Licence AEM SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence AEM SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES March 31, 2006 1 Exemples et Definitions 1.1 De l'usage des systemes differentiels en modelisation De nombreux problemes de mecanique , d'electromagnetisme ( etude des circuits electriques ) , de biologie , d'economie conduisent a des systemes differentiels lineaires . Par exemple le probleme du mouvement plan de trois billes de meme masse equidistantes sur un fil horizontal , qui conduit au probleme : ..x = ?2x +y +f1..y = x ?2y +z +f2..z = y ?2z +f3 en notant x,y,z les coordonnees de chacune des particules sur un axe perpen- diculaire au fil . Un tel systeme est un systeme differentiel lineaire d'ordre deux . Les deux points au dessus de x sont une notation commode pour la derivee seconde . 1.2 Quelques definitions Definition 1 On appelle systeme differentiel lineaire du premier ordre a coefficients constants tout systeme de n equations differentielles lineaires du premier ordre de la forme : (S) ? ? ? ? ? ? ? .x1 = a1,1x1 +... +a1,nxn +b1(t).x2 = a2,1x1 +... +a2,nxn +b2(t) ... ... ... ... ... .xn = an,1x1 +... +an,nxn +bn(t) o t designe une variable reelle , o les xi sont des fonctions de la variable t de classe C1 sur un intervalle I de R, a valeurs dans R ou C, o les ai sont des
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Licence AEM SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES March 31, 2006 1 Exemples et Definitions 1.1 De l'usage des systemes differentiels en modelisation De nombreux problemes de mecanique , d'electromagnetisme ( etude des circuits electriques ) , de biologie , d'economie conduisent a des systemes differentiels lineaires . Par exemple le probleme du mouvement plan de trois billes de meme masse equidistantes sur un fil horizontal , qui conduit au probleme : ..x = ?2x +y +f1..y = x ?2y +z +f2..z = y ?2z +f3 en notant x,y,z les coordonnees de chacune des particules sur un axe perpen- diculaire au fil . Un tel systeme est un systeme differentiel lineaire d'ordre deux . Les deux points au dessus de x sont une notation commode pour la derivee seconde . 1.2 Quelques definitions Definition 1 On appelle systeme differentiel lineaire du premier ordre a coefficients constants tout systeme de n equations differentielles lineaires du premier ordre de la forme : (S) ? ? ? ? ? ? ? .x1 = a1,1x1 +... +a1,nxn +b1(t).x2 = a2,1x1 +... +a2,nxn +b2(t) ... ... ... ... ... .xn = an,1x1 +... +an,nxn +bn(t) o t designe une variable reelle , o les xi sont des fonctions de la variable t de classe C1 sur un intervalle I de R, a valeurs dans R ou C, o les ai sont des
- theoreme d'existence et d'unicite de cauchy
- solution generale
- theoreme
- equation differentielle
- structure des espaces des solutions des systemes
- axe perpen- diculaire au fil
- systeme fondamental
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March 31, 2006
1ExemplesetD´efinitions 1.1Del’usagedessyste`mesdiff´erentielsenmode´lisation Denombreuxproble`mesdem´ecanique,d’e´le´ctromagn´etisme(e´tudedes circuitse´lectriques),debiologie,d’e´conomieconduisent`adessyste`mes diff´erentielsline´aires.Parexempleleprobl`emedumouvementplandetrois billesdemeˆmemassee´quidistantessurunfilhorizontal,quiconduitau proble`me: .. x=−2x+y+f1 .. y=x−2y+z+f2 .. z=y−2z+f3 ennotantx,y,zlescoordonne´esdechacunedesparticulessurunaxeperpen-diculaireaufil.Untelsyste`meestunsyste`mediffe´rentielline´aired’ordre deux .Les deux points au dessus de x sont une notation commode pour la de´riv´eeseconde.
1.2Quelquesde´finitions D´efinition1tsyselleppanOeltienerff´dime`edepuerimil´naeriaerordre` coefficientsconstantstoutsyst`emeden´equationsdiff´erentielleslin´eairesdu premier ordre de la forme : . x1=a1,1x1+...+a1,nxn+b1(t) . x2=a2,1x1+...+a2,nxn+b2(t) (S) ... ...... ...... . xn=an,1x1+...+an,nxn+bn(t) otde´signeunevariabler´eelle,olesxisont des fonctions de la variablet 1 de classeCsur un intervalle I deRans,`avaleursdRouC, o lesaisont desre´elsoudescomplexes,etlesbides fonctions de la variabletcontinues surI,`avaleursdansRouC.Le point au dessus dex1est une notation pourlad´erive´epremi`ere.
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Il est commode d’utiliser la notation matrices-colonnes pour exprimer un syste`mediffe´rentiel: De´finition2En notantA= (ai,j)∈Mn(K), etX(t),B(t)les matrices colonnes : x1b1(t) X(t) =... B(t) =... xnbn(t) . lesyste`me(S)s’´ecrit:X(t)=AX(t) +B(t)matrice A est la matrice. La . dusyst`eme.Lesyste`me(SH):X(t)=AX(t)medesy`tertnffie´sanlsietleses secondmembreassocie´a`(S). Onpeute´galementfaireappelauxendomorphismesetauxfonctionsvecto-riellespoure´crirelesyst`eme: n Proposition 1En notantfl’endomorphisme deKde matrice A en base −→−→ canonique etx(t),b(t)es´enndolseevtcuesredocroxi(t)etbi(t)en base canonique,lessyt`emespr´ece´dentss’´ecriventrespectivement: d−→−→−→d−→−→ (S)x(t) =f(x(t)) +b(t) (SH)x(t) =f(x(t) dt dt −→−→ On utilise ici des fonctions vectoriellest−→x(t) ett−→b(t) de I dans n K.ssdontinceev´ri´eisuqa,nisrofleue 1.3 Exemple Mettrelesyst`eme: x=x+2y+1 y= 2x+y sous forme matricielle. 1.4Equationdiffe´rentielleline´airescalaired’ordren Unee´quationdiffe´rentiellelin´eairescalaired’ordren,delaformme: n n−10 (En)y(t) +an−1y(t) +...+a1y(t) +a0y(t) =c(t) peuts’e´crirecommeunsyst`emelin´eairedene´quationsdupremierordre L’e´quationsanssecondmembreassoci´eeest: 0n n−10 )y(t) (En+an−1y(t) +...+a1y(t) +a0y(t) = 0 Examinonsparexemplelecasdel’´equation: 00 0 (E2)y(t) +by(t) +cy(t) =g(t) Elles’´ecrit: µ ¶µ ¶µ ¶µ ¶ 0 y(t1) 0y(t) 0 = + 00 0 y(t)−c−b y(t)g(t)
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2Existenceetunicite´delasolution 2.1 Conditionsinitiales n De´finition3On appelle condition initiale un point deI×Kde la forme : (t0, y1, ..., yn)noiditnooprunucesyst`emesoudrelee´R.tse’ec´enndoleiaitin chercher une solutionX(t)telle que :∀i∈1, n:xi(t0) =yi.
2.2The´ore`med’existenceetd’unicit´edelasolution Th´eore`me1hTe´roe`emedACCUHY(admis)Pourtouohctedxi-noc ditionsinitialeslesyst`eme(S)(respectivement(SH))admetunesolution unique,de´finiesurI(respectivementsurR). Cethe´ore`meestadmisdanslecasge´ne´ral;nousendonneronsunede´monstration danslecaso`ulamatriceestdiagonalisable.Nousallonsmaintenantexam-inerlastructuredesespacesdessolutionsdessyste`mes(S)et(SH).
3Structuredesespacesdesolutionsd’unsyst`eme diff´erentielline´aire Proposition 2uutdsynsutosees`elmoSt(u)oHissenmbledesss-L’ense pace vectoriel de dimension n de l’espace des fonctions vectorielles de classe 1 CsurK, que nous noteronsESH. Onnoteraqueladimensiondel’espacedessolutionsprovientduth´eor`eme d’existenceetd’unicit´edeCauchy.Eneffet,fixonsparexemplet0= 0 . n L’application deKdansESHcevnruetuqua`iyde conditions initiales −−→ associe la solution telle quex(0) =yOr unest alors un isomorphisme . isomorphisme conserve les dimensions . Proposition 3S(e)anojtuna`tlationg´en´eraledeonOeitbaltnuloso-as lutionge´n´eralede(SH)unesolutionparticuli`erede(S). Lesre´sultatspre´ce´dentss’appliquentbiensuˆra`l’e´quationdiffe´rentielle scalaire (En)´,ceeunsyst`ritecommtner;leidemee´ffilota:rsobonenti Proposition 4em-essoLnodsulitqeaule´’n´lionticaesireanaserialmdnocess 0 bre d’ordre n(E)forment un sous espace vectoriel de l’espace des fonctions n n C(R, K)tnjaneatuoalern´´engioutolsaL.ient’obtetesmpl`noocauit´’qedele a`lasolutionge´n´eraledeEn`eredearticulilotuoipnnuse(En).
4Syst`emefondamentaldesolutions 4.1Utilite´d’unsyst`emefondamental Onappellesyste`mefondamentaldesolutionsde(S)unefamillelibreden fonctions vectorielles solutions de (S) : −→−→ {φ1, ..., φn}
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