L1 MASS Algebre Lineaire Cours janvier
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2006
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
L1 MASS : Algebre Lineaire Cours 22 janvier 2006 Quelques exemples de systemes lineaires en economie Exemple 1 : Avantages fiscaux de dons aux oeuvres de charite ([1] 10.2) Une entreprise fait un benefice avant impots de 100 000 F. Elle s'est engagee a verser 10% de son benefice net d'impots a la caisse de secours de la Croix Rouge. Elle doit payer un impot local pour la taxe professionnelle egal a 5% de son benefice (apres donation a la Croix Rouge) et un impot national sur les societes de 40% de son benefice (apres que la donation et l'impot local aient ete preleves). Quels sont les montants de l'impot local, de l'impot national, et de la donation a la Croix Rouge verses par l'entreprise ? Solution : Ecrivons C, L, N pour les montants respectifs de la contribution a la Croix Rouge, de l'impot local, et de l'impot national. Le benefice apres impots est de 100 000? (L+ N) ; d'ou C = 0,1 · ( 100 000? (L + N) ) . Nous pouvons l'ecrier comme C + 0,1L + 0,1N = 10 000. L'impot local est 5% du benefice net de la donation, ce qui nous donne une equation L = 0,05 · (100 000? C) ou C + 0,05L = 5000.
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L1 MASS : Algebre Lineaire Cours 22 janvier 2006 Quelques exemples de systemes lineaires en economie Exemple 1 : Avantages fiscaux de dons aux oeuvres de charite ([1] 10.2) Une entreprise fait un benefice avant impots de 100 000 F. Elle s'est engagee a verser 10% de son benefice net d'impots a la caisse de secours de la Croix Rouge. Elle doit payer un impot local pour la taxe professionnelle egal a 5% de son benefice (apres donation a la Croix Rouge) et un impot national sur les societes de 40% de son benefice (apres que la donation et l'impot local aient ete preleves). Quels sont les montants de l'impot local, de l'impot national, et de la donation a la Croix Rouge verses par l'entreprise ? Solution : Ecrivons C, L, N pour les montants respectifs de la contribution a la Croix Rouge, de l'impot local, et de l'impot national. Le benefice apres impots est de 100 000? (L+ N) ; d'ou C = 0,1 · ( 100 000? (L + N) ) . Nous pouvons l'ecrier comme C + 0,1L + 0,1N = 10 000. L'impot local est 5% du benefice net de la donation, ce qui nous donne une equation L = 0,05 · (100 000? C) ou C + 0,05L = 5000.
- montant de maı entrant dans la production de maıs
- systeme lineaire
- quintaux de ble
- tonnes d'engrais pour la consommation
- analyse abstraite
- engrais pour la consommation individuelle
- quin- taux de ble produits
- tonne de maıs
L1MASS:Alg`ebreLin´eaire
Cours 22 janvier 2006
Quelquesexemplesdesyst`emeslin´eairesene´conomie Exemple1:Avantagesfiscauxdedonsauxoeuvresdecharit´e([1]§10.2) Uneentreprisefaitunb´ene´ficeavantimpˆotsde100000F.Elles’estengage´e`averser10% desonbe´ne´ficenetd’impoˆtsa`lacaissedesecoursdelaCroixRouge.Elledoitpayerunimpˆot localpourlataxeprofessionnellee´gala`5%desonbe´n´efice(apre`sdonationa`laCroixRouge) etunimpˆotnationalsurlessoci´ete´sde40%desonb´en´efice(apre`squeladonationetl’impoˆt localaiente´t´epr´elev´es).Quelssontlesmontantsdel’impoˆtlocal,del’impˆotnational,etde ladonationa`laCroixRougevers´esparl’entreprise? Solution: EcrivonsC,L,NxiorCala`plruoomseitsfpscestertnnationribucontdela Rouge,del’impˆotlocal,etdel’impoˆtnational.Lebe´n´eficeapre`simpoˆtsestde100000−(L+ Nud’o)`;C= 0,1∙100 000−(L+N.)evuopsuoN’´econslcommrier C+ 0,1L+ 0,1N000= 10. L’impˆotlocalest5%dube´n´eficenetdeladonation,cequinousdonneunee´quationL= 0,05∙(100 000−C) ou C+ 0,05L= 5000. L’impoˆtnationalestde40%dube´ne´ficeapr`esd´eductiondeCet deL; cela donneN= 0,4∙[100 000−(C+L)] ou 0,4C+ 0,4L+N= 40000. Nouspouvonsr´esumerlespaiementsa`effectuerparlesyst`emed’´equationsline´aires C+ 0,1L+ 0,1N000= 10, 0,05C+L000= 5,(*) 0,4C+ 0,4L+N= 40000. Ilyaplusieursfa¸consder´esoudrecesyst`eme.Parexemple,onpeutr´esoudrel’e´quation du milieu pourLen termes deCdnoilsnaretttaletuticeer,bssusi`imeeereettroespremi` e´quations,etensuiter´esoudrefacilementlesyst`emededeux´equationsa`deuxinconnues re´sultantpourtrouver C= 5956, L= 4702, N= 35737 aufrancleplusproche.Remarquonsquelebe´n´eficeapre`simpoˆtsetapre`scontributionest de 53605 F. Nouspouvonsutilisercemod`eleline´airepourde´terminerquel’entrepriseauraiteucomme b´ene´ficede57000Fsiellen’avaitpasfaitdedonation`alaCroixRouge. Exercice 1.Supposons que la firme ne fasse aucune donation aux bonnes oeuvres. Ecrivez etre´solvezlesyst`emed’´equationsquid´ecritsesimpoˆtslocaletnational.Quelestlecoˆutnet de sa donation de 5936 F?
Exemple2:Mode`lesline´airesdeproduction([1]§10.2) Noussupposonsd’abordquenotree´conomieanbiens. Chacun des biens est produit par un processus de productionenbidentdentta1,enbitas:t´tideesedetnauqnu’usileuin’estq,q bien2,etc.Cesquantit´essontlesmontantsd’inputsn´ecessairespourlaproductiond’uneunit´e del’outputduprocessus.Parexemple,lafabricationd’uneautomobilene´cessitecertaines quantit´esd’acier,deplastique,d’e´lectricite´,etainsidesuite.Enfait,certainsprocessusde production, tels que ceux de l’acier ou des automobiles, utilisent une partie de leur output pourlaproductionulte´rieure. Onvaconside´rerunmode`len´eaireilde production. La production de 2, 3, oukniuest´ d’unbienn´ecessitent2,3,oukurpouobiesdln,iefd’ontiuct´nieuunstupnisedorpaled chacundesbiens.Nousallonssupposerquelaproductionde2automobilesne´cessitent2fois lesinputsd’acier,deplastique,d’e´lectricite´,etc.,parrapportauxinputspourlaproduction d’uneautomobile,etquelaproductionde1000automobilesne´cessitent1000foislesinputs delaproductiond’uneautomobileetainsidesuite.Entermesmicro-e´conomiques,onditque le processus de production a desllehnocedstnce´’enrmedesttsna. Avantdefaireuneanalyseabstraite,prenonsunexemplesimple.Conside´ronsuneexploi-tation d’agriculture biologique qui ne produit que deux biens : du ma¨ıs et de l’engrais. Le maı¨sestproduita`partirdegrainsdema¨ıs(ens´emences)etd’engrais.L’engraisestproduit `apartirdevieuxplantsdemaı¨s(et´eventuellementennourissantlesvachesavecduma¨ıs, quiproduisent`aleurtourunproduitutile).Supposonsquelaproductionde1tonnedema¨ıs requiert comme inputs 0,1 tonne de ma¨ıs et 0,8 tonne d’engrais. La production d’une tonne d’engraisrequiert0,5tonnedemaı¨setpasd’engrais. Nouspouvonsde´crirechacundesdeuxprocessusdeproductionparuncoupledenombres (a, bu,)`oantuaaqelntse´eprilitusı¨amede´titee´esrmmocpniee,tubre´eprntseaqelautntie´ d’engraisutilis´eecommeinput.Leprocessusdeproductiondumaı¨sestdoncrepre´sent´epar (0,1; 0,0(ecritparaisestd´’dnorgnedorpitcusscedeus.L8)roep,5; 0). Laquestionlaplusimportantepourcemode`leest:quepeut-onproduirepourlaconsom-mation?Ya-t-ilunmoyend’utiliserlesdeuxprocessusdeproductionetdelaisserdumaı¨s et de l’engrais pour la consommation individuelle? Onpeutr´epondreenexaminantunsyste`meparticulierd’´equationsline´aires.Supposons qu’on utilise les deux processus pour produirexMedseıt¨easmnnotxEtonnes d’engrais. Lemontantdemaı¨entrantdanslaproductiondema¨ısestde0,1xMtonnes, le montant de maı¨sne´cessairepartonnedema¨ısproduitemultiplie´parlenombredetonnes`aproduire.Le montantdemaı¨sentrantdanslaproductiondel’engraisestde0,5xEnait´teoDcnaluqtonnes. de ma¨ıs restant pour la consommation individuelle est dexM−0,1xM−0,5xEtonnes, ce qui se simplifie en 0,9xM−0,5xErialimiS.sennot´eitntuaaqtlenemd’engraisrestantoprual consommation individuelle est dexE−0,8xMtonnes. Supposonsquenousvoulionsquenotreexploitationproduise4tonnesdemaı¨set2tonnes d’engraispourlaconsommation.Quellesquantite´stotalesdeproductiondemaı¨setd’engrais serontne´cessaires?DoncnouscherchonsdesvaleurspourxMetxEqasiufsitontaux´equations ( 0,9xM−0,5xE= 4, −0,8xM+xE= 2. Cesyste`meestfacilea`r´esoudre,carladeuxie`mee´quationnousdonnexE= 2 + 0,8xMque l’onpeutsubstituerdanslapremi`ere´equation.Apr`esquelquescalculsontrouvexM= 10 et xE.01=cnoD0tt1neonpronuioda¨ıssdemtonu,donesp1itilpaoruolrndioctdu,5ısa¨em
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