Les calculatrices sont autorisées
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
1 / 6 Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 6 pages. Notations : On note : ? : l'ensemble des entiers naturels, ? \ : l'ensemble des nombres réels, ? ^ : l'ensemble des nombres complexes. Pour z appartenant à ^ , on note z son module. Pour tout entier naturel n, on note : ? !n la factorielle de n avec la convention 0! 1= , ? a b0, n l'ensemble des entiers naturels k vérifiant 0 k n≤ ≤ , ? n k ? ?? ?? ? le nombre de parties ayant k éléments d'un ensemble de n éléments, pour a b0,k n? . On rappelle : ? la valeur de n k ? ?? ?? ? : ( ) ! ! ! n k n k? pour a b0,k n? ,
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- redaction
1 / 6 Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 6 pages. Notations : On note : ? : l'ensemble des entiers naturels, ? \ : l'ensemble des nombres réels, ? ^ : l'ensemble des nombres complexes. Pour z appartenant à ^ , on note z son module. Pour tout entier naturel n, on note : ? !n la factorielle de n avec la convention 0! 1= , ? a b0, n l'ensemble des entiers naturels k vérifiant 0 k n≤ ≤ , ? n k ? ?? ?? ? le nombre de parties ayant k éléments d'un ensemble de n éléments, pour a b0,k n? . On rappelle : ? la valeur de n k ? ?? ?? ? : ( ) ! ! ! n k n k? pour a b0,k n? ,
- convergence de la série
- combinaison linéaire des sommes
- ?? ?
- combinaison
- sommes ks
- n?
- entier naturel
Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. **** Le sujet comporte 6 pages. Notations : On note : ` :l'ensemble des entiers naturels, \ :l’ensemble des nombres réels, ^ :l’ensemble des nombres complexes. Pourzappartenant à^,on notezson module. Pour tout entier natureln, on note : n! la factorielle den avec la convention0!=1, 0,n l'ensemble des entiers naturelsk vérifiant0k≤n, n nombre de parties ayant lek éléments d'un ensemble den éléments, k pourk∈0,n. On rappelle : nn! : pourla valeur dek∈0,n, kk!(n−k)!
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la formule du binôme : siz etz sont des nombres complexes etn un entier naturel, 1 2 n nn k n−k ∑ alors:(z+z)=z z. 1 2 1 2 k k=0 n 1 11 Enfin sinest un entier naturel non nul on noteσla somme=1+ +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +n∑ k=1k2n eton poseσ=0 . 0 Objectifs :Dans les parties I et II on étudie un procédé de sommation, la partie III est consacrée à l’étude de diverses fonctions et en particulier une fonctionà laquelle on applique ledit procédé de sommation. Étude d’un procédé de sommationDans les parties I et II les notations utilisées sont les suivantes : Toute application de`dans^étant une suite complexe, si a est une telle suite, on utilise la notation usuellea(n)=a. n n 1n * * ar :pour tout n∑ Á toute suite complexea, on associe la suiteadéfinie pn∈`,an=ak. 2k=0k * L’objet des parties I et II est de comparer les propriétés de la sérieaaux propriétés de la série ∑ n n≥0 ∑n a. n≥0 PARTIE IDeux exemples I.1/ Casd’une suite constante. * eaest définie par : pour toutn∈`,a=. Soitα∈^; on suppose que la suitn n n ∑ I.1.1pour/ Explicitern∈`. k k=0 * I.1.2/ Expliciterapourn∈`. n * ∑n∑n I.1.3série/ Laa( resp.a) est –elle convergente ? n≥0n≥0 I.2/Cas d’une suite géométrique. n utn∈,a=z. Soitz∈^; on suppose que la suiteaest définie par : pour to`n 2 / 6
* I.2.1/ Exprimeraen fonction dezetn. n I.2.2/ Onsuppose quez<1. +∞ ∑ I.2.2.1la convergence de la série/ Justifieraet expliciter sa sommeA(z)=a. n n n≥0n=0 +∞ * * I.2.2.2/ Justifierla convergence de la sérieaexpliciter sa somme eta en ∑n∑n n≥0n=0 fonctiondeA(z). I.2.3suppose que/ Onz≥1. ∑n I.2.3.1/ Quelleest la nature (convergente ou divergente) de la sériea? n≥0 * I.2.3.2/ Quelleest la nature dea siz= −2? n n≥0 iθ I.2.3.3/ Onsuppose quez=eréel tel que, avec0<θ<π* Montrerque la sérieaest convergente. Calculer la partie réelle et la n n≥0 +∞ * partieimaginaire de la sommea. n n=0 PARTIE IIÉtude du procédé de sommation * Dans cette partie, et pour simplifier, on suppose que la suiteaest à valeurs réelles, la suiteaétant n 1n * . toujours définie par : pour toutn∈`,an=n∑ak 2k k=0 II.1/ Comparaisondes convergences des deux suites. * II.1.1/ Soitn∈`, on considère un entierkfixé,k∈0,n. n II.1.1.1/ Préciserun équivalent delorsquentend vers+∞. k 1n II.1.1.2/ Enlorsquedéduire la limite den tend vers+∞. n 2k II.1.2/ Soientaune suite réelle etqun entier naturel fixé. q na k q∑ On considère pourn>qla sommeS(n,a)=. n k=0k2 Quelleest la limite deS(n,a)lorsque l’entierntend vers+∞? q 3 / 6
II.1.3/suppose que Ona tend vers0lorsquen tend vers+∞; n * Montrer queatend vers 0 lorsquen tend vers+∞. n II.1.4suppose que/ Onatend versl(limite finie) lorsquentend vers+∞. Quelle est la n * limitedealorsquentend vers+∞? n II.1.5/convergence de la suite La(a) est-elle équivalente à la convergence de la suite n n∈` * (a)? n n∈` * ∑ ∑ II.2/ Comparaisondes convergences des sériesa eta. n n n≥0n≥0 n n *n n∑k T=a,U=2T. Pourn∈`, on noteS=a,n kn n k=0k=0 II.2.1/Pourn∈0, 3, exprimerU comme combinaison linéaire des sommesS, n k n c’està dire sous la formeU=λS. ∑ n n,k k k=0 II.2.2/On se propose de déterminer l'expression explicite deU commecombinaison n linéairedes sommesS pourk∈0,n: k n ∑ (E)Un=λn,kSk pourn∈`. k=0 II.2.2.1/ A quelle expression des coefficientsλ (en fonction den etk) peut-on n,k s'attendrecompte tenu des résultats obtenus à la questionII.2.1? II.2.2.2par récurrence sur l'entierla formule/ Etablirn (on pourra remarquer ( ) quepour toutk∈0,n:a=S−S avec la conventionS=0 ). k kk−1−1 II.2.3/On suppose que la sériea est convergente. n n≥0 +∞ ** Montrerque la sériea est convergente et exprimer la sommeaen ∑n∑n n≥0n=0 +∞ fonctionde la sommea. ∑ n n=0 ∑ II.2.4/La convergence de la sériea est-elle équivalente à la convergence de la série n n≥0 * a? ∑ n n≥0
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PARTIE IIIUne étude de fonctions n 1* On rappelle que :σ=pourn∈`etσ=0 . n∑0 k=1k Pour réel,lorsque cela a du sens, on pose : +∞n+∞n+∞ xσn n ∑∑ f(x)=;g(x)=;ϕ( )∑σn =x. n=0(n+1)!n=0n!n=0 III.1/Étude de . III.1.1que est/ Vérifierdéfinie et continue sur\. III.1.2/ Expliciterf(x)pour toutréel. −x III.1.3/ Explicitere fx)pour toutréel. III.2/de Étudeg. 1 III.2.1/ Montrerquegsurest définie et de classe\. III.2.2/ Ondésigne parg'la dérivée de la fonctiong; exprimerg'−gen fonctionde . III.2.3/ Montrerréel :que pour tout x x−t g(x)=e ef(t)dt. ∫0 III.3/La fonctionF. Onconsidère la fonctionFdéfinie sur\par : x −t F(x)=e f(t)dt. ∫0 III.3.1/ Montrerque la fonctionFest développable en série entière sur\et expliciterson développement. k+1 n (−1) * γ=. III.3.2/ Pourn∈`, on noten∑ k=1k(k!) (n−k)! Exprimerγen fonction denetσ. n n
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k+1 (−1) III.4/La série . ∑ k≥1k * Pourn∈`on noteln(n)le logarithme repérien den. k+11* III.4.1/ Soitw=ln−pourk∈`k kk+1 III.4.1.1/ Montrerque la sériewest convergente. ∑k k≥1 III.4.1.2déduire que la suite de terme général/ Enσ−ln(n)admet une limite n finie(que l’on ne demande pas de calculer) lorsquentend vers∞. k+1 n (−1) * III.4.2/ Pourn∈`, on poseτ=; exprimeren fonction ∑ n2n k=1k deσetσ. 2n n k+1 (−1) III.4.3/ Montrer en utilisant III.4.1 et III.4.2 que la sérieest ∑ k≥1k k+1 +∞ (−1) ∑ convergenteet déterminer sa somme. k=1k III.5/Étude de la fonction . +∞ n Onrappelle quepour réelϕ( )=σx. ∑ n n=0 n ∑n III.5.1de la série entière/ Déterminerle rayon de convergenceσ. n≥1 III.5.2/ Préciserl’ensemble de définition∆de la fonctionϕ, et étudier ses variationssur[0,. 1 III.5.3/Valeur deϕ. 2 Enutilisant les résultats de la partie II et de la question III.4.3 expliciter la 1 valeurdeϕ. 2 1 III.5.4/ Expliciterϕ( )àpour appartenant∆et retrouver la valeur deϕ. 2 Fin de l'énoncé6 / 6
