Licence de Mathematiques
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence de Mathematiques, annee 2010-2011 5MT02 Feuille d'exercices 1 Theorie des ensembles, relations d'equivalence. 1. Soit X et Y deux ensembles, f : X ? Y une application, et A ? X et B ? Y . Simplifier les deux expressions : f(f?1(f(A))) et f?1(f(f?1(B))). 2. Soit f : X ? Y une application. Montrer que (a) f est injective ? ?A ? X f?1(f(A)) = A. (b) f est surjective ? ?B ? Y f(f?1(B)) = B. 3. Soit X, Y et Z trois ensembles. (a) Soit f : X ? Y et g : Y ? Z deux appli- cations. Montrer que si l'application com- posee g ? f est injective, alors f est injec- tive, puis montrer que si l'application g ? f est surjective alors g est surjective. (b) Soit f : Y ? X et g : Z ? X deux applica- tions. Montrer qu'il existe une application h : Z ? Y telle que g = f ?h si et seulement si on a g(Z) ? f(Y ). A quelle condition h est-elle unique ? (c) Soit f : X ? Y et g : X ? Z deux applica- tions.
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Licence de Mathematiques, annee 2010-2011 5MT02 Feuille d'exercices 1 Theorie des ensembles, relations d'equivalence. 1. Soit X et Y deux ensembles, f : X ? Y une application, et A ? X et B ? Y . Simplifier les deux expressions : f(f?1(f(A))) et f?1(f(f?1(B))). 2. Soit f : X ? Y une application. Montrer que (a) f est injective ? ?A ? X f?1(f(A)) = A. (b) f est surjective ? ?B ? Y f(f?1(B)) = B. 3. Soit X, Y et Z trois ensembles. (a) Soit f : X ? Y et g : Y ? Z deux appli- cations. Montrer que si l'application com- posee g ? f est injective, alors f est injec- tive, puis montrer que si l'application g ? f est surjective alors g est surjective. (b) Soit f : Y ? X et g : Z ? X deux applica- tions. Montrer qu'il existe une application h : Z ? Y telle que g = f ?h si et seulement si on a g(Z) ? f(Y ). A quelle condition h est-elle unique ? (c) Soit f : X ? Y et g : X ? Z deux applica- tions.
- relation d'equivalence
- composition des applications notee
- application lineaire entre e˜
- e˜ ?
- bijec- tion
- classe d'equivalence
- tables des operations dans z
LicencedeMath´ematiques, anne´e2010-2011 5MT02
Feuille d’exercices 1 Th´eoriedesensembles,relationsd’´equivalence.
1. SoitXetYdeux ensembles,f:X→YuneDeux ensemblesXetYstnetopiuqe´tnos application, etA⊂XetB⊂Y.e^emltmeslnotsiiemenseulsiet −1 Simplifier les deux expressions :f(f(f(A))) etcardinal. −1−1 f(f(f(B))). (a)Quelsensdecette´equivalenceest-iltrivial 2. Soitf:X→Yune application.?Montrer que −1suppose(b) OnX⊂Yet #Y≤#X. (a) fest injective⇔ ∀A⊂X f(f(A)) =A. i. Montrerqu’il existeZ⊂Xopetqeiu´tn −1 (b) fest surjective⇔ ∀B⊂Y f(f(B)) =B. a`Y. Onnote alorsg:Y→Zune bijection. 3. SoitX,YetZtrois ensembles. ii. SoitC0=Y\Xque. MontrerC0∩ (a) Soitf:X→Yetg:Y→Zdeux appli-g(C0) =∅. cations. Montrerque si l’application com-Onde´finitparre´currenceCk, pourk≥ pose´eg◦fest injective, alorsfest injec-0, en posantCk+1=g(Ck). tive, puis montrer que si l’applicationg◦f iii. Montrerque pour toutnet toutk < n est surjective alorsgest surjective. , on aCn∩Ck=∅. (b) Soitf:Y→Xetg:Z→Xdeux applica-On poseC=∪CketD=∪k≥1Ck. k∈N tions. Montrerqu’il existe une application iv. MontrerqueY\C=X\D. h:Z→Ytelle queg=f◦hsi et seulement v. Montrer queh:Y→Xefiniepar´d si on ag(Z)⊂f(Y). h(x) =g(x) six∈Ceth(x) =xsinon, ` A quelle conditionhest-elle unique ? est une bijection. (c) Soitf:X→Yetg:X→Zdeux applica-(c)Traiterlecasge´ne´ral. tions. Montrerqu’il existe une application 6. Soit{Ei}une famille d’ensembles h:Y→Ztelle queg=h◦fsi et seulementi∈N 0 0 d´enombrables.OnposeE=Enpose. On si∀x, x∈Xon a :f(x) =f(x)⇒g(x) = 0 F0=E0d´efinit,etonFnruercneepra´rcen g(x). n−1 posantFn=En\ ∪ `k=0Ek. A quelle conditionhest-elle unique ? (a) Montrerque les (Fn)n∈Nux`antdeosdeux 4. Soitf:X→Yune application. disjoints. (a)Montrerl’´equivalencedesproprie´te´ssuiv-(b) MontrerqueE=∪Fn. antes :”il existeg:Y→Xtelle que Ond´esigneparfnune injection deEndans f◦g=IdY” et ”fest surjective”. Nond´efinit.Etf:E→N×Npar (b)Montrerl’e´quivalencedesproprie´t´essuiv-f(x) = (n, f(n`u,o))nest tel quex∈Fn. antes :”il existeg:Y→Xtelle que (c) Montrerquefli’sqt’ugatibienestnieed´efi g◦f=IdX” et ”fest injective”. d’une injection. Soit deux ensemblesXetYeriude´deuq.End)(Elb,euqeed´tosnebmar l’ensembledespolynoˆmesa`coefficientsen-5.nDs:itio´efin tiersestd´enombrable,quel’ensembledes -On dit queXetYe´uqostnisexils’tsenotip-cejibenuet parties finies deN-enetleabbromne´dtse tion deXsurY. 1 finquel’ensembledesnombresalge`briques -On dit queXa un plus petit cardinal queYs’il existe estd´enombrable. une injection deXdansY. On note alors #X≤#Y. -On dit queXetYnoacemeˆmtsialinrd#X≤#Yet7. SoitAsndelembr´esbrompmocsleeertnesir’lnees #Y≤#X.tnoceneitntnomsnorecicsuonetscerexanDdont0et1evelled´emtnpoepmliela´dce th´eor`emedeCantor-Bernstein:quedes1etdes8. 1 Onrappellequ’unr´eelxse´ieqeuleesu’nirltalge´setbrlopnu’denicartseencieffico`ameˆoynli’n.s’Sitrestneriqug`ebasalestp transcendant.
(a) Montrerque l’on a #N≤#A. 13.Lemme des bergers On suppose queAt`aotenquipste´eNSoit. SoitXetYOn suppose quedeux ensembles.X ´ fune bijection deNsurAtacilppanoinontstiatEon.ceuned`ernfiee´inenotdsf:X→ un entierntlasuiteond´efini,(an,k)Y. k∈NX −1 parf(n) = 0, an,1∙ ∙ ∙an,k∙ ∙ ∙. OnCard(X)= Card(pose alorsMontrer que :f(y)). x= 0, a1,1a2,2∙ ∙ ∙an,n,∙ ∙ ∙ety= 1−x.y∈Y (b) Montrer quexetyx´eltdeuntsd´emeesno 14. On reprend les notations de l’exercice 12 et on A. suppose queEetFsont des espaces vectoriels, queEest de dimension finie et quefest une ap-(c)Quellienexiste-t-ilentrelesde´cimalesdex plicationlin´eaire.Onconside`re{e1,∙ ∙ ∙, ek}une et celles dey? base de kerfo’leuqe`lpmocnrpate{f1,∙ ∙ ∙, fl} (d) Soitp∈Ntel quef(p) =yles. Comparer pour obtenir une base deE. ie`me pealedecimd´xet deypeut on en. Que ˜ conclure ?(a) MontrerqueEettˆmureeupcurt-’dinsenu ture ”naturelle” d’espace vectoriel.Montrer (e) MontrerqueRest un ensemble qui n’est pas ˜ qu’alorsfreeenteairlin´enoitacilppaenuts d´enombrable. ˜ EetF. ˙ 8. (a)Montrer que le produit fini d’ensembles(b) Montrerque 0E= kerf. de´nombrables(´equipotents`aunepartiede ˙ ˙˜ (c) Montrerque{f1,∙ ∙ ∙, fl}est une base deE. Ndte´)see.rablnomb (d)D´emontrerlethe´ore`medurang. N (b) MontrerqueN, l’ensemble des suites 15.Extrait du partiel de novembre 2008 d’entiers,n’estpasde´nombrable. Onconsid`eresurRla relationRduoreip,e´nfi 9. Montrer que l’ensemble des nombres transcen-x∈Rety∈RparxRy⇔(y−x)∈Z. dantsn’estpasde´nombrable. (a)Ve´rifierqueRest une relation 10. SoitXetYenuxdefiselbmeseˆmedsinelcn.enO´’qeiuavdtaecenom-irdarxla classe nal. Montrerque pour une applicationf:X→cneledeqe´’aviudx∈Rpour cette rela-Yt,eontiteet´vitiecnji,e´tivitcejib,spri´et´etroisprolseR/Zl’ensemble quotient deRpar surjectivite´,sonte´quivalentes.R. (b) Expliciter0, puis exprimerx+ 1,ainsi que 11. SoitE´dnOinfierustneuemnse.blP(E), (−x), en fonction dex. l’ensemble des parties deE, les relationsR1et (c) Montrer que pour toutx∈Rl’ensemble R2par :AR1Bsi #A≤#BetAR2BsiAest x∩[0,1[ est un singleton.On noterarxson ´equipotent`aB. unique´ele´ment. (a) MontrerqueR1n’est pas une rela-(d) Montrerque l’applicationϕ:R/Z7→[0,1[, tion d’ordre et queR2est une relation d´efinieparϕ(x) =rxest une bijection. d’´equivalence.2 (e) Montrer que pour tout (x, y)∈Ron a : (b)De´crirelesclassesd’´equivalencedeR2x+y=rx+ry. lorsqueE=R. 16. Soitn≥2esurd`ernoisO.cnitrenuneZla re-12. SoitEetFdeux ensembles, et soitf:E→Flaee´tonetnavius.noit≡e´eelpptaecongruence Ond´efinitsurEla relationRsuivante :modulonuqeits´dfieinperaeta≡b⇔ ∃k∈ Zb−a=kn. ∀x∈E∀y∈E xRy⇔f(x) =f(y). (a) Montrerqu’il s’agit d’une relation d’e´quivalencesurZessal´ePr.acrlseci (a)V´erifierqueRest une relation de´quivalencede0etd’unentierquelconque d’e´quivalence. a∈Z. ´ Etantdonne´x∈E, on notexclasse˙ sa d’´equivalencepourcetterelation.(b)Montrerquepourtouta∈Zil existe un uniquer=radans{0,1,∙ ∙ ∙, n−1}tel que (b) Quepeut-on dire de ces classes a≡r(modn). d’´equivalencesifest injective ? (c)D´eterminerlecardinaldel’ensemblequo-(c) Montrer que pour toutx∈Eon ax˙ = tientZ/≡´eton,Z/nZ. −1 f(f(x)). (d) Montrerque≡est compatible avec ˜ ˜ Onde´finitsurE:=E/Rla fonctionfpar l’addition et la multiplication surZ. ˜ f(x=˙ )f(x). (e)Ond´esigneparaecedlaneusqaveisa’ldlec´ ˜ (d) Montrerquefbiend´efinie.tse a∈ZdansZ/nZqu’il existe sur. Montrer 2 ˜ ˜ˆ (e) Montrer quef:E→f(E) est une bijec-Z/nZtira´eopneuqeeuno+etll∀(a, b)∈Z, ˆ tion.a+b=a+b.
