Licence de mathematiques L3 janvier Universite Claude Bernard Lyon Departement de Mathematiques U F R Sciences et technologies
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence de mathematiques L3 14 janvier 2010 Universite Claude Bernard (Lyon 1) Departement de Mathematiques - U.F.R. Sciences et technologies Algebre et theorie des nombres - Corrige Examen I - Arithmetique (4 points) La comete A qui est visible exactement tous les 26 ans a ete observee il y a 4 ans. La comete B qui est visible exactement tous les 14 ans a ete observee il y a 10 ans. Dans combiens d'annees pourra-t-on observer simultanement les cometes A et B ? Soit n ? Z. Les cometes peuvent(ou ont pu) etre observees simultanement dans n annees (il y a ?n annees) si et seulement si { n ? ?4 (mod 26) n ? ?10 (mod 14) Par le theoreme des restes chinois, la premiere equation est equivalente a { n ? ?4 ? 9 (mod 13) n ? ?4 ? 0 (mod 2) et la seconde a { n ? ?10 ? 4 (mod 7) n ? ?10 ? 0 (mod 2) Le systeme est donc equivalent a ? ? ? n ? 9 (mod 13) n ? 4 (mod 7) n ? 0 (mod 2) En utilisant l'identite 7 ? 2 ? 13 = 1 et le theoreme des restes chinois, il suit que le systeme des deux premeres equations est equivalent a n ? 9? 14? 4? 13 (mod 91), c'est-a-dire n ? 74 (mod 91).
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Licence de mathematiques L3 14 janvier 2010 Universite Claude Bernard (Lyon 1) Departement de Mathematiques - U.F.R. Sciences et technologies Algebre et theorie des nombres - Corrige Examen I - Arithmetique (4 points) La comete A qui est visible exactement tous les 26 ans a ete observee il y a 4 ans. La comete B qui est visible exactement tous les 14 ans a ete observee il y a 10 ans. Dans combiens d'annees pourra-t-on observer simultanement les cometes A et B ? Soit n ? Z. Les cometes peuvent(ou ont pu) etre observees simultanement dans n annees (il y a ?n annees) si et seulement si { n ? ?4 (mod 26) n ? ?10 (mod 14) Par le theoreme des restes chinois, la premiere equation est equivalente a { n ? ?4 ? 9 (mod 13) n ? ?4 ? 0 (mod 2) et la seconde a { n ? ?10 ? 4 (mod 7) n ? ?10 ? 0 (mod 2) Le systeme est donc equivalent a ? ? ? n ? 9 (mod 13) n ? 4 (mod 7) n ? 0 (mod 2) En utilisant l'identite 7 ? 2 ? 13 = 1 et le theoreme des restes chinois, il suit que le systeme des deux premeres equations est equivalent a n ? 9? 14? 4? 13 (mod 91), c'est-a-dire n ? 74 (mod 91).
- isometrie fixe
- formule de burnside
- reduction modulo
- deduire de la question precedente
- h?1 ·
- irreductible de degre
- anneaux z
- q¯
Licencedemath´ematiquesL3 Universite´ClaudeBernard(Lyon1) D´epartementdeMathe´matiques-U.F.R.Sciencesettechnologies
14 janvier 2010
Alge`breetth´eoriedesnombres-Corrige´Examen I-Arithm´etique(4points) Lacome`teAquiestvisibleexactementtousles26ansa´ete´observe´eilya4ans.Lacom`eteB quiestvisibleexactementtousles14ansa´ete´observ´eeilya10ans.Danscombiensd’anne´es pourra-t-onobserversimultan´ementlescome`tesAetB? Soitn∈Z.Lcoessantdenme´natlumissee´vtreobserontpu)ˆevune(tuo`mteseepns(een´anliy a−nientsulemetse)sis´neena n≡ −4 (mod26) n≡ −14)10 (mod Parlethe´or`emedesresteschinois,lapremie`re´equationest´equivalentea` n≡ −4≡9 (mod13) n≡ −4≡2)0 (mod etlaseconde`a n≡ −10≡4 (mod7) n≡ −10≡0 (mod2) Lesyste`meestdonce´quivalent`a n≡9 (mod13) n≡4 (mod7) n≡2)0 (mod Enutilisantl’identite´7×2−13 = 1t`emesyseli,sionileuqtiusesedemr`chesstreettleoh´e desdeuxpreme`res´equationsest´equivalenta`n≡9×14−4×13 (mod91)rie,c’est-`a-dn≡74 (mod 91)arted´epmedest`eelysio,shcnitssereesedemr`eoh´utdedia’la`uaevuonA.nelate´tsviuq a`n≡182)74 (mod. Lescome`tesAetBebtsreer(v`´aeneoounvtdeoanuc)ˆo´nmpenueodrtrssmiluatsan74ans.
II-Op´erationdegroupe(12points).
1. SoitGun groupe fini agissant sur un ensemble finiX. Soitnle nombre d’orbites. (a)D´emontrerlaformuledeBurnside(a`l’aidedelaformuledesclasses): X 1 g n=|X| |G| g∈G g ou`X={x∈X;g∙x=x}. Soit D=|{(g, x)∈G×X;g∙x=x}|. D’une part X X g |D|=|{(g, x)G× ∈X;g∙x=x}|=|X|. g∈G g∈G
