Le modele proies predateurs de Lotka Volterra
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Niveau: Supérieur
Chapitre 7 Le modele proies-predateurs de Lotka-Volterra Le modele que nous etudions a ete propose par Volterra (et independemment par Lotka) en 1926 dans un ouvrage intitule ”Theorie mathematique de la lutte pour la vie” qui est probable- ment le premier traite d'ecologie mathematique. Volterra avait ete consulte par le responsable de la peche italienne a Trieste qui avait remarque que, juste apres la premiere guerre mondiale (periode durant laquelle la peche avait ete nettement reduite) la proportion de requins et autres predateurs impropres a la consommation que l'on pechait parmi les poissons consommables etait nettement superieure a ce qu'elle etait avant guerre et a ce qu'elle redevint ensuite. 7.1 Le modele : Le modele concerne deux populations dont les effectifs au temps t sont respectivement notes x(t) et y(t), la seconde (les predateurs) se nourissant de la premiere (les proies). On fait les hypotheses suivantes (inevitablement simplificatrices !) : – Les proies x(t) disposent de nouriture en quantite illimitee, seuls les predateurs y(t) s'op- posent a leur croissance et en l'absence de predateurs la population des proies a une croissance exponentielle (modele malthusien). – Le nombre de predateurs est limite par la quantite de proies dont ils disposent pour se nourir et en l'absence de proies, la population des predateurs a une decroissance exponen- tielle (modele malthusien).
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Chapitre 7 Le modele proies-predateurs de Lotka-Volterra Le modele que nous etudions a ete propose par Volterra (et independemment par Lotka) en 1926 dans un ouvrage intitule ”Theorie mathematique de la lutte pour la vie” qui est probable- ment le premier traite d'ecologie mathematique. Volterra avait ete consulte par le responsable de la peche italienne a Trieste qui avait remarque que, juste apres la premiere guerre mondiale (periode durant laquelle la peche avait ete nettement reduite) la proportion de requins et autres predateurs impropres a la consommation que l'on pechait parmi les poissons consommables etait nettement superieure a ce qu'elle etait avant guerre et a ce qu'elle redevint ensuite. 7.1 Le modele : Le modele concerne deux populations dont les effectifs au temps t sont respectivement notes x(t) et y(t), la seconde (les predateurs) se nourissant de la premiere (les proies). On fait les hypotheses suivantes (inevitablement simplificatrices !) : – Les proies x(t) disposent de nouriture en quantite illimitee, seuls les predateurs y(t) s'op- posent a leur croissance et en l'absence de predateurs la population des proies a une croissance exponentielle (modele malthusien). – Le nombre de predateurs est limite par la quantite de proies dont ils disposent pour se nourir et en l'absence de proies, la population des predateurs a une decroissance exponen- tielle (modele malthusien).
- taux de natalite
- trajectoire
- proie
- predateurs des populations etudiees
- solution au systeme
- ?1 ?1
- predateurs
- modele de lotka-volterra
Chapitre 6
Lemod`eleproies-pre´dateursde Lotka-Volterra
Lemode`lequenous´etudionsa´ete´propose´parVolterra(etinde´pendemmentparLotka)en 1926dansunouvrageintitul´e”The´oriemath´ematiquedelaluttepourlavie”quiestprobable-mentlepremiertraite´d’e´cologiemathe´matique.Volterraavaite´t´econsulte´parleresponsable delapˆecheitaliennea`Triestequiavaitremarque´que,justeapr`eslapremi`ereguerremondiale (pe´riodedurantlaquellelapeˆcheavaite´te´nettementr´eduite)laproportionderequinsetautres pre´dateursimpropresa`laconsommationquel’onpˆechaitparmilespoissonsconsommables´etait nettementsupe´rieure`acequ’elle´etaitavantguerreet`acequ’elleredevintensuite.
6.1Lemod`ele:
Lemod`eleconcernedeuxpopulationsdontleseffectifsautempsteptcvimesnortsesentnot´e x(t) ety(tfait).Onlesl(ere`imseiorpseanssrioureapeltddnocel(e,)esalrseuen)sr´spated hypoth`esessuivantes(in´evitablementsimplificatrices!): – Lesproiesx(tuesrdetaps´rlelseu,seet´mililie´titnauqneerusiopestnedonruti)dy(t) s’op-posenta`leurcroissanceetenl’absencedepr´edateurslapopulationdesproiesaune croissanceexponentielle(mod`elemalthusien). –Lenombredepre´dateursestlimite´parlaquantit´edeproiesdontilsdisposentpourse nouriretenl’absencedeproies,lapopulationdespre´dateursauned´ecroissanceexponen-tielle(mode`lemalthusien). –Lenombrederencontresentreproiesetpr´edateurseta`lafoisproportionnel`ax(t) ety(t) donc proportionnel au produitx(t)y(t). –Letauxdedisparitiondesproiesainsiqueletauxdecroissancedespre´dateursdues`a ces rencontres sont l’un et l’autre proportionnels au nombre de rencontres entres les deux populations. Ceciconduitaumod`elesuivant: dx(t) =α1x(t)−β1x(t)y(t) dt (6.1) dy(t) =−α2y(t) +β2x(t)y(t) dt
o`uα1>nae(retutanat´li,seied)lorpselatxuede0tsα2>xuedelatlatiomtratur´0e(nesel)d pre´dateursetβ1>0 etβ2>0 des coefficients d’interaction entre les deux populations. Pour des raisonse´videntes,onnes’interessea`cesyste`mequepourdesvaleursdexerypositives. 41
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` ´ CHAPITRE 6.LE MODELE PROIES-PREDATEURS DE LOTKA-VOLTERRA
Modele de Lotka-Volterra 6 5 5 4 4 y 3 3 2 2 1 1 0 24 6 810±10 ±84 6 810±6 ±4 ±20 2 xt
Fig.sere`culiartirespctoiarejuetxeadtetrrle`dLedeaktoloV-depsctverseumodu.6–1eLhcma a`gauche;lesgraphesdesdeuxcomposantesdelatrajectoirelapluspetite:x(ttlltise´ene)niop y(t) en trait plein.
6.2 Unexemple : Supposonsparexemplequ’enl’absencedepre´dateursladynamiquedesproiessoitlady-0 namique malthusiennex(t) = 0,6x(tostiuesrdetaps´r-ladycnesna’lne’uq,)deleelscieroeped 0 namique malthisienney(t) =−0,25y(t) et qu’enfin les coefficients d’interaction soientβ1= 1,8 etβ2= 0,elystse`ontbeitnt:5.Osumeaniv ( 0 x= 0,8x(1−0,5y) (6.2) 0 y=−0,2y(x−3) Lafigure(6.1)repre´sented’unepartlestrajectoiresdedeuxsolutionsparticuli`eresdece syste`me(6.2)quisere´v`elentˆetredesebfsocrueesre´mde forme ovo¨ıde parcourues dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et d’autre part les graphes (t→x(t)) et (t→y(t)) qui repre´sententlesdynamiquesdechacunedesdeuxpopulations,proiesetpre´dateurs,aucoursdu temps. On observe que ces dynamiques sontp´eriodiquesetnese´rpmocnutnntmeteorequpityetp desmod`elesdeLotkaVolterraconnusouslenomd’oscillations autoentretenues. En effet ces variationspe´riodiquesdelatailledecesdeuxpopulationsnesontpasduesa`desvariationsde leur environnement mais elles s’auto entretiennent: une diminution du nombre de proie entraine unediminutiondunombredepr´edateursquienviennenta`manquerdenourriture,diminution qui,`asontour,rendrapossibleunenouvelleaugmentationdunombredeproiesprofitantde l’absencedepr´edateurs,augmentationquivapermettreunrede´marragedelacroissancedes pre´dateursetainsidesuite.Onnoteraenparticulierquecesoscillationsdex(t) ety(t) n’ont paslieuensemblemaisplutotdefac¸ond´ecal´eedansletemps.
6.3 Etudequalitative : Dansl’exemplepre´ce´dent,nousn’avonspasexpliqu´ecommentae´t´emiseen´evidencela dynamiquedusyste`me.Plusg´en´eralementsil’onconside`reunsyst`emediffe´rentieldelaforme dx(t) =f(x(t), y(t)) dt (6.3) dy(t) =g(x(t), y(t)) dt commentobtient-onsadynamique?Parfois,maisc’estraretoutcommedanslecasdes´equations diff´erentiellesuniques,onpeuttrouver,sil’onsedonneuneconditioninitiale(x(0), y(0)), la
