Licence L3 option de geometrie synthese octobre
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence L3 - option de geometrie synthese 2 27 octobre 2004 Theoreme. Soient D et D? deux droites du plan R2 secantes en un point A, B, C deux points de D distincts de A et B?, C ? deux points de D? egalement distincts de A. Alors les droites (BB?) et (CC ?) sont paralleles si et seulement si on a l'egalite ABAC = AB? AC? . A B? C? C B D? D Exercice. Montrer que chacun de ces deux theoremes se deduit de l'autre. 1.5. Barycentre Soient E un R espace vecoriel, n un entier strictement positif, A1, . . . , An n points de E, ?1, . . . , ?n n reels. On etudie la fonction ? : E ? E, M 7? ∑1≤i≤n ?i ????MAi. Proposition. Avec les donnees ci-dessus (a) Si ∑1≤i≤n ?i est nul alors ?(M) ne depend pas de M . (b) Si ∑1≤i≤n ?i est non nul alors il existe un unique point G tel que ?(G) = 0 et on a pour tout point M ?(M) = ( ∑ 1≤i≤n ?i) ???GM . En particulier l'application ? est bijective. Preuve : on compare, pour M et M ? deux points de E, ?(M) et ?(M ?) : ?(M ?) = ?(M) + ( ∑ 1≤i≤n ?i) ???? MM ? .
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Licence L3 - option de geometrie synthese 2 27 octobre 2004 Theoreme. Soient D et D? deux droites du plan R2 secantes en un point A, B, C deux points de D distincts de A et B?, C ? deux points de D? egalement distincts de A. Alors les droites (BB?) et (CC ?) sont paralleles si et seulement si on a l'egalite ABAC = AB? AC? . A B? C? C B D? D Exercice. Montrer que chacun de ces deux theoremes se deduit de l'autre. 1.5. Barycentre Soient E un R espace vecoriel, n un entier strictement positif, A1, . . . , An n points de E, ?1, . . . , ?n n reels. On etudie la fonction ? : E ? E, M 7? ∑1≤i≤n ?i ????MAi. Proposition. Avec les donnees ci-dessus (a) Si ∑1≤i≤n ?i est nul alors ?(M) ne depend pas de M . (b) Si ∑1≤i≤n ?i est non nul alors il existe un unique point G tel que ?(G) = 0 et on a pour tout point M ?(M) = ( ∑ 1≤i≤n ?i) ???GM . En particulier l'application ? est bijective. Preuve : on compare, pour M et M ? deux points de E, ?(M) et ?(M ?) : ?(M ?) = ?(M) + ( ∑ 1≤i≤n ?i) ???? MM ? .
- premiere application
- unique scalaire
- transitivite dans le calcul du barycentre proposition
- barycentre du systeme
- systemes de points ponderes
- faisceau de droites paralleles
LicenceL3-optiondegeometriesynthese227octobre2004 02 Theoreme. SoientDetDdeux droites du planRseteanecntoinpnusA,B, Cdeux points deD 0 00 00 distincts deAetCB ,deux points deDnemesidtlagenctidetsAles droites (. AlorsBB) et (CC) 0 AB AB sontparallelessietseulementsional’egalite=. 0 AC AC
0 0 C D 0 B A B D C
Exercice..ertua’dseesemeltduiededecdsuetxhoerMontrerquechacun
1.5.Barycentre SoientEunRespace vecoriel,nun entier strictement positif,A1. . ,, .Annpoints deE, 1, .. . , nn P → reels.Onetudielafonctionϕ:E→E,M7→ iM Ai. 1in Proposition.eesscdiovnencelsusA-des P (a) Si iest nul alorsϕ(M) ne depend pas deM. 1in P (b) Si iest non nul alors il existe un unique pointGtel queϕ(G) = 0 et on a pour tout point 1in P → M ϕ(M) = ( i)GM. Enparticulier l’applicationϕest bijective. 1in 0 0 Preuve :on compare, pourMetMdeux points deE,ϕ(M) etϕ(M) : X → 0 0 ϕ(M) =ϕ(M) + ( i)M M. 1in P Si ( illbepaepnertracy)estulonnonnpstndnoere(susedtysedemoiepAi, i) le pointGtel 1in queϕ(G) = 0. Terminologie.On dit aussi queGest le barycentre des pointsAids aspoiesdeect idit qu’un. On pointMdeEest un barycentre des pointsAis’il existen-reels 1,. . . , ntels queMsoit le barycentre dusysteme(Ai, i). Onappelle isobarycentre des pointsAile barycentre des pointsAict eanucahcse du poids 1. Ilexisteunpluspetitsous-espaceanedeEcontenant tous lesAi: c’estl’intersection de tous les sous-espacesanesdeEcontenant chacun desAieennegnpse-aecaleleusso’anlelppesd.rOeparlAi. Proposition.SoientA1,. . . ,Annpoints d’un espace vectorielE. L’ensembledes barycentres des points Aiecavsole-eusacspcnoedicaendeeEeparlesneegdnrAi. Exemple.SoientAetBdeux points distincts deEdes barycentres des points. L’ensembleAetBest la droite (AB). L’ensembledes barycentres des pointsAetBe aoidsposictesdepsegeemtnitsfselt [A, BairprceVo].rgarehpasopoapelcanouslrt.eevix
Transitivitedanslecalculdubarycentre Proposition.Soientmetndeux entiers strictement positifs, (Ai, i)1imet (Bj, j)1jndeux P systemesdepointsponderesd’unespacevectorielE. Onsuppose que les scalairesjet 1jn P P i+jOn notesont tous deux non nuls.Bstsydure(meeeltnecyrabBj, j). Alorsle 1im1jn barycentredusystemedem+npoints ponderes (Ai, i),(Bj, jlebarycentredesc)onicedvacem+ 1 P points ponderes (Ai, i),(B, j). 1jn Preuve :les applicationsϕ:E→Eedeccanutmesssysociasacheestnosserselinpodeesendpots meˆmes. Premiereapplication.SoitABCunlaupLen.eenedrdnongeairtelgntenctenerse’intenssdeaisimtsor l’isobarycentre des pointsA,B,C(donc sont concourrantes).
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1.6.ssruelhcpatier1omCeplntme Egalitededeuxdroitesanes SoitEdaLinenoitneuqsaounsvonndoedenuespacevectoriel.rdiou’enenedetaEest celle d’un sous-espaceanenonvidedeEdont la direction est de dimension 1, c’est a dire est un sous-espace vectoriel deEegnenoitu’dsensilueprntcoensrasiretcaracsruecteuunveeparndrvanooNsuun.lnrno droiteane:droitepassantparunpointAde vecteur directeuru(u6= 0), droite passant par deux 2 points distinctsA, B, et, dansR,ted’droieen.nneinodearncestqueioat UnedroiteanedeEest un sous-ensemble deExd,uetioneniards).Peteirporpseniartcentarie(v droitesanesdeEostnelsseageuleietssielmenteltnoselsemeˆmsntmeeels. Proposition. (a)DeuxdroitesanesdeEmunetcompoinntunllsesteisontagesselsteieluentmeleeldmsateet ontmeˆmedirection. (b) Ladroite passant par un pointAet de vecteur directeurusetroadepitalegalepnurtnioassaaptn → Bet de vecteur directeurvsi et seulement siuetvaireineisetsctlosnoABsealoctenieriau. (c) SoientA6=BetC6=Dquatre points deEdroites (. LesAB) et (CDmeluesteisselageton)sent → →→ → si les vecteursABetCDostnesirsietlicoeanACniloiaereactseAB. 20 0 0 (d) DansRorrnstieespet’cdeduquteadoxiiveax+by+c= 0 eta x+b y+cos0=etntlegaiess 0 0 0 seulement si les triplets (a, b, c) et (b ,ca ,noitroporptnos)dia--st’e(clsneres’ilssontcolineiaers 3 commeelementsdeR).
Mesurealgebriquesurunfaisceaudedroitesparalleles Unfaisceaudedroitesparallelesestl’ensembledesdroitesparallelesaunedroitedonnee.Ilestdonc caracteriseparladonneed’unvecteurnonnuldeE, vecteur directeur commun a chacune des droites du faisceau.Onappellemesurealgebriquesurlesdroitesdufaisceaurelativementaul’application qui a un → couple de pointsM,Nortimedeenˆmdu’ssoceauaaiscedufialacseuqinu’leiretel queM N=u. On note ce scalaireM N. 0 0 Soient (M, N), (M ,Nxuedpuoc)s,ntacchsdleoiepscouundeetaplesmretnofxuopededund’tsine 0 0M N mˆemedroitedufaisceauetMetantdistinctdseN.eLuqtoeitnneepddpenudsaiohcudx 0 0 M N vecteuru. OncompletelesecondtheoremedeThalesdonneensection1.4: 02 Theoreme. SoientDetDdeux droites du planRunpointactnseneseA. SoientB, Cdeux points 0 00 0 deDdistincts deAetCB ,deux points deDelemeagtsnitnidsdcteAles droites (. AlorsBB) et 0 0AB BB (CCss=eistuee.lemtnisno)lsaon’tgpealraatlileele 0 AC CC 0 00 ,B Exercice.Y a t-il une relation entre les grandeursA1A1 1B1etC1Csereshyouslesehtopimerpuds 1 theoremedeThales?
2 2.Structure euclidienne canonique sur l’espaceR SoitEunRUn produit scalaire sur-espace vectoriel.Eest une applicationEE→R— on noterauv l’image d’un couple (u, velpsorrpiteessuivantes:—v)rienta – Pourtoutu∈E, l’applicationE→R,v7→uviaernieeˆemD.metoutpourtlesv∈El’application u7→uvl’applicalorsquetaoi(nsteO(.etidnnilriaeu, v)7→uv.)reasieeiniltb – Ona l’egaliteuv=vupour tousu, v∈Edit que l’application (. (Onu, v)7→uvmetstsye.)rique –uufdtisipouesqertstsetnemetciuest di erent de 0.
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