Licence de Sciences Economiques Annee Universite de Nice Sophia Antipolis Mathematiques L1
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Licence de Sciences Economiques Annee 2008-2009 Universite de Nice Sophia-Antipolis Mathematiques L1 Feuille 4 extremum libre, extremum avec contrainte, fonctions homogenes Exercice 1 – (Deuxieme session 2005) On considere la fonction { f : R2 ? R (x1, x2) 7? x 2 1 + x1x2 + x 2 2 + x1 + 2x2 + 4. 1. Justifier en une phrase que f admet des derivees partielles d'ordre deux. 2. Soit (x1, x2) ? R2, determiner ∂f ∂x1 (x1, x2) et ∂f ∂x2 (x1, x2). 3. Soit (x1, x2) ? R2, determiner ∂2f ∂x21 (x1, x2), ∂2f ∂x22 (x1, x2), ∂2f ∂x2∂x1 (x1, x2) et ∂2f ∂x1∂x2 (x1, x2). 4. Montrer que ∂f ∂x1 (0, ?1) = 0 et que ∂f ∂x2 (0, ?1) = 0. Calculer f(0, ?1). 5. Soit (x1, x2) ? R2, calculer ∂2f ∂x21 (x1, x2)? ∂2f ∂x22 (x1, x2)? ( ∂2f ∂x1∂x2 (x1, x2) )2 . 6. Montrer que f admet en (0,?1) un extremum local.
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Licence de Sciences Economiques Annee 2008-2009 Universite de Nice Sophia-Antipolis Mathematiques L1 Feuille 4 extremum libre, extremum avec contrainte, fonctions homogenes Exercice 1 – (Deuxieme session 2005) On considere la fonction { f : R2 ? R (x1, x2) 7? x 2 1 + x1x2 + x 2 2 + x1 + 2x2 + 4. 1. Justifier en une phrase que f admet des derivees partielles d'ordre deux. 2. Soit (x1, x2) ? R2, determiner ∂f ∂x1 (x1, x2) et ∂f ∂x2 (x1, x2). 3. Soit (x1, x2) ? R2, determiner ∂2f ∂x21 (x1, x2), ∂2f ∂x22 (x1, x2), ∂2f ∂x2∂x1 (x1, x2) et ∂2f ∂x1∂x2 (x1, x2). 4. Montrer que ∂f ∂x1 (0, ?1) = 0 et que ∂f ∂x2 (0, ?1) = 0. Calculer f(0, ?1). 5. Soit (x1, x2) ? R2, calculer ∂2f ∂x21 (x1, x2)? ∂2f ∂x22 (x1, x2)? ( ∂2f ∂x1∂x2 (x1, x2) )2 . 6. Montrer que f admet en (0,?1) un extremum local.
- extremum local
- ∂h ∂x2
- deuxieme session
- identite d'euler
- r2 ?
- derivees partielles d'ordre
- r2 ??
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Licence de Universite´
´ SciencesEconomiques de Nice Sophia-Antipolis
Anne´e2008-2009 Mathe´matiquesL1
Feuille 4 extremumlibre,extremumaveccontrainte,fonctionshomog`enes Exercice 1–ueD(e`ix00n25)semeioss Onconside`relafonction ( 2 f:R→R 2 2 )7→x+x x+x+x+ 2x+ 4. (x1, x2 11 22 12 1. Justifieren une phrase quefatemddsedire´o’dreredxu.v´eespartiellesd ∂f ∂f 2 2. Soit(x1, x2)∈Rrenimre(etd´,x1, x2() etx1, x2). ∂x1∂x2 2 22 2 ∂ f∂ f∂ f∂ f 2 3. Soit(x1, x2)∈R(nimrred,ete´x1, x2), (x1, x2), (x1, x2() etx1, x2). 2 2 ∂x1∂x2∂x2∂x1∂x1∂x2 ∂f ∂f 4. Montrerque (0,−1) = 0 et que(0,−Calculer1) = 0.f(0,−1). ∂x1∂x2 ! 2 2 22 ∂ f∂ f∂ f 2 5. Soit(x1, x2)∈R(, calculerx1, x2)×(x1, x2)−(x1, x2) . 2 2 ∂x1∂x2∂x1∂x2 6. Montrer quefadmet en (0,−1) un extremum local.Est-ce un maximum local ou un minimum local ? 7. Trouverles points critiques defapseeitrre´de´viedresllord’-ta`d-ri(’csetso`uleselespoin un s’annulent). Exercice 2–xueD(seseme`i2006sion) Onconsid`erelafonction: 2 22 f:R−→R,(x , x)7 1 2−→f(x1, x2) =x1+ 2x−2x1x2−x2+ 1. 2 1) Justifier en une phrase quef´erilesdulerCalcue.xrdde’drollseiertpaes´eiverd´sedtemdaee´vs partielles d’ordre 1 et d’ordre 2 def. 2) Trouver les points critiques deft-`a-dir(c’esst`oluseleseopnipaesierterd´´eivuerdnsellro’d s’annulent). 3) Montrer quefentxemutdaecr´.Palocmlmure’dtiga’sli’sresinuamixumomu`’dnumini-mum.
Exercice 3–( 2 h:R→R Soithofalitcnd´onniefiarep 2 (x1, x2)7→(2x1+x2)−4x1−2x2+ 7.
1.Quelestledomainedede´finitiondehla fonction? Pourquoihse´dlldetee-amd´eeseriv 2 partielles surR. 2. Chercherles points critiques deh. Exercice 4–ixueD(sseseme`e`eralofcnitno:ion2006)Onconsid 2 f:R−→R,(x1, x2)→7−f(x1, x2) = ln(x1+ 1) + 2ln(x2+ 1). 1)D´eterminerledomainedede´finitiondefntse´eprreleetuqmene.trergpaih On restreindra dans la suite la fonctionfmadoedin`onasitfin´eedn.io 2)Calculeralorslesde´riv´eespartiellesd’ordreundefonncd´sieleronafoitc:nO. 2 g:R−→R,(x1, x2)7−→g(x1, x2) = 2x1+ 5x2−10. 3)De´termineruncoupleder´eel(x1, x2) satisfaisantx1>0,x2>0 et tel que : g(x1, x2) = 0 ∂f ∂g∂f ∂g (x1, x2) (x1, x2)−(x1, x2) (x1, x2) = 0. ∂x1∂x2∂x2∂x1 3 On note Ω ={(x1, x2, λ)∈Rtel quex1>0 etx2>0}eth: Ω−→Rfie´dpeincnofnoitlaar: (x1, x2, λ)7−→h(x1, x2, λ) = ln(x1+ 1) + 2ln(x2+ 1) +λ(2x1+ 5x2−10). 4)De´terminerlespointscritiquedehs(,c’ea`tseridpseltniox1, x2, λ) de Ω tels que ∂h ∂h∂h (x1, x2, λ() =x1, x2, λ() =x1, x2, λ) = 0. ∂x1∂x2∂λ 2 5) On suppose que la restriction defau sous-ensemble deRieparl’´d´efinqeauitnog(x1, x2) = 0 2 admet sur{(x1, x2)∈Rtel quex1>0 etx2>0}qnerleuemumextrunimentere.l´Dolac pointcetextremumlocalestatteintetsavaleur.(Onutiliseraunre´sultatducours).
3 Exercice 5–Soitf:R→R,(x1, x2, x3)7→f(x1, x2, x3) =x1+x2+x3. 3 22 2 Soitg:R→R,(x1, x2, x3)7→g(x1, x2, x3) =x+x+x. 1 2 3 3 22 2 On poseS={(x1, x2, x3)∈Rtels quex+x+x= 1}. 1 2 3 3 1) Montrer queSobe´e´nrnutsmrefedeR. 2)Pr´ecisercequ’estlarestrictionf|Sdefa`S? 3)Montrerencitantunthe`ore`meducoursqu’ilexisteunpointa= (a1, a2, a3) deStel que la restrictionf|Sdefa`Sadmet un maximum et un pointb= (b1, b2, b3) deStel que la restriction f|Sdef`aSadmet un minimum. 4) Quels sont les points critiques deg? 4 Soith:R→R,(x1, x2, x3, λ)7→h(x1, x2, x3, λ) =f(x1, x2, x3) +λ(g(x1, x2, x3)−1). 5)De´terminerlespointscritiquesdeh. 6)De´duired’unth´eor`emeducoursquel’onpr´eciseralespointso`ularetrictionf|Sdef`aS admetunmaximumetceuxo`ucetterestrictionadmetunminimum.Quecelasignifiet’ilpour les valeurs prises parf?
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Exercice 6–D(00)6nOocsndie`eraeluoxfic`neimtensoes:sion2 2x1x2 h:R−→R,(x1, x2)7−→h(x1, x2) =. x1+x2 1)D´eterminerledomaineded´efinitionDhde la fonctionhiqphrarg.ntmeueperelteetnese´r On restreindra dans la suite la fonctionh.nofie´ditinaiomdene`andso 2)Montrer`apartirdelad´efinitiond’unefonctionhomog`enequehoihtncon`ogfoemnuetnsee etpr´ecisersondegre´d’homoge´n´eit´e. 2 3) Montrer queDhest un ouvert deR. 4) Pourquoi la fonctionhntsoudoonesllrtsunfie´oitiniamdedemdteadesee-lliv´ed´errtieespa ?Calculerlesd´eriv´eespartiellesd’ordreundeh. ´ 5)Ecrirel’identit´ed’Eulerquesatisfaitlafonctionhalcuruncectcldir,s´vP.iureaprefiiette identite´. 7) calculer surDhllessecondesde´drevie´seaptreieslfdetehwSctzar..re´Vrefiidi’litne Exercice 7–)0280isnosesei`erPrem( 2 f:R−→R 3 3 Onconside`relafonctionfrapeinfie´dx−x 1 2 (x1, x2)7→−f(x1, x2) =. x1x2 1.D´eterminerledomainedede´finitionDfdefihuqrgpa.tmene´eprreetleerntse 2.Donnerlad´efinitiondenoˆcsopefiti. Est-ce-quel’ensembleDfetsnuˆcnoepositif? 3. Montrerque la fonctionfemohoeng`tuneene`gomohtsefinitad´eantlilisitnoofcnu’enoidn (nepasoublierdepre´cisersondegr´ed’homog´ene´ite´). 4.Citerlethe´or`eme(identite´)d’Euler.Pourquoipeut-onl’appliquer`alafonctionf? 5.Calculerlesd´eriv´eespartiellesd’ordre1delafonctionf. 6.V´erifierl’identite´d’Euler. 7. CalculersurDfre´de´viapseeitreslsecollesdendesffiire´Vreneit’ldihwScdete..tzar Exercice 8–1l:rennoD)´dedinfiemodeeniancfoontiontilade 2 2 x x 3 12 f:R→R,(x1, x2, x3)7→ −. x2x3 Puis,montrerquesurcedomaineded´efinition,cettefonctionesthomog`ene.Pr´ecisersondegre´ d’homog´ene´it´e.V´erifierl’identite´d’Euler. 2)Meˆmequestionaveclafonction: 1/4 3/4 2 g:R→R,(x1, x2)7→17x1x2.
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