Le theoreme fondamental de l'algebre rendu effectif une preuve reelle algebrique par les suites de Sturm
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2009
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Niveau: Supérieur
Le theoreme fondamental de l'algebre rendu effectif : une preuve reelle algebrique par les suites de Sturm Michael Eisermann Institut Fourier, Universite Grenoble I www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 23 janvier 2009 Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Charles-Franc¸ois Sturm (1803–1855) Seminaire de calcul formel et complexite, Universite Rennes I 1/30
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Le theoreme fondamental de l'algebre rendu effectif : une preuve reelle algebrique par les suites de Sturm Michael Eisermann Institut Fourier, Universite Grenoble I www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm 23 janvier 2009 Carl Friedrich Gauß (1777–1855) Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Charles-Franc¸ois Sturm (1803–1855) Seminaire de calcul formel et complexite, Universite Rennes I 1/30
- racines complexes de polynomes complexes
- polynomes
- formule d'inversion de cauchy suites de sturm
- racines reelles de polynomes reels
- formule du produit invariance par homotopie
23 janvier 2009
Michael Eisermann
Institut Fourier, Universit ´e Grenoble I www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm
Leth´eor`emefondamentaldel’alg`ebrerendueffectif: unepreuvere´ellealg´ebriqueparlessuitesdeSturm
03/ni,U´eit´eitrsve
Prologue
Lethe´or`emefondamentaldel’alg`ebre,aliasGauß-d’Alembert,estunre´sultat classiquedesmathe´matiquesdu19esie`cle.Ilestsouventutilise´,cit´e, enseigne´,...etm´eritedoncuneattentionappropri´ee.Ilrested’actualit´e,par exemple concernant ses aspects algorithmiques ou nume´ riques.
Sidenosjoursl’e´nonce´duth´or`emen’aplusriendesurprenant,lapreuve e re´ellealge´briquequejepr´esenteiciesttr`esremarquable:elleeste´l´egante, e´l´ementaire,eteffective.Cetexpose´apourobjectifdelapopulariser.
Lapreuver´eellealge´briqueestbase´esurdeside´esdeGauß(1799),Cauchy (1831/37), et surtout Sturm (1836), mais semble inconnue de nos jours. J’ai euleplaisirdelad´ecouvrirenpr´eparantuncoursdecalculformel,etj’ai´et´e ensuitetre`ssurprisdenepaslatrouverdanslalitt´eraturemoderne.
Ainsimacontributionconsistea`remettrecettebelled´emonstrationa`la lumie`redujour,apr`esplusd’unsi`ecledansl’oubli,etdede´velopper l’esquisse de Sturm en due rigueur.
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Plan
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Le the´ ore` me fondamental de l’alge` bre Leth´eor`emeetsonhistoire Racinesreellesdepolynoˆmesr´eels ´ Racinescomplexesdepolynˆomescomplexes
Sturm1829/1835:racinesre´ellesdepolynoˆmesr´eels L’indicedeCauchypourlespolynˆomesr´eels La formule d’inversion de Cauchy Suites de Sturm
Sturm1836:racinescomplexesdepolynˆomescomplexes L’indice de Cauchy pour les polyn ˆ pl es omes com ex La formule du produit Invariance par homotopie
Conclusions et perspectives
Reference : ´ ´ The Fundamental Theorem of Algebra made effective : an elementary real-algebraic proof via Sturm chains. www-fourier.ujf-grenoble.fr/˜eiserm/publications.html#roots
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Leth´eore`mefondamentaldel’alge`bre
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The´ ore` me (version bre` ve) Tout polynome complexe de degre´nadmetnracines complexes. ˆ
The´ ore` me (version longue) SoitRtoitsseel´esrrebmonsedsprocelC=R[i]`uoi2=−1. Alorspourtoutpolynˆome F=Zn+c1Zn−1+∙ ∙ ∙+cn−1Z+cn a coefficientsc1, . . . , cn−1, cn∈Cil existez1, z2, . . . , zn∈Ctels que ` F= (Z−z1)(Z−z2)∙ ∙ ∙(Z−zn).
Questions naturelles : Existe-t-iluned´emonstration´ele´mentaire?quicaptelage´ome´trie? Peut-onaffaiblirl’hypoth`ese?a`quelscorpsordonn´esaulieudeR? Peut-on renforcer la conclusion ? la rendre effective ?
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Quelques protagonistes
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Scipione del Ferro (1456-1526) Niccol`oFontanaTartaglia(1500-1557) Gerolamo Cardano (1501-1576) Lodovico Ferrari (1522-1565) . . . Niels Henrik Abel (1802-1829) ´ Evariste Galois (1811-1832)
Albert Girard (1595-1632) Rene´ Descartes (1596-1650) Gottfried Leibniz (1646-1716) . . . Leonhard Euler (1707-1783) Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) Pierre-Simon Laplace (1749-1827) . . . Carl Friedrich Gauß (1777-1855)
Augustin Louis Cauchy (1789–1857) Charles-Franc¸ ois Sturm (1803–1855)
Tourisme mathematique ´
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Strat´egiesdepreuve
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Onconnaıˆttroisstrat´egiesdepreuve: 1...to,Ss,keraegontieu,sni´tnalatyqionctionsacit´e,fpmoc:esylanA (d’Alembert 1746, Argand 1814, Cauchy 1820) ; 2oriedeGaloismye´rtqieu/shte´fos,meˆossontincpIVT:erbnylopruolg`eA (Euler 1749, Lagrange 1772, Laplace 1795, Gauß 1816) ; 3 : notion d’indice [ briqueTopologie alge´winding number] (Gauß 1799/1816, Cauchy 1831, Sturm–Liouville 1836)
Lapreuvepr´esent´eeiciest alge´ briquere´ elleet se situe entre 2 et 3.
Cettepreuver´eellealg´ebrique,qu’est-cequ’elleoffred’int´eressant?
✔lee´.slEelest´el´ementairea:irht´mteqieuT+VIdespolynˆomesr ✔ el clos.les arguments sont valables sur un corps re´Tous ✔La preuve est constructive : elle permet de localiser les racines. ✔plimme´ecifa`aleasfifnemmretnustetimheetsLa’glro.caceteffi ✔deetme`eor´ethdu.emhtirogla’lemonD´leelofmritnotsar
Sous des hypothe` ses minimales nous obtenons des conclusions maximales.
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Desnombresre´elsauxcorpsr´eelsclos
2
Th´e`me(caracte´risationdesnombresre´els) eor Pourtoutcorpsordonn´e(R,+,∙,≤)ostn´equivalents: 1(R,≤)re.rieuup´essitatiaf’la`ioaxdemebolaesrn 2Tout intervalle[a, b]⊂Rest compact. 3Tout intervalle[a, b]⊂Rest connexe. 4Toutef:R→R des valeurs interme´ diaires :continue a la proprie´ t ´e a < b∧f(a)<0< f(b) =⇒ ∃x∈R:a < x < b∧f(x) = 0. Deux tels corps sont isomorphes par un unique isomorphisme de corps. Un tel objet existe : on l’appelle le corps des nombres re´ els, note´R.
Cecin´ecessitelalogiquedesecondordre.Beaucoupmoinssuffira:
Definition(corpsr´eelclos) ´ Un corps ordonne´(R,+,∙,≤)est ditosr´eelcl mesi tout polynoˆ P∈R[X]ruselruseav´tdeire´iresediaerm´sintsla`aopprisatitfaR.
Exemples : les nombres re´ elsRlesr´eelsalg´ebrqi,eusQc⊂R . ., . Tout corps ordonn ´e admet une unique cloˆ ture ´ lle. Exemple :R(X)c. ree
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Compl´ementssurlescorpsre´elsclos
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Remarque Dansuncorpsre´elclosl’ordreestd´etermin´epara≥0⇔ ∃r∈R:r2=a.
D´emonstration.Poura >0 mele polynoˆX2−aa une racine dans[0,1 +a].
Th´e`me(cloˆturere´elle) eor Tout corps ordonne´(K,+,∙,≤) re´ elle,admet une cloˆ ture c’est-`a-direuneextensionalge´briqueR⊃K close. ellequi soit re´ Deuxtellesclˆoturessontisomorphesparununiqueisomorphismedecorps.
Laclˆoturer´eelleestdoncbienplusrigidequelacloˆturealg´ebrique!
Th´eor`eme(Artin–Schreier1927) SoitRun corps et soitC⊃Remeuqirb.solctnuncolg´erpsa Si1<dimR(C)<∞alorsRelclosetestr´eC=R[i].
Ainsilescorpsre´elsclosnousfournissentl’hypoth`eseminimale.
The´ ore` me (Tarski 1951, Seidenberg 1954) Lescorpsre´elsclosonttouslamˆemethe´oriee´le´mentaire.
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Racinesre´ellesdepolynˆomesre´els
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Commentd´eterminer/majorerlenombrederacinesdeP∈R[X]dans[a, b]?
Re´ ponses partielles par Descartes (1596-1650), Fourier (1768-1830), . . .
Th´eor`emedeSturm(1829/35) SiRrolasstr´elos,eelc#˘x∈[a, b]˛P(x) = 0¯=Vab`S0, S1, . . . , Sn´.
Ici la suiteS0, S1, . . . , Snest obtenue deS0=PetS1=P0par division euclidienneit´ere´e,Sk−1=QkSk−Sk+1, jusqu’ `a ce queSn+1= 0.
Cethe´or`emepermetdecompterpuisdelocalisertouteslesracinesr´eelles:
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