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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSIT LYON I LICENCE (MATHMATIQUES PURES) VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES - 2003 -

principe du maximum

logarithme complexe

principe du prolongement analytique

∂q ∂y

thorme de rouch

conditions de cauchy

quations de cauchy-riemann

dveloppement en srie entire

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Principe du maximum Logarithme complexe

UNIVERSIT LYON I

LICENCE (MATHMATIQUES PURES)

VARIABLE COMPLEXE

EXERCICES

- 2003 -

ANNALES

Tabledesmatie`res

1Holomorphie:proprie´te´se´l´ementaires 1.1 Holomorphie et conditions de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2Conside´rationsge´ome´triques.....................

2S´eriesenti`eres 2.1 Disque de convergence et comportement au bord. . . . . . . . . . 2.2 Dveloppement en srie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Thorme de Liouville et formule de Parseval . . . . . . . . . . . . .

3 Homographie et fonctions classiques 3.1 Les homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Les fonctions circulaires et hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Le logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Les fonctions puissances non enti` s . . . . . . . . . . . . . . . . ere

4Inte´gralescurvilignes 4.1 Calculs explicites et majoration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Les lemmes de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Primitives de fonctions holomorphes et indices 5.1 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 9

13 13 14 15

17 17 18 19 21

23 23 24 24

25 25 26

` TABLE DES MATIERES

The´ore`medeGoursatetformulesdeCauchy29 6.1 Thorme de Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 6.2 Formules de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6.3 Analyticit des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Ze´rosdesfonctionsholomorphes,prolongementanalytiqueet principe du maximum 35 7.1Z´erosd’unefonctionholomorphe..................35 7.2 Principe du prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Points singuliers et fonction ´ rphes 43 s meromo 8.1Naturedessingularit´es........................43 8.2Fonctionsm´eromorphes........................44 8.3 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Th´eore`medesre´sidus47 9.1 Le thorme des rsidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 9.2 Le thorme de Rouch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Chapitre 1

Holomorphie:proprie´te´s e´le´mentaires

1.1 Holomorphie et conditions de Cauchy

Exercice 1.1.1SoitUun ouvert deCetf:U→C. On noteP=<e(f)et Q==m(f)les parties relle et imaginaire def. a)Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes : (i)fest holomorphe surU. (ii) Pour toutz0∈U,fest diﬀrentiable enz0etDfz0estC-linaire. (iii) Pour toutz0=x0+iy0∈U,fest diﬀrentiable enz0et∂f∂y(z0) = i∂∂fx(z0)inﬁe´drap(,ontixf∂∂(z0) =∂Px∂(x0, y0) +i∂Qx∂(x0, y0)et∂f∂y(z0) = ∂∂yP(x0, y0) +iy∂∂Q(x0, y0)). (iv) Pour toutz0=x0+iy0∈U,fest diﬀrentiable enz0etfvriﬁe les quations de Cauchy-Riemann, c’est dire que ∂∂Px(x0, y0) =∂Qy∂(x0, y0) et∂P∂y(x0, y0) =−∂Q∂x(x0, y0). b)Montrer que sifest holomorphe enz0=x0+iy0∈Ualors pour tout u∈C, on aDfz0(u) =f0(z0)u. En dduire que : f0(z0) =xP∂∂(x0, y0) +Q∂ix∂(x0, y0)etJ acfz0=|f0(z0)|2.

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