La transformee de Fourier sur un groupe fini et quelques unes de ses applications
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Niveau: Supérieur
La transformee de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications Elise Raphael Semestre d'automne 2009-2010 1
Voir
La transformee de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications Elise Raphael Semestre d'automne 2009-2010 1
- loi de reciprocite quadratique
- produit scalaire
- ?g ?
- nz ??
- groupe pour la multiplication des applications
- demonstration de la loi
- groupe fini
La
transform´eedeFouriersurungroupe quelques-unes de ses applications
Elise Raphael
Semestre
d’automne
1
2009-2010
fini
et
Contents 1Transforme´edeFouriersurungroupefini 1.1 Dual d’un groupe fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Dual d’un groupe cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2Duald’ungroupeab´elien.................. 1.2Transform´eedeFourier........................ 1.2.1De´finitions.......................... 1.2.2 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3Applicationaux´equationsetde´nombrementdesolutions..... 1.3.1De´nombrementdesolutions................. 1.3.2 Fonction indicatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Loidere´ciprocit´equadratique 2.1Re´sidusquadratiques......................... 2.2Caracte`resadditifsetmultiplicatifs................. 2.3 Sommes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4Loider´eciprocit´equadratique.................... 2.4.1 Le caractere quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 2.4.2 Signes des sommes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3De´monstrationdelaloi................... 3Transform´eedeWalshetapplications 3.1De´finitions............................... 3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Etude statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Lexique 5 Bibliographie
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Introduction Nousallonsdansceme´moireaborderlatransform´eedeFouriersurungroupefini etquelques-unesdesesapplications.Pourcefairenousallonsd´eterminerledual d’ungroupefini,encommenc¸antparlesgroupescycliquespuiseng´en´eralisant auxgroupesab´eliensfinis.Nousintroduironsensuitelatransform´eedeFourier. Nousverronsquelatransforme´edeFourierestutilise´edanssesapplications sousdesformesunpeudiff´erentes(SommesdeGauss,transform´eedeWalsh) `atraversunexempled’applicationthe´oriquequ’estlade´monstrationdelaloi der´eciprocite´quadratique,puisdelatransforme´edeWalsh(etsesapplications pratiques). Alafindece´oiresetrouveunlexique,quidonnedebre`vesde´finitions, mem propri´ete´setde´monstrationsquim’ont´ete´utilespourcomprendrecesujet. 1Transforme´edeFouriersurungroupefini Rappels sur les groupes finis On rappelle que l’ensemble G muni d’une loi de composition interne∙est un groupe si∙atsecossitaip,evoss`edeun´el´emetnentuerteisottueneml´´eeGtd a un inverse pour∙olalirgnU.estdoupemmutitcouobatafineise´il∙est commutative. On dit que G est un groupe fini si son cardinal est fini. Le cardinal est alors note´|G|taesetguorrddee´roppleupe. L’ordred’une´l´ementgseenl’delembit´tsuepemtnlee´leplest{k∈N∗|gk= 1}, ou`l’onanot´e1l’´el´ementneutrepourlaloi∙. Si|G|=n,on agn= 1∀g∈G. L’ordrek’dnet´lmenue´gdivise donc l’ordre de|G|. Ungroupefiniengendre´parunsingleton{g}onere´ttpeutˆetclique,esedttiyc G=hgi. Onrappellee´galementlethe´ore`medeLagrange: Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G, alors l’ordre de H divise l’ordre de G. Noussommesmaintenantpreˆtsa`aborderlapremie`repartie. 1.1 Dual d’un groupe fini On s’interesse aux fonctions qui transportent la structure d’un groupe : les mor-´ phismes de G (groupe fini) dans un sous-groupe deC∗. pe G Soit G un groupe fini. Unarct`acereχest un morphisme dbu grou (additif ou multiplicatif) dans le groupe multiplicatifC∗. On noteGl’ensemble b descaract`eres:c’estledualde G.Gest un groupe pour la multiplication des applications : ∀(χ1, χ2)∈Gb2, χ1χ2:x−→7χ1(x)χ2(x) Peut-ond´eterminerpluspre´cise´mentlescaract`eresd’ungroupefini? Proposition b Soit G un groupe fini tel que|G|=n´emes´el.LeetndsGsont en fait les
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