cequid´efinituneapplicationφ:E→R,φ(x) =λxD.pnoc¸afesne´,eulcsnoedφicationqstl’appleuetcedra`iuevnuEassocie la coordonn´eeλxdans la base{~u}´edeojetduprxsurFontieciradalt`enmele`llarapH. Montrons queφesniltiae´o.eruepntproc´ederdedeuxamine`er:s -SoientDirectement :x, y∈E,α∈RO.osepmoce´dnxetydans la somme directeE=H⊕F. Onax=h1+λxu~.et x=h2+λy~u.ar.Pdiadera`embmitnoembmient:re,onobt x+α.y= (h1+h2) + (λx+α.λy)u.~(∗) Commeh1+h2∈Het (λx+α.λy).~u∈F, (∗tmploasd´)eecsondeitiox+α.ydans la somme directeE=H⊕Fqtiude´denOn.eu φ(x+α.y) =λx+α.λy=φ(x) +α.φ(y)C.e’ts`--arediequφeria.tles´ein -nEce´dopmoastnφetonnoiS.seriae´nmeli-mˆellesonseacitppileanπF:E→Fla projection surFedirecte`alasommssco´ieea E=H⊕Fetc:F→Ruinqun`aicplioatpa’lrdeuctveeFrcisoasdroocaseusee´nno~u, on a :φ=c◦πF. CommecetπFsont lin´eaires,ilenestdemeˆmedeφ. φnsiuneformelin´eiaerteek(reiatsφ) ={x∈E;x=h+ 0F, h∈H}il´nroemlefaaydueeairap,nolentueeqs´onrcφestH.φest de plus non nulle. •uqe’ixtspuopossneRmeue,sntci´eoqprφ:E→Reluqkereunllteleeeaapiprleinocnationliunn´(φ) =Het montrons queH admetunsupple´mentairededimension1dansE. Soit~u∈Etel queφ(u~)6= 0R(un telu~existe puisqueφpoth`esenonnulle.)septrayh Posonsv~= (1/φ(u)).~u. Ona alorsφ(~v) = 1. NotonsFle sev deEenrar´epgendv~et montrons queE=H⊕F. Soitx∈E. Onax−φ(x)v.~∈Hcarφ(x−φ(x)v~.) =φ(x)−φ(x).φ(~v)=0.O´cceirerpnuedtnox= (x−φ(x).~v) +φ(x)v~., avec x−φ(x).~v)∈Hetφ(x).~v∈F. De plus siy∈H∩F, on a :y=.λv~etφ(y) = 0, doncλ=φ(y) = 0 iey= 0. Application :Si lesa1,∙ ∙ ∙, anne sont pas tous nuls, l’applicationφ(x1,∙ ∙ ∙, xn) =a1.x1+∙ ∙ ∙+an.xniaerin´eionltiucanteapepsl n non nulle, son noyau est donc un hyperplan deR, ie qu’il est de dimensionn−1. R 0 Exercice 3.SoitE=C([0,1],R) leR-espace vectoriel des applications continues de [0,1] dansR. SoitF={f∈E;f= 0}.F [0,1] R est un sev deE:Felrm´einreainnnoltseyoneeduaofalnhyperplan,carc’seutleulL:f7→fruseinfie´dEeffet,. EnLest [0,1] biend´efiniedeEdansRsfonctioegraledeeudsnoensnoctnnisd´einelprroeti´’led´tnirae´e´tielpsteetcaxetneuqtnemL´eintlesn.Oreai utilisel’exercicepr´ec´edentpourconclurequeFest un hyperplan (et en particulier c’est un sev) deE. Fegne´rdnapee´nur´eelntmeaddemetdocnopruuspp´lmenetairetoutedroiteE\Fnoitcnopa,pmelerexioetalrdndr´engerlafeepa constante valant 1 sur [0,1]. Exercice 4.•fest surjective ssi pour touty∈Fil existex∈Etel quef(x) =ynEt.rivan´ecx=λ1.x1+∙ ∙ ∙+λn.xndans la base n X n B,fest surjective ssi pour touty∈Fil existe (λ1,∙ ∙ ∙, λn)∈Rtel queλj.f(xj) =yssif(B) est surjective. j=1 n X •fest injective ssi (f(x) = 0F=⇒x= 0E) ssif(λ1.x1+∙ ∙ ∙+λn.xn) =λj.f(xj) = 0F=⇒x=λ1.x1+∙ ∙ ∙+λn.xn= 0E. Or j=1 n X λ1.x1+∙ ∙ ∙+λn.xn= 0Essiλ1=∙ ∙ ∙=λn= 0, puisqueBest une base deE. Onen conclut que :λj.f(xj) = 0F=⇒λ1=∙ ∙ ∙= j=1 λn= 0 ie que la famillef(B) est libre. •´rcee´edtnomtnerqueojnocaLednoitcn´exreusdspatltsuf(B) est une base deFssifest bijective.
