Licence MP semestre Annee Universite de Nice Sophia Antipolis

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence MP semestre 3 - Annee 2006-2007 Universite de Nice-Sophia-Antipolis ALGEBRE LINEAIRE Georges Comte , Laboratoire J. -A. Dieudonne, Universite de Nice-Sophia Antipolis. email : page web L2MP Algebre : comte/L2MP/MP2.html ce document est en ligne : comte/L2MP/CoursAlg.pdf 1

generations d'espaces vectoriels

espaces vectoriels

algebre lineaire

produit scalaires sur rn

universite de nice - sophia-antipolis

operations elementaires sur les lignes

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Licence MP semestre 3 - Ann´ee 2006-2007 Universit´ede
Nice-Sophia-Antipolis
` ´ALGEBRE LINEAIRE
Georges Comte , Laboratoire J. -A. Dieudonn´e, Universit´ede
Nice-Sophia Antipolis.
email : comte@unice.fr
page web L2MP Alg`ebre :
http://math.unice.fr/ comte/L2MP/MP2.html
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h comte/L2MP/CoursAlg.pdf
1Sommaire
Chapitre 1. Espaces vectoriels
1 - Espaces vectoriels ......................... page 4
2 - Sous-espaces vectoriels .................... page 5
3-G´en´erations d’espaces vectoriels ......... page 6
Les objectifs du chapitre 1 ................... page 9
Lesexercicestypespourr´ealiser les objectifs du
chapitre 1 ........................................... page 9
´Chapitre 2. Ecritures d’un vecteur
´1-Ecritures .................................. page 10
´2-Ecriture unique : sommes directes et coordonn´ees
page 12
3-Bases...................................... page 13
2Les notions essentielles des chapitres 1 et 2 page 19
Les objectifs du chapitre 2 .................. page 21
Lesexercicestypespourr´ealiser les objectifs du
chapitre 2 ......................................... page 21
Chapitre 3. Applications lin´eaires
1 - Applications lin´eaires .................... page 23
2 - Espaces quotients ........................ page 26
3 -Matrice d’une application lin´eaire dans un choix
de bases ........................................... page 28
Les notions essentielles du chapitre 3 ...... page 36
Les objectifs du chapitre 3 .................. page 38
Lesexercicestypespourr´ealiser les objectifs du
chapitre 3 ......................................... page 38
Chapitre 4. Calcul matriciel
1-Op´erations ´el´ementaires sur les lignes et les
colonnes ........................................... page 39
2-D´eterminant .............................. page 44
3Les objectifs du chapitre 4 .................. page 50
Lesexercicestypespourr´ealiser les objectifs du
chapitre 4 ......................................... page 50
Chapitre 5. R´eduction des endomorphismes
1 - Droites stables par un endomorphisme - Espaces
propres ............................................ page 51
2-Polynˆome caract´eristique ....... page 52
3 - Diagonalisation ........................... page 54
4 - Trigonalisation ............................ page 55
Les notions essentielles du chapitre 5 ...... page 59
Les objectifs du chapitre 5 .................. page 60
Lesexercicestypespourr´ealiser les objectifs du
chapitre 5 ......................................... page 60
Chapitre 6. Espaces pr´ehilbertiens
n n1 - Produit scalaires sur R et C .......... page 64
2 - Bases orthonorm´ees ...................... page 64
3-Espacespr´ehilbertien . page 65
4 - Projection orthogonale sur un sous-espace page
468
5 - Matrices orthogonales et unitaires ...... page 70
6-Matricessym´etriques et normales ...... page 72
Les notions essentielles du chapitre 6 ...... page 80
5Chapitre 1. Espaces vectoriels
Espaces vectoriels
sous-espaces vectoriels
g´ en´eration d’espaces vectoriels
Dans la suite la lettreK d´ esigneQ ouR ouC.
1 - Espaces vectoriels
n nDes r`egles de calculs usuels surR,C,R ouC se d´egage une
struture alg´ebrique que l’on formalise ici, la structure d’espace
vectoriel. L’´etude de cette structure va mettre a` jour des pro-
pri´et´es communes aux ensembles de cette structure, propri´et´es
parfois d´elicates `aisolersil’´etude ne portait que sur les ensembles
eux-mˆemes.
D´ eﬁnition 1.1. Soit E un ensemble.
• On suppose que l’on peut associer a` tout couple (u, v)
d’´el´ements de E un troisi`eme ´el´ement, que l’on notera u + v (ou
E
plus simplement u + v, lorsque l’on ne craindra pas de confondre
+ et une autre op´erationdumˆeme type) de sorte que :
E
6i- Il existe un ´el´ement particulier dans E,not´e n ,telsque:E
∀u∈ E,u + n = n + u = uE E
ii- Pour tout u∈ E il existe u∈ E tel que u+u = u+u = nE
iii- Pour tout u, v, w∈ E,( u + v)+w = u+(v + w)
On dit alors + est une loi interne sur E,que(E,+)est
E E
un groupe,quen est un neutre de E.Lapropri´et´e iii estE
l’associativit´edelaloi+. Elle permet de se passer des parenth`eses
E
dans une somme, puisque pour eﬀectuer cette somme on peut
proc´eder par associations quelconques.
On montre de plus tr`es facilement :
- qu’il existe un unique neutre dans E,appel´e le neutre de
E,not´e0 (en eﬀet si n et n sont deux neutres de E,onaE E E
n + n = n en voyant n comme un neutre et n + n = n ,E E E EE E E
en voyant cette fois-ci n comme un neutre. Par cons´equent,E
n + n = n = n ).E EE E
-qu’ac` haqueu∈ E correspond un unique u,appel´e l’oppos´e
de u (en eﬀet si u et u sont deux oppos´es de u,( u + u)+u =
0 + u = u,mais(u + u)+u = u+(u + u)=u+0 = u,d’ou`E E
u = u )
• On suppose de plus que l’on peut associer a` tout couple
(λ,u)deK× E un ´el´ement de E,not´eλ.u (ou plus simplement
E
λ.v, lorsque l’on ne craindra pas de confondre . et une autre
E
7op´eration du mˆeme type), de sorte que :
i-∀λ∈K,u,v∈ E, λ.(u + v)=λ.u + λ.v
ii-∀λ,μ∈K,u∈ E,( λ + μ) . u =λ.u +μ.u
E E EK E
iii-∀λ,μ∈K,u∈ E, λ.(μ.u)=(λ.μ) . u
E E K E
iv-∀u∈ E,1 . u = uK
E
On dit alors que (E,+,.)estunespace vectoriel sur K,
EE
que les ´el´ements de E sont des vecteurs et les ´el´ements deK des
scalaires.
Remarque. Si E ={a} est un singleton, on peut le munir
d’une structure d’espace vectoriel surK =Q,R,C etc... en posant
a + a = a et λ.a = a, pour tout λ∈K.Onalors0 = a et cetE E
espace vectoriel est appel´e l’espace vectoriel nul, sa structure
ne d´epend pas de l’´el´ement que contient a, pour cette raison on
note cet espace par E ={0 }.E
Propri´et´e 1.2. — i- Si (E,+,.) est un espace vectoriel le
EE
groupe (E,+) est commutatif,ie∀u, v∈ E, u + v = v + u.
E
ii- Pour tout u∈ E, λ∈K, λ.u=0 ⇐⇒ λ=0 ou u=0 .E K E
iv- Pour tout u∈ E, l’oppos´e u de u est (−1).u.Onnotera
ainsi u par−u.
8Preuve. i- Soient u, v∈ E.Ond´eveloppe (1 +1 ).(u + v)K K
de deux fa¸ cons diﬀ´erentes. Une fois en utilisant les propri´et´es i
puis ii puis iv, ce qui donne :
(1 + 1).(u + v)=(1+1).u+(1+1).v
=1.u+1.u+1.v+1.v = u + u + v + v,
et une seconde fois en utilisant les propri´et´es ii puis ii puis iv, ce
qui donne :
(1 + 1).(u + v)=1.(u + v)+1.(u + v)=u + v + u + v.
On en d´eduit :
u + u + v + v = u + v + u + v
On ajoute alors `a chaque membre de cette ´egalit´e, `a gauche u,`a
droite v,onobtient:
0+u + v+0=0+v + u+0,
c’est-` a-dire :
u + v = v + u.
ii- 0 .u=(0 +0 ).u=0 .u+0 .u. Par ajout de 0 .u deK K K K K K
part et d’autre de cette ´egalit´e on obtient bien : 0 .u=0 .K E
9λ.0 = λ.(0 +0 )=λ.0 + λ.0 . Par ajout de λ.0 deE E E E E E
part et d’autre de cette ´egalit´e on obtient bien : λ.0 =0 .E E
R´ eciproquement, si λ.u=0 et si λ=0 ,ona:1/λ.(λ.u)=E K
(1/λ.λ).u=1.u = u=0 .E
iii- u+(−1).u=1.u+(−1).u=(1+(−1)).u=0 .u=0 ,K E
d’ou(` −1).u = u.
Remarque. Si E ={0 }, puisque card(K)=∞,ils’ensuitE
que card(E)=∞.Eneﬀet,soitu = 0, l’application φ :K→ E
d´ eﬁnie par φ(λ)=λ.u est injective, puisque λ.u = λ .u implique
(λ−λ ).u=0 , ce qui donne bien par la proposition 1.2.ii, λ = λ .E
Exemples d’espaces vectoriels. Quel que soit n ∈ N,
n n nK est un K-ev, C est un Q et un R-ev, R est un Q-ev.
L’ensemble des applications F = {f : A → E} o`u A est un
ensemble quelconque et E unK-ev est unK-ev pour les op´erations
+et· d´ eduites de celles de E (Voir td feuille 1). En particulier
l’ensemble des suites `a valeurs dansK est unK-ev.
`A partir de ces espaces nous en mettons d’autres en ´evidence
: des sous-espaces vectoriels de ceux-ci.
2 - Sous-espaces vectoriels
Si (E,+ ,. )estunK-espace vectoriel et F un sous-ensembleE E
10

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