Jam3 Comptes Rendus de l'Academies des Sciences Series I Mathematiques Vol No3

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Philippe Jaming

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
[Jam3] Comptes Rendus de l'Academies des Sciences - Series I Mathematiques, Vol 237, No3 (1998) 249-254. Principe d'incertitude qualitatif et reconstruction de phase pour la transformee de Wigner Philippe JAMING Resume : Nous nous interessons ici a deux problemes concernant la distri- bution de Wigner. Dans un premier temps, nous demontrons ici que, si le support de la distribution de Wigner d'une fonction est de mesure finie, alors cette fonction est nulle, repondant ainsi a une question de Folland et Sitaram [FS]. Nous nous inspirons ensuite des methodes developpees dans [Jam4] pour resoudre le probleme de reconstruction de phase pour la transformee de Wigner de fonctions a support compact. Mots Cles : principe d'incertitude, fonction d'ambiguite radar. English title : A qualitative uncertainty principle and phase retrieval for the Wigner distribution. English abstract : In this note, we show that, if the support of the Wigner distribution of a function is of finite measure, then this function is zero, thus answering a question of Folland and Sitaram, [FS]. We then solve the phase retrieval problem for the Wigner distribution of a compactly supported func- tion. English keywords : uncertainty principle, phase retrieval, radar ambiguity function, Wigner distribution. English Abridged Version 0.1. Introduction. In this note, we prove two results concerning the Wigner distribution defined for f, g ? L2(Rn) by W (f, g)(x, y) = ∫ Rn f ( x+ t2 ) g ( x? t2

theoreme

phase retrieval problem

nom de principe d'incertitude radar

solutions triviales

wigner distribution

reconstruction de phase pour la transformee de wigner

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Théorème Wigner distribution

[Jam3]

ComptesRendusdel’Acade´miesdesSciences-SeriesIMathe´matiques,Vol237,No3(1998)249-254.

Principe d’incertitude qualitatif et reconstruction de phase pourlatransforme´edeWigner

Philippe JAMING

R´esume´:tne´uoisuonsNdeuxci`aonsiressrecnocseme`lborp-ristdilantna butiondeWigner.Dansunpremiertemps,nousd´emontronsicique,sile support de la distribution de Wigner d’une fonction est de mesure ﬁnie, alors cettefonctionestnulle,re´pondantainsi`aunequestiondeFollandetSitaram [FS].Nousnousinspironsensuitedesm´ethodesde´velopp´eesdans[Jam4]pour re´soudreleproble`medereconstructiondephasepourlatransforme´edeWigner defonctionsa`supportcompact. MotsCle´s:principe d’incertitude, fonction d’ambiguite radar.

English title :A qualitative uncertainty principle and phase retrieval for the Wigner distribution. English abstract :In this note, we show that, if the support of the Wigner distribution of a function is of ﬁnite measure, then this function is zero, thus answering a question of Folland and Sitaram, [FS]. We then solve the phase retrieval problem for the Wigner distribution of a compactly supported func-tion. English keywords :uncertainty principle, phase retrieval, radar ambiguity function, Wigner distribution.

English Abridged Version 0.1. Introduction. 2n In this note, we prove two results concerning the Wigner distribution deﬁned forf, g∈L(R) by Z     t t 2iπyt W(f, g)(x, y) =f x+g x−edt 2 2 n R 2n The Wigner distribution is the Fourier transform inRof the radar ambiguity function Z     x x 2iπyt A(f, g)(x, y) =f t+g t−edt. n2 2 R Moreover, n W(f, g)(x, y) = 2A(f, Zg)(2x,−2y) (1) whereZg(x) =g(−x). The ﬁrst result we prove here is a qualitative uncertainty principle and answers a question of Folland and Sitaram [FS]. We prove the following result 143

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