Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
L3 — Algèbre-V — 2011-2012 Université Lyon I V Exercice 1 Soit p un nombre premier. a) Trouver le nombre de p?cycles de Sp. b) Montrer que les p?Sylow de Sp sont cycliques. c) Soient P1, P2 deux sous-groupes de Sylow distincts de Sp. Montrer que leur intersection est triviale. En déduire le nombre de p?Sylow de Sp. d) En déduire le théorème de Wilson : (p? 1)! = ?1 mod p . Exercice 2 Soit Q le sous-groupe de SL2(C) engendré par les matrices : ? ? ? 0 ?1 1 0 ? ? ? et ? ? ? j 0 0 j2 ? ? ? . a) Montrer que Q est d'ordre 12. b) Montrer que A4, D6, Q sont deux à deux non isomorphes (indication : considérer par exemple les 2?Sylow). Exercice 3 Soit G un groupe d'ordre 12. Soient n3 le nombre de 3?Sylow et n2 le nombre de 2?Sylow de G. a) Quelles sont les valeurs possibles pour n2 et n3 ? b) Si G est abélien, montrer que n2 = n3 = 1 et que G ' Z/2Z? Z/2Z? Z/3Z ou Z/4Z? Z/3Z .
- matrice d'ordre fini dans sl2
- stabilisateurs des sommets, des arêtes et des diagonales
- isomorphisme entre le groupe des isométries du plan
- groupe diédral d'ordre
- hexagone régulier de sommets e2ikpi
- isométrie de rn
- ordre fini