Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence de Mathématiques 2008-2009 L3 Algèbre effective td 5 : Pgcd de polynômes à une variable Calcul du pgcd et relation de Bézout de polynômes à une variable On va constater que le calcul du pgcd et de la relation de Bézout en utilisant le même algorithme d'Euclide que sur les entiers pose sur les polynômes à une variable des problèmes de croissance des coefficients. Exercice 1 : Ecrire deux fonctions, une récursive et une itérative, qui prennent en entrée deux polynômes a et b en la variable x et rendent le pgcd de a et b , vous aurez besoin de la fonction rem . Tester sur les polynômes suivants : > p1:=x^8+randpoly(x);p2:=randpoly(x); := p1 ? ? ? ? + +x8 85 x5 55 x4 37 x3 35 x2 97 x 50 := p2 + + + + ?79 x5 56 x4 49 x3 63 x2 57 x 59 Vous pouvez consulter l'aide sur randpoly pour savoir ce que fait cette fonction et quelles sont ses options. Solution Exercice 2 : Ce que les tests nous apprennent est que le pgcd de p1 et p2 est une constante, p1 et p2 sont premiers entre eux, on pourrait dire pgcd(p1,p2)=1. Le pgcd de deux polynômes est-il déterminé de manière unique ? Le moins qu'on puisse dire est que l'algorithme d'Euclide ne rend pas une constante simple ! Pour mieux comprendre ce qui se passe, modifiez vos fonctions pour qu'elles affichent chaque reste calculé (vous aurez besoin de
- coefficients entiers
- variable des problèmes de croissance des coefficients
- polynômes intervenant dans le calcul
- relation de bézout de polynômes
- pgcd
- entiers pose sur les polynômes