LE DIPLOME D'HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN MATHEMATIQUES

´MEMOIRE
pr´esent´e pour obtenir
ˆ `LE DIPLOME D’HABILITATION A DIRIGER
´DES RECHERCHES EN MATHEMATIQUES
´DE l’UNIVERSITE PARIS-EST
par
Benoˆıt Daniel
`SURFACES A COURBURE MOYENNE CONSTANTE
´ ´ `DANS LES VARIETES HOMOGENES
Soutenu le 3 novembre 2010 devant un jury compos´e de
G´erard Besson Directeur de Recherches CNRS, Institut Fourier
´Fr´ed´eric Helein Professeur, Universit´e Paris Diderot
R´emi Langevin Professeur, Universit´e de Bourgogne
Frank Pacard Professeur, Ecole Polytechnique
Harold Rosenberg Professeur, IMPA - Rio de Janeiro
Etienne Sandier Professeur, Universit´e Paris-Est Cr´eteil
Rapporteurs
G´erard Besson Directeur de Recherches CNRS, Institut Fourier
William P. Minicozzi II Professeur, Johns Hopkins University
Antonio Ros Professeur, Universidad de GranadaRemerciements
J’aimerais tout d’abord exprimer toute ma reconnaissance a` Harold Rosenberg :
c’est lui qui m’a initi´e `a la g´eom´etrie riemannienne et j’ai beaucoup appris grˆace a` lui.
Sa fac¸on d’aborder les probl`emes est pour moi une grande source d’inspiration. Je le
remercie ´egalement pour ses encouragements constants.
Je suis tr`es honor´e que G´erard Besson, William Minicozzi et Antonio Ros aient
accept´e d’´ecrire les rapports de cette habilitation et je les remercie pour le temps et
l’attention qu’ils ont consacr´es `a cette taˆche. Merci ´egalement `a Frank Pacard pour
´ses conseils, `a Fr´ed´eric H´elein, R´emi Langevin, Etienne Sandier et a` nouveau a` G´erard
Besson, Frank Pacard et Harold Rosenberg d’avoir accept´e d’ˆetre membres du jury.
Mes remerciements vont aussi `a mes autres collaborateurs, Laurent Hauswirth,
William Meeks et Pablo Mira, ainsi qu’`a tous ceux, trop nombreux pour ˆetre cit´es,
avec qui j’ai eu le plaisir de discuter de math´ematiques ou d’autres choses.
Merci aux membres cristoliens du Laboratoire d’analyse et de math´ematiques ap-
pliqu´ees(LAMA)pourl’ambianceaussiamicalequepropice`alarecherchequir`egneau
laboratoireet`aClaudiaLouisonpoursonaidepourlestaˆchesadministratives.Jesalue
aussi les enseignants et personnels administratifs de l’UFR de sciences ´economiques et
de gestion de Cr´eteil ou` j’ai plaisir a` enseigner depuis cinq ans, ainsi que mes amis
et coll`egues que j’ai connus au cours de mon post-doctorat a` l’Instituto nacional de
matem´atica pura e aplicada (IMPA) en 2004-2005.
Je voudrais enfin remercier mes amis pour tous les moments de d´etente extra-
math´ematique et exprimer toute mon affection `a ma famille.
12Table des mati`eres
Introduction 5
1 Les vari´et´es riemanniennes homog`enes de dimension 3 11
1.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
31.2 Les vari´et´esE (κ,τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
21.2.1 Les vari´et´es produitsS (κ)×R : κ>0 et τ =0 . . . . . . . . . . 12
21.2.2 Les vari´et´es produitsH (κ)×R : κ<0 et τ =0 . . . . . . . . . 13
1.2.3 Les sph`eres de Berger : κ>0 et τ =0 . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Le groupe de Heisenberg Nil : κ =0 et τ =0 . . . . . . . . . . . 143
1.2.5 Le revˆetement universel du groupe de Lie PSL (R) : κ < 0 et2
τ =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.6 Mod`ele commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Ladiff´erentielle d’Abresch-Rosenbergetl’unicit´e dessph`eresCMCdans
3E (κ,τ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Le groupe de Lie Sol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
32 Immersions isom´etriques dans les vari´et´esE (κ,τ) et applications aux
surfaces CMC 23
2.1 Un th´eor`eme d’immersions isom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Surfaces sœurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1 22.2.2 Surfaces minimales dans Nil et surfaces CMC dansH ×R . . 293 2
2.2.3 Surfaces jumelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 22.2.4 La famille associ´ee a` une surface minimale dansS ×R ouH ×R 30
2.3 G´en´eralisations et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Surfaces minimales dans le groupe de Heisenberg 35
3.1 L’application de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3
6663.2 Construction d’anneaux minimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Th´eor`emes du demi-espace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Propri´et´es et classification des graphes minimaux complets. . . . . . . . 42
3.5 Construction de graphes minimaux dont l’image gaussienne est prescrite 44
4 Sph`eres a` courbure moyenne constante dans Sol 453
´4.1 Enonc´e des r´esultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 R´eflexion d’Alexandrov et probl`eme isop´erim´etrique . . . . . . . . . . . 46
4.3 L’application de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Unicit´e des sph`eres CMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Existence et propri´et´es des sph`eres CMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Conclusion et r´esultats ult´erieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Liste des travaux pr´esent´es 55
4Introduction
L’objet de ce m´emoire est d’´etudier certaines propri´et´es des surfaces minimales ou
a` courbure moyenne constante (CMC) dans les vari´et´es riemanniennes homog`enes de
dimension 3.
Les surfaces minimales et `a courbure moyenne constante constituent un sujet
d’´etude classique en g´eom´etrie diff´erentielle faisant appel `a des techniques provenant
de disciplines tr`es diff´erentes, comme l’analyse complexe, le calcul des variations, la
th´eorie des ´equations diff´erentielles elliptiques, la th´eorie g´eom´etrique de la mesure, la
topologie, les syst`emes int´egrables, la g´eom´etrie alg´ebrique complexe, etc.
Cessurfacesinterviennentdansdesprobl`emesvariationnels:lessurfacesminimales
(c’est-`a-dire`acourburemoyennenulle)sontlespointscritiquesdel’airepourtoutesles
transformationsfixantleurbord,et plusg´en´eralement les surfacesa`courburemoyenne
constante sont les points critiques de l’aire pour les transformations fixant leur bord
et pr´eservant le volume renferm´e par la surface et une surface fixe donn´ee. Lorsqu’on
consid`ere une surface compl`ete sans bord, on demande que les petits domaines de
cette surface v´erifient ces propri´et´es. Les solutions du probl`eme isop´erim´etrique sont
´egalement des surfaces CMC.
3La th´eorie des surfaces minimales deR a d´ebut´e au dix-huiti`eme si`ecle avec les
travaux d’Euler, de Lagrange et de Meusnier. Euler a d´ecouvert le cat´eno¨ıde (surface
minimale de r´evolution) en cherchant la surface d’aire minimale s’appuyant sur deux
cercles parall`eles. Lagrange a ´etabli l’´equation que doit v´erifier une fonction f pour
que la surface d’´equation x = f(x ,x ) minimise l’aire. Meusnier a montr´e que les3 1 2
surfaces minimisant l’aire sont a` courbure moyenne nulle et a d´ecouvert l’h´elico¨ıde
(surface minimale r´egl´ee).
Au dix-neuvi`eme si`ecle, le physicien Plateau a montr´e exp´erimentalement l’exis-
tence de surfaces minimales, obtenues comme pellicules de savon s’appuyant sur un
contour. Par la suite, des math´ematiciens comme Riemann, Weierstrass, Enneper et
Schwarz se sont int´eress´es aux surfaces minimales. De nouveaux exemples ont ´et´e
d´ecouverts, et Weierstrass a obtenu une description des surfaces minimales en termes
de donn´ees m´eromorphes : c’est la (repr´esentation de Weierstrass ).
Dans la premi`ere moiti´e du vingti`eme si`ecle, les math´ematiciens se sont int´eress´es
au probl`eme de Plateau, c’est-`a-dire trouver une surface d’aire minimale d´elimit´ee par
une courbe ferm´ee donn´ee. L’existence d’une solution a ´et´e d´emontr´ee par les travaux
de Rad´o, Douglas et Courant notamment. Les probl`emes de r´egularit´e ont ensuite ´et´e
´etudi´es entre autres par Osserman, Gulliver et Hildebrandt.
5Plus r´ecemment, les recherches se sont focalis´ees sur les surfaces minimales sans
bordproprementplong´ees:constructiond’exemples(surfacesdeCosta-Hoffman-Meeks
[21, 37], h´elico¨ıdes de genre 1 [39, 35, 81], surfaces de Riemann de genre sup´erieur
[32], etc.), probl`emes de classification et d’unicit´e. Collin [18] a montr´e (utilisant aussi
d’autres r´esultats ant´erieurs, notamment [74, 36, 57, 51]) que le cat´eno¨ıde est l’unique
anneau minimal proprement plong´e, Meeks et Rosenberg [58] ont montr´e (utilisant